線性迴歸——為什麼它到今天還是量化金融的主力

線性迴歸放 S 級是整張圖最沒有爭議的一格，而理由不是它最強，是金融資料的訊噪比低到讓「最強」這個概念失去意義。在訊號佔變異數不到百分之一的環境裡，模型的誤差幾乎全部來自估計變異而非設定偏誤，而降低估計變異的最有效手段就是減少參數。這條推論鏈是線性方法在金融長期不敗的全部原因。

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📖 形式與性質

$$\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{\beta }+\mathbf{\epsilon },\hat{\mathbf{\beta }}=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}$$

在 Gauss-Markov 假設（誤差期望為零、同質變異、無自相關、解釋變數外生）下，OLS 是最佳線性無偏估計量（BLUE）——在所有線性無偏估計量中變異數最小。

金融資料系統性地違反其中兩條假設，而兩者都有標準修補：

• 異質變異與自相關 → White 穩健標準誤、Newey-West HAC 標準誤。這不改變係數估計，只改變標準誤。 很多錯誤結論來自用了未修正的標準誤，把雜訊當成顯著。
• 內生性 → 工具變數、兩階段最小平方。在金融實證中難以找到有說服力的工具變數，是這個領域因果推論脆弱的主要來源。

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📖 在量化金融的五種用途

第一，風險分解。 CAPM 的 $\beta$、Fama-French 三因子與五因子的暴險，全部是迴歸係數。一個投資組合的風險報表本質上就是對一組因子報酬做迴歸之後的係數表。

第二，Fama-MacBeth 兩階段程序。 這是橫斷面資產定價的標準工具：第一階段對每一期 t 跑一次橫斷面迴歸，得到該期的因子溢酬 ${\hat{\lambda }}_t$；第二階段把這串時間序列取平均並用其時間序列變異計算標準誤：

$$\hat{\lambda }=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{\hat{\lambda }}_t,\mathrm{SE}(\hat{\lambda })=\frac{\mathrm{sd}({\hat{\lambda }}_t)}{\sqrt{T}}$$

這個設計的巧妙之處在於它用跨期變異來處理橫斷面的相關性，繞開了同一期內個股殘差高度相關這個難題。

第三，避險比率估計。 配對交易的避險比率、債券組合的久期中性化、期貨的最小變異避險比率，都是一條迴歸斜率。

第四，事件研究。 以估計期迴歸得到正常報酬模型，事件期的實際減預期即為異常報酬。

第五，正則化版本仍然是線性。 Ridge（$L_2$）、Lasso（$L_1$）、Elastic Net 都只是在目標函數加懲罰項：

$${\hat{\mathbf{\beta }}}_{\text{ridge}}=\arg \underset{\mathbf{\beta }}{\min }\Vert \mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\beta }{\Vert }^2+\lambda \Vert \mathbf{\beta }{\Vert }^2$$

它們放棄無偏性以換取更小的變異——正是前面那條訊噪比推論所建議的交易。 在高維因子環境下，正則化線性模型往往是最務實的選擇。

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📖 「簡單模型贏」不是偏好，是訊噪比的推論

預測誤差可分解為：

$$\mathbb{E}[(y-\hat{f}(x){)}^2]=\underset{\text{設定不足}}{\underbrace{{\text{Bias}}^2}}+\underset{\text{估計雜訊}}{\underbrace{\text{Var}}}+\underset{\text{不可約誤差}}{\underbrace{{\sigma }^2}}$$

影像辨識的 ${\sigma }^2$ 很小（貓的照片裡真的有一隻貓），所以把模型做大、壓低偏誤是對的。月報酬預測的 ${\sigma }^2$ 佔了變異數的絕大部分，R² 在百分之一量級已算好成績。在這種條件下，增加參數換來的偏誤下降微不足道，而變異上升是立即的。

這條推論有兩個獨立的實證印證：

• 長期時間序列預測：Zeng 等人（AAAI 2023）以一層線性模型 LTSF-Linear／DLinear，在九個真實資料集上全面勝過當時的 Transformer 架構，且幅度往往很大。
• 波動率預測：Hansen 與 Lunde（2005）比較 330 個 ARCH 類模型，在匯率資料上找不到任何模型顯著打敗 GARCH(1,1)（見 05）。

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📖 它會壞在哪裡

非線性與交互作用抓不到。 這是真實的限制，也是 Gu、Kelly、Xiu（RFS 2020）發現樹與神經網路能贏的原因——他們明確把增益歸因於允許非線性的預測變數交互作用，這是線性方法結構上做不到的。

設定搜尋導致的偽發現。 這是線性迴歸在金融最嚴重的問題，而且與模型本身無關，與使用者有關。Harvey、Liu 與 Zhu（RFS 2016，29(1): 5–68）檢視了 313 篇已發表與 63 篇準發表論文所提出的 316 個因子，論證在這種檢定數量下，沿用 t > 2.0 的慣例在統計上與經濟上都說不通，新因子應通過 t > 3.0 的門檻；他們並主張金融經濟學中多數宣稱的發現很可能是偽的。

這個門檻可能還太寬鬆

有評論指出 Harvey 等人的樣本只納入頂級期刊，而資料探勘的成本自該研究以來持續下降，真實門檻可能更高。另一方面，作者本人也主張有堅實理論基礎的因子可以適度放寬——這承認了純統計門檻無法取代經濟推理。

共線性。 因子之間高度相關時，$({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X})$ 接近奇異，係數估計極不穩定——符號會隨樣本翻轉。這時 R² 可以很高而每一個係數都不顯著，是典型的診斷訊號。

結構性斷裂。 迴歸假設係數固定。若 $\beta$ 其實隨時間變動，固定係數迴歸會給出一個誤導性的平均值。處理方式有二：滾動窗（要選窗長）或讓 $\beta$ 成為狀態變數交給 Kalman 濾波器。

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📖 S 級合不合理

完全合理。 它是整張圖上唯一同時滿足三個條件的模型：數學性質完全清楚（有封閉解、有最優性定理）、計算成本可忽略、在低訊噪比環境下有實證優勢。它也是其他多數格子的組成零件——PCA 是特定的線性投影、Kalman 是遞迴形式的加權最小平方、Nelson-Siegel 是固定負載的線性因子模型、GARCH 的平均式通常是 ARMA。

本站的 因子投資專欄整篇建立在這個工具上。

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🔍 待解問題

• 「R² 百分之一量級已算好成績」是月頻股票報酬預測的業界經驗說法，不同頻率與資產類別差異很大，本篇未給出特定出處。
• Harvey-Liu-Zhu 的 t > 3.0 門檻在實務上的採用程度不明；多數業界回測報告仍用 t > 2。
• 作者列表在不同來源中出現 Heqing Zhu 與 Caroline Zhu 兩種寫法，本篇採 NBER 工作論文的寫法。

🔗 參考連結

• Harvey, Liu, Zhu, … and the Cross-Section of Expected Returns（SSRN 2513152）
• Gu, Kelly, Xiu, Empirical Asset Pricing via Machine Learning（NBER w25398）
• Zeng 等, Are Transformers Effective for Time Series Forecasting?（arXiv 2205.13504）
• CXO Advisory, Taming the Factor Zoo（Harvey-Liu-Zhu 的評論與限制）

🕒 更新紀錄

• 2026-11-09：建立。