ARCH／GARCH——波動率建模的標竿

ARCH 處理的是一個在它出現之前被當成麻煩、之後被當成結構的現象：金融報酬的變異數不是常數，而且它的變動本身有規律。 大波動後面跟著大波動，小波動後面跟著小波動——Mandelbrot 在 1963 年就描述過，但要到 Engle 在 1982 年把它寫成可估計的模型，它才從「資料的毛病」變成「可以預測的量」。Engle 以此獲得 2003 年諾貝爾經濟學獎。

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📖 從 ARCH 到 GARCH

ARCH(q)（Engle，1982） 讓條件變異數由過去的平方殘差決定：

$${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t,z_t\sim \text{i.i.d.}(0,1)$$ $${\sigma }_t^2=\omega +\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{\epsilon }_{t-i}^2$$

實務上這需要很大的 q 才能捕捉波動率的持續性，參數多到難以估計。

GARCH(p,q)（Bollerslev，1986） 加入條件變異數本身的落後項：

$${\sigma }_t^2=\omega +\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{\epsilon }_{t-i}^2+\sum _{j=1}^p{\beta }_j{\sigma }_{t-j}^2$$

這一步的作用和 MA 項對 AR 模型的作用相同：用兩個參數表達無窮多個遞減權重。 GARCH(1,1) 展開後等價於一個權重指數衰減的 ARCH($\infty$)，這就是為什麼 p = q = 1 幾乎總是夠用。

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📖 GARCH(1,1) 的三個數字

$${\sigma }_t^2=\omega +\alpha {\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$

定態條件 $\alpha +\beta <1$，此時無條件變異數存在：

$${\bar{\sigma }}^2=\frac{\omega }{1-\alpha -\beta }$$

持續性 由 $\alpha +\beta$ 衡量。日頻股票資料上典型估計值落在 0.95 到 0.99，意思是波動率衝擊衰減得很慢。衝擊的半衰期是：

$$h_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln (\alpha +\beta )}$$

$\alpha +\beta =0.98$ 對應約 34 個交易日——一次波動率衝擊要一個半月才消退一半。 這個數字解釋了為什麼市場動盪期總是比直覺預期的更長。

多期預測會回歸長期水準：

$${\mathbb{E}}_t[{\sigma }_{t+h}^2]={\bar{\sigma }}^2+(\alpha +\beta {)}^{h-1}({\sigma }_{t+1}^2-{\bar{\sigma }}^2)$$

這是 GARCH 相對於歷史波動率最實用的性質：它知道現在的高波動不會永遠持續。 單純用過去 20 日標準差做預測，等於假設當前水準永遠延續。

RiskMetrics 的 EWMA 是 GARCH 的特例

把 $\omega =0$、$\alpha +\beta =1$ 代入即得 ${\sigma }_t^2=(1-\lambda ){\epsilon }_{t-1}^2+\lambda {\sigma }_{t-1}^2$，也就是 IGARCH。RiskMetrics 的 $\lambda =0.94$ 就是這個模型。它沒有長期均值，所以多期預測是平的——這是它與 GARCH 最重要的行為差異。

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📖 槓桿效應：標準 GARCH 的結構性盲點

GARCH 的變異數方程式只用到 ${\epsilon }_{t-1}^2$，對正負衝擊的反應完全對稱。但股票市場的實證規律是下跌比同幅度上漲帶來更大的後續波動。兩個標準修補：

GJR-GARCH（Glosten、Jagannathan、Runkle，1993） 加一個只在負衝擊時啟動的項：

$${\sigma }_t^2=\omega +\alpha {\epsilon }_{t-1}^2+\gamma {\epsilon }_{t-1}^2{1}_{\{{\epsilon }_{t-1}<0\}}+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$

EGARCH（Nelson，1991） 對對數變異數建模，順帶解決了參數非負的約束問題：

$$\ln {\sigma }_t^2=\omega +\alpha \left(|z_{t-1}|-\mathbb{E}|z_{t-1}|\right)+\gamma z_{t-1}+\beta \ln {\sigma }_{t-1}^2$$

$\gamma <0$ 即為槓桿效應。

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📖 「沒什麼打得贏 GARCH(1,1)」——這句話被講錯了

Hansen 與 Lunde（Journal of Applied Econometrics 20(7), 2005, 873–889）比較了 330 個 ARCH 類模型的樣本外條件變異數預測。這篇論文的標題成了一句流行語，但它的結論是分資產的，而且兩半結論相反：

• 德國馬克／美元匯率：找不到證據顯示 GARCH(1,1) 被更複雜的模型打敗。
• IBM 股票報酬：GARCH(1,1) 明顯劣於允許槓桿效應的模型。

換句話說，這篇論文並不支持「沒有東西打得贏 GARCH(1,1)」這個概括說法。它支持的是：在沒有槓桿效應的資產上，複雜化不划算；在有槓桿效應的資產（股票）上，至少要用 GJR 或 EGARCH。

論文另外有一個方法論上的重要附註：White 的 Reality Check 檢定力不足，在他們的分析中無法區分好模型與壞模型，所以他們使用 Hansen 自己的 SPA 檢定。一份 CRAN 套件的複現也指出，結論會隨已實現變異數代理變數的選擇而改變。

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📖 它的真實限制

資訊來源只有日收盤價。 GARCH 用平方報酬作為波動率的代理，而平方報酬是真實變異數一個極吵的估計（即使模型完全正確，單日平方報酬也只有一個自由度）。高頻資料出現後，已實現波動率（把日內報酬平方加總）提供了遠為精確的量測，HAR-RV 這類直接對已實現波動率建模的模型在多數比較中勝過 GARCH。

擴散極限與粗糙波動率不符。 GARCH 的連續時間極限對應到標準的隨機波動率擴散，而 Gatheral 等人的證據指出對數波動率更像 Hurst 指數 0.1 左右的分數布朗運動（見 02）。

它預測變異數，不預測方向。 這決定了它的商業角色：風險管理、VaR、部位大小、選擇權定價的輸入，而不是訊號產生器。

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📖 A 級合不合理

合理，而且位置相當精準。 它不在 S 級，因為它不是其他模型的地基，也不是一個完整的框架，而是一個特定問題的特定解；它穩居 A 級，因為它在那個問題上三十多年來仍是必須被超越的標竿，而且超越它需要額外資料（高頻）而非更聰明的結構。

它與波動率目標化策略的連結見本站 趨勢投資專欄——部位大小正比於 ${\sigma }_{\text{target}}/{\hat{\sigma }}_t$，而 ${\hat{\sigma }}_t$ 怎麼估，GARCH 是標準答案之一。

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🔍 待解問題

• 0.95–0.99 的持續性區間是日頻股票的常見估計範圍，但本篇未引用特定研究的參數表。
• Hansen-Lunde 的結論在十年後的資料上是否仍成立，我沒有找到大規模的重做研究。
• HAR-RV 與 GARCH 的優劣比較在不同資產與頻率上的穩健性，本篇只引述了一般性說法。

🔗 參考連結

• Hansen & Lunde, A forecast comparison of volatility models: does anything beat a GARCH(1,1)?（PDF）
• CRAN forecastdom 套件的 Hansen-Lunde SPA 複現 vignette
• From constant to rough: A survey of continuous volatility modeling（arXiv 2309.01033）

🕒 更新紀錄

• 2026-11-09：建立。