Bachelier 與 Black-Scholes——算術 vs 幾何布朗運動

這兩個模型的差別只有一個假設：價格的絕對變動是常態的（Bachelier），還是相對變動是常態的（Black-Scholes）。 其餘的推導結構——無套利、動態複製、風險中性測度、熱方程式——完全共用。把它們放在同一篇是因為理解了這個單一分歧，兩個模型就同時理解了，而且 2020 年四月油價為負時市場的反應也就不需要額外解釋。

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📖 Bachelier（1900）

Louis Bachelier 於 1900 年 3 月 29 日在索邦通過博士論文《Théorie de la spéculation》，內容包含了布朗運動的數學定義、馬可夫性質，以及布朗運動與熱方程式的連結——比 Einstein 的 1905 年論文早五年。他的模型是：

$$d{S}_t=\sigma d{W}_t$$

也就是價格本身服從算術布朗運動，增量 $S_{t+\Delta }-S_t$ 服從 $N(0,{\sigma }^2\Delta )$。歐式買權的封閉解是：

$$C=(S_0-K)\Phi (d)+\sigma \sqrt{T}\varphi (d),d=\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}$$

其中 $\Phi$ 與 $\varphi$ 分別是標準常態的分布函數與密度函數。這裡的 $\sigma$ 單位是價格／時間平方根（例如美元每年平方根），不是百分比——業界稱為 normal volatility（常態波動率），與 Black-Scholes 的 lognormal volatility 不同量綱。

最常被引用的「缺陷」：模型允許 $S_t$ 變負。 這在 1900 年被視為對股票的致命錯誤，Samuelson 與天文學家 M.F.M. Osborne 各自提出改用價格的對數服從布朗運動，這就是幾何布朗運動的由來。

Bachelier 的工作在經濟學界被遺忘了半世紀，1950 年代才由 Jimmie Savage 從耶魯寄出的一批明信片引發重新發現，Samuelson 是收信人之一。

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📖 Bachelier 在 2020 年的復活

2020 年 4 月 20 日，WTI 五月期貨結算價跌至負值，是史上第一次。對數常態模型在數學上無法處理這件事：$\ln (S)$ 在 $S<0$ 時無定義，Black-76（期貨選擇權用的對數常態變體）會直接崩潰。

CME 在 4 月 8 日就已發出公告，說明若價格跌破某門檻，將把標準能源選擇權模型從幾何布朗運動／Black-Scholes 框架切換到 Bachelier 模型。CME 與 ICE 隨後暫時把原油與天然氣選擇權改用 Bachelier，持續到該年 8 月左右。

這件事的意義不只是一次應急。Bachelier 處理負價格的能力不是補丁，而是它本來就沒有做「價格恆正」這個假設。 一個被認為過時了一百二十年的模型，在被認為過時的那個理由上，比取代它的模型更正確。

不只是油

在歐元、日圓、瑞郎利率轉負之後，利率選擇權市場早已普遍改用 normal vol 報價。「Bachelier 是歷史文物」這個印象在固定收益領域從來不成立。

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📖 Black-Scholes（1973）

模型假設標的服從幾何布朗運動：

$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$$

核心推導不是機率，而是複製。 構造組合 $\Pi =V-\Delta S$，選 $\Delta =\partial V/\partial S$ 讓隨機項消失，剩下的部分必須賺無風險利率，否則存在套利。由此得到 Black-Scholes 偏微分方程式：

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$$

歐式買權解為：

$$C=S_0\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2)$$ $$d_1=\frac{\ln (S_0/K)+(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$

漂移項 $\mu$ 不在公式裡。 這是整個推導最反直覺也最重要的結果：選擇權的價格與標的的期望報酬無關，因為避險組合把方向性風險消掉了。兩個對股票未來走勢看法完全相反的人，只要對波動率看法一致，就會對選擇權報出同一個價格。

五個假設，以及每一個被否證的方式

假設	現實	後果
報酬對數常態、波動率為常數	報酬有厚尾與波動率叢聚	波動率微笑／偏斜
可連續避險、無交易成本	離散避險＋成本	複製誤差，成本隨避險頻率上升
價格路徑連續無跳躍	財報、政策、崩盤都是跳躍	短天期深價外選擇權被嚴重低估
可無限制借貸同一利率	買賣利差、融券成本	買賣權平價關係出現偏差
標的可無限分割、可放空	放空限制、配息離散	實務需逐項調整

波動率微笑：這個模型被否證的直接證據

Black-Scholes 預測隱含波動率對所有履約價應該相同。Rubinstein（1994）以標普 500 指數選擇權檢驗這個預測，發現 1987 年 10 月崩盤之前形態接近平坦，之後轉為向下傾斜——這就是後來所說的波動率微笑（在指數市場更常稱為偏斜）。Jackwerth 與 Rubinstein（1996）進一步指出，崩盤前的風險中性分布接近對數常態，崩盤後則呈現高峰態與負偏態。

換句話說，Black-Scholes 的核心分布假設有一個可以查得到日期的失效點。

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📖 它是報價語言，不是信念

既然假設被否證，為什麼它還在用，還被放在 S 級？

因為買權價格對波動率嚴格遞增（$\mathcal{V}=\partial C/\partial \sigma =S_0\sqrt{T}\varphi (d_1)>0$），所以 Black-Scholes 公式在價格與「隱含波動率」之間建立了一個一對一映射。 交易員不是用它算出「正確價格」，而是用它把一個難以比較的數字（美元價格，隨履約價與到期日劇烈變動）轉換成一個可以比較的數字（隱含波動率）。

這個用法有三個直接後果：

1. 模型錯不錯不重要，只要映射是單調的。 報價 18 個隱含波動率點與報價某個美元金額是同一件事。
2. 波動率微笑不是模型的失敗，是模型的輸出格式。 微笑的形狀本身就是市場對非對數常態性的定價，它是資訊，不是誤差。
3. Greeks 成為共同的風險語言。 Delta、Gamma、Vega、Theta 的定義來自這個模型，整個交易室的風險報表用這套座標溝通，即使大家都知道底層假設不對。

一句話

Black-Scholes 存活下來，不是因為它正確，而是因為沒有人相信它。它被當成單位換算器而非預測器使用，而單位換算器只需要單調，不需要正確。

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📖 兩個模型之間的換算

同一個選擇權可以用 normal vol 報，也可以用 lognormal vol 報。在平價（$K=F$）附近，兩者有一個相當準確的近似關係：

$${\sigma }_{\text{normal}}\approx {\sigma }_{\text{lognormal}}\times F$$

即常態波動率約等於對數常態波動率乘上遠期價格。Choi 等人（2021，Journal of Futures Markets）給出了系統性的轉換方法與高階修正，是這個主題的標準參考文獻。

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📖 什麼時候用哪一個

情境	選擇	理由
股票、股價指數選擇權	Black-Scholes／Black-76	價格恆正，報酬近似對數常態
利率選擇權、swaption	Bachelier（normal vol）	負利率環境下對數常態不可用
價差選擇權（spread options）	Bachelier	價差本來就可正可負
商品在極端逆價差時	Bachelier	2020 年原油的直接教訓
需要處理微笑結構	兩者都不夠	見 Heston 與 SABR

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🔍 待解問題

• CME 2020 年切換的精確生效日在二手來源中不一致（4 月 8 日公告、4 月 20 日負結算、4 月 22 日前後切換），需查 CME 原始公告才能確定。
• 波動率微笑出現的成因仍有爭議：崩盤風險定價、報酬非常態、隱含分布估計的外插誤差，三種解釋在文獻中並存，沒有定論。
• Bachelier 的布朗運動優先權並非完全無爭議：Thorvald Thiele 在 1880 年已發表類似過程的模型。

🔗 參考連結

• Choi, Kwak, Tee, Wang, A Black-Scholes user’s guide to the Bachelier model（arXiv 2104.08686）
• Risk.net, A positive response to negative oil prices
• Mark Davis, Louis Bachelier’s Theory of Speculation（講義 PDF）
• Warwick WBS 工作論文，整理 Rubinstein（1994）與 Jackwerth-Rubinstein（1996）的微笑證據

🕒 更新紀錄

• 2026-11-09：建立。