Heston 與 SABR——隨機波動率與微笑曲線

Heston 與 SABR 解的是同一個問題——Black-Scholes 的常數波動率假設被波動率微笑否證了，要怎麼補——但它們選了兩條用途不同的路。Heston 想用一個自洽的隨機過程涵蓋整個波動率曲面；SABR 放棄全局一致性，只求對單一到期日的微笑給出又快又準的解析近似。圖把它們合併成一格是合理的（同屬隨機波動率家族），但它們在交易室的角色其實不重疊。

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📖 Heston（1993）

$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sqrt{v_t}{S}_{t}d{W}_t^{(1)}$$ $$d{v}_t=\kappa (\theta -v_t)dt+\xi \sqrt{v_t}d{W}_t^{(2)},d{W}_t^{(1)}d{W}_t^{(2)}=\rho dt$$

五個參數各自對應曲面的一個可觀察特徵：

參數	意義	控制曲面的哪一部分
$v_0$	初始變異數	短天期的整體水準
$\theta$	長期均值變異數	長天期的水準
$\kappa$	均值回歸速度	期限結構的陡峭程度
$\xi$	波動率的波動率（vol-of-vol）	微笑的曲率
$\rho$	價格與波動率的相關性	微笑的傾斜方向，股票市場通常顯著為負

Heston 的真正貢獻不是這組動態，而是它有封閉形式的特徵函數。 變異數過程選用平方根（CIR）形式的理由就在這裡：它讓條件特徵函數可以解析求得，於是選擇權價格可以用傅立葉反轉在毫秒級算出，不必蒙地卡羅。在 1993 年那個算力條件下，這是能不能上線的差別。

Feller 條件

變異數過程不碰到零的條件是：

$$2\kappa \theta \ge {\xi }^2$$

實務上校準出來的參數經常違反它。 原因是市場要的 vol-of-vol 往往比條件允許的更大——曲面的曲率需要大 $\xi$，而 Feller 條件要求大 $\xi$ 必須配上大 $\kappa \theta$。違反條件的參數可以把當下曲面擬合得很好，但在路徑模擬時會產生數值問題（變異數觸零或變負），需要特別處理（全截斷、QE 格式等）。有些做法是在校準目標函數中加入違反 Feller 條件的懲罰項。

它擬合不好的地方

短天期微笑太陡。 多方來源一致指出 Heston 在到期日很近時表現不佳：隔夜與週選的微笑陡峭程度，Heston 必須用極端參數才追得上，而那組參數會毀掉長天期的擬合。有研究報告即使是 22 天到期的選擇權，標準 Heston 仍會高估隱含波動率並給出錯誤的微笑形狀。

機制上的理由很清楚：連續擴散過程在很短的時間內產生不了足夠大的尾部。 要在三天內讓深價外賣權有市場所報的價格，需要跳躍，而 Heston 沒有跳躍。常見的補救是 Bates 模型（Heston 加跳躍），它在短天期提供厚尾而不需要把 $\xi$ 推到荒謬的水準。

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📖 SABR（2002）

Hagan、Kumar、Lesniewski、Woodward 發表於 Wilmott。模型寫在遠期價格上：

$$d{F}_t={\sigma }_t{F}_t^{\beta }d{W}_t^{(1)}$$ $$d{\sigma }_t=\alpha {\sigma }_{t}d{W}_t^{(2)},d{W}_t^{(1)}d{W}_t^{(2)}=\rho dt$$

名稱來自四個參數：Stochastic Alpha（$\alpha$，vol-of-vol）、Beta（$\beta$）、Rho（$\rho$）。$\beta$ 決定了骨架：$\beta =1$ 是對數常態（Black），$\beta =0$ 是常態（Bachelier），$\beta =0.5$ 是 CIR 型。

SABR 的價值在於 Hagan 等人給出的隱含波動率漸近展開式——一個可以直接代入 Black 公式的近似解。這使得逐履約價的微笑擬合變成一次代數運算，快到可以放進即時報價系統。這是它成為利率選擇權（caps、swaptions）市場標準的主因。

使用方式與 Heston 根本不同

SABR 通常是逐到期日分別校準的。 每個 expiry 有自己的一組 $(\alpha ,\beta ,\rho ,\nu )$，彼此沒有一致性約束。這代表 SABR 嚴格來說不是一個跨到期日的無套利模型，它是一個微笑插值器。

這個取捨是刻意的：交易員要的是「給我這個到期日的微笑，現在」，不是「給我一個對整個曲面都自洽的隨機過程」。要定價依賴曲面動態的路徑相依商品，就得回去用 Heston 類的模型。

兩個已知缺陷

翼部爆炸。 Hagan 的封閉近似在深價外會失效，產生負的隱含波動率或荒謬的尖峰，對應到負的風險中性密度——即套利。修補方式是無套利 SABR 形式（Hagan、Lesniewski、Woodward，2014）或直接解偏微分方程式。

負利率。 原始 SABR 在 $\beta >0$ 時要求 $F>0$。歐元、日圓、瑞郎利率轉負後，市場轉向 shifted SABR：把模型套用在 $F+b$ 上，$b$ 是位移常數（$b=0$ 即退回原始 SABR），使有效遠期價格保持為正。這已是業界標準做法。另一條路是 Antonov 等人的 free-boundary SABR，但它的代價是先驗地假設利率可以非常負。

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📖 分工表

	Heston	SABR
擬合對象	整個曲面	單一到期日的微笑
跨到期日一致	是	否（逐期獨立校準）
定價方法	傅立葉反轉	隱含波動率近似式直接代入 Black
主要市場	股票、FX、外來商品	利率（caps、swaptions）
弱點	短天期微笑太平、Feller 條件常被違反	翼部套利、原始版不支援負利率
典型補強	加跳躍（Bates）、加時間相依參數	無套利 SABR、shifted SABR

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📖 兩者共同面對的挑戰：波動率是「粗糙」的

Gatheral、Jaisson 與 Rosenbaum（Volatility is rough，2014 預印本，2018 刊於 Quantitative Finance）以高頻資料估計發現，對數波動率的行為近似於 Hurst 指數 $H\approx 0.1$ 的分數布朗運動，跨資產估計值穩定落在 0.08 到 0.2 之間。

$H<1/2$ 意味著路徑比標準布朗運動更不規則。這對 Heston 與 SABR 都是結構性的挑戰：它們都是低維馬可夫的隨機波動率模型，$H=1/2$ 內建在假設裡。後續工作（rough Bergomi 等）主張傳統模型產生的隱含波動率曲面與資料不符，特別是短天期微笑的陡峭程度——這與 Heston 短天期擬合不良的實務觀察是同一個現象的兩種描述。

同一篇工作還有一個附帶結論：波動率長記憶性這個「程式化事實」可能是粗糙性的副產品，而不是獨立現象。

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🔍 待解問題

• Heston 原始論文的 Feller 條件陳述與數值穩定性建議，本篇依據的是實務整理而非論文原文，需核對 1993 年 Review of Financial Studies 原文。
• 粗糙波動率模型在實際交易室的部署程度沒有公開統計。它在學術上已是主流，在生產系統中的佔比未知。
• $H\approx 0.1$ 的估計對量測雜訊與估計方法的敏感度仍有爭論；有 2023 年研究報告的代理變數估計值甚至接近 0。

🔗 參考連結

• Wikipedia, SABR volatility model（含 Hagan 展開式與 shifted SABR）
• Gatheral, Jaisson, Rosenbaum, Volatility is rough（arXiv 1410.3394）
• From constant to rough: A survey of continuous volatility modeling（arXiv 2309.01033）
• MathWorks, Price Swaptions with Negative Strikes Using the Shifted SABR Model
• Janek 等, FX Smile in the Heston Model（arXiv 1010.1617）

🕒 更新紀錄

• 2026-11-09：建立。