原創二：邏輯蘊含圖 LP 套利與對偶隱含分布

一句話：用 LLM 把數千個市場的條款編譯成命題，建出邏輯蘊含圖，解一個線性規劃找套利——而這個 LP 的對偶變數，就是市場隱含的世界狀態聯合分布，即使沒有無風險套利時也是一個強大的訊號源。

分級：LP 求解與對偶解釋是機制必然（凸優化的標準結果）；用 LLM 建構邏輯圖並把它接到 LP 上是我的組合；「對偶邊際偏離可交易」是原創假說。

從一個觀察開始

Polymarket 的 negRisk 機制只處理平台明確標記為互斥的市場群組（同一場選舉的候選人）。但邏輯關係遠不止互斥：

關係	例子	價格約束
蘊含	「降 50bp」⟹「降息」	`p_A ≤ p_B`
等價	措辭不同、判定條件相同的兩個市場	`p_A = p_B`
互斥	「降息」與「升息」	`p_A + p_B ≤ 1`
窮盡	「降息」∪「不變」∪「升息」	`Σp = 1`
合取	「A 且 B」與 A、B	`max(0, p_A+p_B−1) ≤ p_AB ≤ min(p_A,p_B)`

平台只維護最後兩類裡被明確建模的那些。前三類完全沒有平台層的強制，也沒有自動化的偵測。

而且這些關係跨事件叢集存在：一個「聯準會降息」的市場與一個「10 年期殖利率年底低於 X」的市場之間，雖然不是嚴格的邏輯蘊含，但存在條件機率約束。

形式化：從命題到世界狀態

第一步：把市場編譯成命題

用條款抽取層的產物。每個市場 i 對應一個命題 Pᵢ，加上一個判定函數 fᵢ(ω) ∈ {0, 1}。

第二步：列舉世界狀態

給定一組相關的命題 P₁…P_n，理論上有 2ⁿ 個真值組合，但邏輯約束會刪掉大部分。

實務上不要枚舉 2ⁿ。做法是：

LLM 對每一對命題判定關係（k 個獨立實例投票）。
用這些關係建一個約束圖。
用 SAT 求解器枚舉所有一致的真值組合——這是確定性的，且對 n ≤ 20 的叢集在毫秒級完成。

得到狀態集合 Ω = {ω₁, …, ω_m}，其中 m ≪ 2ⁿ。

這一步的分工很重要：LLM 只判斷「兩個命題的關係」（一個小的、可驗證的、可投票的問題），世界狀態的枚舉由 SAT 求解器做（確定性、可證明正確）。這是「LLM 產生中間產物、程式產生決策」原則的直接應用。

第三步：套利 LP

設 x_i 為市場 i 的 YES 部位（負值代表 NO），y_i⁺, y_i⁻ ≥ 0 分別為買 YES 與買 NO 的股數。

含費的有效成本（見費用公式）：

c_i^YES = a_i + φ·a_i(1−a_i)        a_i = YES 的賣價
c_i^NO  = (1−b_i) + φ·b_i(1−b_i)    b_i = YES 的買價

LP：

minimize    Σᵢ ( c_i^YES · y_i⁺  +  c_i^NO · y_i⁻ )
subject to  Σᵢ [ fᵢ(ω)·y_i⁺ + (1−fᵢ(ω))·y_i⁻ ]  ≥  1     ∀ω ∈ Ω
            0 ≤ y_i⁺ ≤ D_i^YES,  0 ≤ y_i⁻ ≤ D_i^NO       （盤口深度）

若最優目標值 < 1，存在無風險套利：你付出的成本低於任何世界狀態下的最低賠付。

深度處理：真實盤口是分層的，所以 c_i 應該是分段線性的成本函數（每一層價格一個變數）。這讓 LP 變大但仍然是 LP，不影響可解性。這一點很重要——大多數公開的套利掃描器只看最佳報價，因此嚴重低估了可執行規模。

第四步：對偶——這是最有價值的部分

LP 的對偶問題是：

maximize    Σ_ω λ_ω
subject to  Σ_ω λ_ω · fᵢ(ω)      ≤  c_i^YES     ∀i
            Σ_ω λ_ω · (1−fᵢ(ω))  ≤  c_i^NO      ∀i
            λ_ω ≥ 0

λ_ω 就是世界狀態 ω 的隱含（風險中性）機率。

這給了三個東西：

一、一個對所有市場一致的聯合分布。 個別市場的價格是這個分布的邊際；而個別價格經常與這個一致分布的邊際不符，即使沒有無風險套利。

二、每個市場的「LP 隱含公平價」：

p̂_i = Σ_ω λ_ω · fᵢ(ω)  /  Σ_ω λ_ω

p_i − p̂_i 是一個訊號——它說「在所有其他相關市場的資訊下，這個市場應該值多少」。這是統計套利，不是無風險套利：它可能因為 LP 沒有捕捉到的真實資訊而錯，但它是一個有結構的、非平凡的錯價偵測器。

三、互補鬆弛條件告訴你哪些約束是緊的，也就是哪些世界狀態是定價的邊界。這對理解「市場現在在擔心什麼」極有價值，也可以直接當成相關性建模的輸入——用 λ 建構的世界狀態分布，正是多市場 Kelly 需要的那個 P(ω_j)。

這是我認為這個設計最漂亮的地方：同一個計算同時產出套利機會、統計套利訊號、以及部位配置需要的聯合分布。 三個原本要分別建模的東西，是同一個凸優化問題的原解與對偶解。

處理 LLM 的錯誤：機率化的邏輯邊

上面的 LP 假設邏輯關係是確定的。實際上關係來自 LLM，會錯。而一條錯誤的蘊含邊，會把「無風險套利」變成一個裸部位。

這是整個策略的核心風險，必須在數學層面處理，不能只靠工程檢查。

做法一：一致率門檻 + 保守化

只保留 k 個獨立實例全部同意的邊。這會刪掉很多真實的邊（降低找到套利的機會），但錯誤邊的成本是不對稱的——漏掉一條邊只是少賺，多一條錯的邊會虧錢。

做法二：機率鬆弛的 LP

給每條邊一個信賴度 ρ_e。把約束改成：只在「所有用到的邊都正確」的情境下要求賠付 ≥ 1，並對「某條邊錯了」的情境要求賠付 ≥ 某個下界 L < 1。

實作上最簡單的版本是擴充狀態空間：把「邊 e 錯誤」也當成一個世界狀態維度，賦予機率 1−ρ_e，然後解一個期望效用最大化而不是純套利：

maximize  Σ_ω' P(ω') · ln(1 + 組合在 ω' 下的損益)

這就退化成多結果 Kelly，而純套利是它在 ρ = 1 時的極限情況。

我認為這是正確的形式：不要把它當成套利問題（那需要邏輯確定性），而是當成在一個由 LLM 提供、帶不確定性的世界模型下的 Kelly 配置問題。這樣「邏輯邊可能錯」就從一個工程隱患變成模型的一個顯式參數。

做法三：只在 negRisk 群組內做純套利

平台標記的 negRisk 群組，其互斥性是合約強制的，不是 LLM 推斷的。這一層可以放心做純套利（雖然競爭激烈）。LLM 推斷的邊只用來做做法二的 Kelly 配置。

分層是關鍵：確定的邏輯做套利，推斷的邏輯做配置。

自動化架構

批次層（每日／每小時）
  ① Gamma API 增量拉取市場（快取，注意 300/10s）
  ② 條款編譯 → 命題（複用 [[projects/polymarket-strategy-research/10-clause-derived-sources|抽取層]]）
  ③ 語義分群：用 embedding 找出可能相關的市場叢集
     （避免對 n² 對做 LLM 判定——這是成本的關鍵控制點）
  ④ 叢集內做兩兩關係判定（k 個獨立 LLM 實例投票）
  ⑤ SAT 求解器枚舉一致的世界狀態 Ω
  ⑥ 快取 (叢集, Ω, 邊信賴度)

即時層（WebSocket 驅動）
  ⑦ 訂閱叢集內所有市場的訂單簿
  ⑧ 任何簿子變動 → 重解該叢集的 LP（小規模，微秒到毫秒）
  ⑨ 目標值 < 1 → 觸發套利下單（全腿同時，FOK 型）
  ⑩ 目標值 ≥ 1 → 計算對偶 p̂_i，偏離超過門檻 → 統計套利訊號

③是成本控制的關鍵。 對 3,000 個市場做兩兩判定是 450 萬次 LLM 呼叫，不可行。用 embedding 先分群，把判定限制在叢集內（每群 10–30 個），總呼叫數降到數萬量級，且大部分結果可以長期快取（市場的邏輯關係不隨價格改變）。

⑨的執行風險：多腿套利的腿風險（leg risk）——一腿成交、其他腿沒成交，你就持有一個裸部位。緩解：

用 FOK 型訂單，未成交立刻取消。
按「最不流動的腿優先」排序執行，因為那一腿最可能失敗。若它失敗，其他腿還沒送出。
設定總體的「未對沖曝險」上限，超過就停止新的套利嘗試直到平掉。

預期 edge

純套利部分：頻率低、幅度小（negRisk 群組被高度競爭），但無風險。價值主要在資本效率——當機會出現時可以大額投入。

統計套利部分（對偶偏離）：這才是主要的期望收益來源。量級無法先驗估計，必須實測。

一個結構性優勢值得指出：對偶隱含價 p̂_i 的資訊來自其他市場的價格，而其他市場的價格已經包含了大量參與者的資訊。所以這個訊號不需要你比市場更了解現實——它只需要市場之間存在不一致。這是一個「不需要領域知識」的 edge，與本專欄其他策略（都需要對現實的估計）性質完全不同，因此與它們的相關性低，是一個好的組合分散來源。

怎麼驗證

驗證一：邏輯邊的正確率。 手工標註 200 對市場的關係作為 ground truth，量測 LLM 陪審團在不同一致率門檻下的精確率與召回率。這個數字直接決定做法一的門檻該設多高。

驗證二：對偶偏離是否預測價格收斂。 在歷史資料上計算 p_i − p̂_i，檢驗它是否預測後續的價格變動（而不只是結算結果）。這是唯一能在短樣本上驗證的路徑——因為它用價格變動而非結算結果，樣本量大幾個數量級。

驗證三：純套利機會的頻率與規模。 純觀測，不需下單。跑一個月的即時 LP，記錄目標值 < 1 的次數、持續時間與可執行深度。若可執行規模在扣費後小於運作成本，這一半的策略就不做。

驗證二應該優先做，因為它樣本量最大、最快能得到結論，而且它驗證的是這個策略主要的收益來源。

風險與失效邊界

風險	描述	緩解
錯誤的邏輯邊	「無風險」套利變裸部位	一致率門檻 + 機率鬆弛 LP + 分層（確定的做套利、推斷的做配置）
腿風險	部分成交留下裸部位	FOK、最不流動腿優先、未對沖曝險上限
深度幻覺	只看最佳報價高估可執行規模	分段線性成本函數
對偶偏離不是錯價	某市場的價格反映了 LP 不知道的真實資訊	這是統計套利的固有風險；用 Kelly 而非全押，並分散在多個叢集
叢集分群漏掉關係	embedding 沒把相關市場放同一群	定期用不同的分群方法交叉檢查；接受召回率不完美
計算成本	LLM 呼叫與 SAT 求解	分群 + 長期快取（關係不隨價格變）

分級

主張	等級
邏輯約束強制價格關係	機制必然
LP 對偶 = 隱含世界狀態機率	機制必然（凸優化標準結果）
平台只強制部分邏輯關係	機制必然（讀文件可確認）
語義等價的市場會有價差	有證據（一價定律預印本，2026）
LLM 能可靠抽取邏輯關係	原創假說，驗證一可證偽
對偶偏離可交易	原創假說，驗證二可證偽
此策略與其他策略低相關	推論（訊號來源不同），可實測

下一個策略：預言機混淆矩陣與提案信譽搶跑。

我的知識庫

探索