第 50 課「泡沫期與最終桌:ICM 壓力下的打法轉換」處理的是「已經坐在桌上,這一手該怎麼決定」;今天往前一步,處理「該不該坐這張桌、該不該報這場賽事」。先講自算結論: 在我自擬的六人現金桌模型裡,把一個強勢常客換成一個技術差 12 個單位的魚,我的勝率從 4.8 提高到 7.2 bb/100(扣掉我假設的 4 bb/100 抽水後是 0.8 變 3.2,四倍);在我自擬的錦標賽模型裡,同樣的技術優勢(ROI 約 24%),100 人賽事的破產風險(100 個買入銀彈、2 萬場內)約 1.3%,1000 人賽事約 27.8%,5000 人賽事約 59.7%,人數幾乎不改 ROI,改的是變異;抽水從 5% 到 15%,同一個技術 ROI 從 31.2% 掉到 17.4%。全部是紙上模型與我自己寫的模擬,沒有對照真實對局資料;台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文定位是機率與決策訓練,不構成任何下注或買入建議。
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一、現金桌:對手弱度怎麼變成你的勝率
先要一個能算的模型。我設定六人桌,每個人有一個技術分數 a(單位 bb/100,代表「對上平均對手的相對強度」的刻度,不是任何真實量測),任兩人對決的期望差是 a 的差,而你的總勝率是對其他五人的平均:
勝率_i = a_i − (其他五人 a 的平均) = (6×a_i − S) ÷ 5 S = 六人 a 的總和
這個式子自動滿足零和(六人勝率相加為 0;未計抽水)。我再假設每人每 100 手付 4 bb 的抽水(整桌固定,真實抽水取決於底池與平台,留待第 52 課),所以實際勝率 = 上式 − 4。
桌 A(強桌): 我 +5,其他五人 +4、+2、0、−2、−3,S = 6。我的勝率 = (6×5 − 6) ÷ 5 = 4.8 bb/100,扣抽水後 0.8。桌 B: 把 +4 的強勢常客換成 −8 的魚,S = −6,我的勝率 = (30 + 6) ÷ 5 = 7.2,扣抽水後 3.2。
| 座位 | 桌 A 勝率 | 桌 B 勝率 |
|---|---|---|
| 我(+5) | 4.8 | 7.2 |
| 強勢常客(+4)/魚(−8) | 3.6 | −8.4 |
| +2 | 1.2 | 3.6 |
| 0 | −1.2 | 1.2 |
| −2 | −3.6 | −1.2 |
| −3 | −4.8 | −2.4 |
| 合計 | 0 | 0 |
換一個對手帶來的邊際收益有一個乾淨的公式:把技術 a_out 的人換成 a_in,我的勝率變化 = (a_out − a_in) ÷ 5。 所以換掉 +4 換成 −8 是 12 ÷ 5 = 2.4;再把 +2 的人換成 −8,是 10 ÷ 5 = 2.0,勝率 9.2;再換掉 0 的人,是 8 ÷ 5 = 1.6,勝率 10.8。邊際收益遞減(2.4、2.0、1.6)不是「魚的效果遞減」,而是我每次換掉的人一個比一個弱,這是這個模型的結構,不是從真實牌桌量到的。重點是量級: 一個魚換掉一個強者的價值(2.4 bb/100)是我扣抽水後底薪(0.8)的三倍。在這個模型裡,桌選的槓桿大過多數「技術小幅進步」能帶來的差別。
找桌要花時間。假設線上同時開四桌、每小時約 300 手(我假設):桌 B 每小時 3.2 × 3 = 9.6 bb,桌 A 是 2.4 bb。若找桌佔掉比例 f 的時間,只剩 (1 − f) 的手數可打,損益平衡是 (1 − f) × 3.2 = 0.8,f = 75%;花 10% 時間找桌,有效勝率 2.88,仍是桌 A 的 3.6 倍。這個數字當然過度樂觀:真實世界裡有魚的桌很快被坐滿、桌選工具與牌室規則各不相同,我沒有把這些放進模型。
二、找魚的誤判:30 手樣本能認出誰
模型裡的「魚」在現實要靠少量樣本辨認,這一步的誤判會吃掉一部分收益。承第 36 課的 VPIP:設魚的真實 VPIP 為 48%,常客 60% 是 24%、40% 是 30%(都是我設的);判定規則是 30 手中入池至少 12 手(40%)。
P(標成魚 | 真的魚,p=0.48) = 85.5%
P(標成魚 | 常客 24%) = 3.8%
P(標成魚 | 常客 30%) = 15.9%
非魚整體(0.6×3.8% + 0.4×15.9%) = 8.66%
若場上 15% 的人是魚:被標成魚的人真的是魚的機率 = 0.15 × 0.855 ÷ (0.15 × 0.855 + 0.85 × 0.0866) = 0.1283 ÷ 0.2019 = 63.6%(魚的比例 10% 時 52.3%,25% 時 76.7%)。假設真的是魚時換進來的收益是 2.4,是普通常客(a = 0)時只有 0.8,那依標記入座的期望收益 = 0.636 × 2.4 + 0.364 × 0.8 = 1.82,不是 2.4。這是少量樣本做決定的價格,約 24% 的收益被誤判吃掉。 判定門檻、樣本數都是我設的,用大一點的樣本會準,但等樣本累積時魚也可能已經離桌。
三、錦標賽:人數改變的是變異,不是 ROI
賽事端,我寫了另一個模型:所有對手技術相同(權重 1),我的權重 w;名次依 Plackett-Luce(每個人的名次由「權重的對數加 Gumbel 雜訊」排序決定)。w = 1.4 表示在任一對一比較中,我排在平均對手前面的機率是 w ÷ (1 + w) = 58.3%。獎金結構取「前 15% 名次入錢圈、第 r 名獎金正比於 1 ÷ r」,第 1 名佔獎金池約 30%(100 人)、17.9%(1000 人)、13.9%(5000 人);以 1000 人為例,最低入錢圈約 1.07 個買入。所有買入含 10% 賽事費,獎金池是參賽者總買入的 90%。這些結構、w = 1.4、10% 抽水全是我的假設,沒有對照真實賽事資料。 我逐場抽樣 1200 萬次(每個人數),結果:
| 參賽人數 | 單場 ROI | 單場標準差(買入) | 入錢率 | 冠軍率 | 破產風險(100 買入銀彈,2 萬場內) | 5% 破產風險所需銀彈 | 95% 確認 ROI 為正所需場數 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 23.9% | 3.83 | 20.3% | 1.40% | 1.3% | 約 92 | 約 700 |
| 1000 | 24.8% | 7.61 | 20.4% | 0.140% | 27.8% | 約 350 | 約 2550 |
| 5000 | 25.1% | 13.34 | 20.4% | 0.028% | 59.7% | 約 1060 | 約 7630 |
三個 ROI 都在 24% 到 25% 之間,差在 1 個百分點內(模擬標準誤約 0.1 到 0.3 個百分點,我沒有追究差異是否為真);人數幾乎不改 ROI,卻把標準差從 3.8 推到 13.3 個買入,銀彈需求拉高十幾倍。 破產風險用路徑模擬算:從這 1200 萬個單場結果中隨機重抽、串成 2 萬場的路徑,數有多少條路徑曾經虧掉 100 個買入(重抽假設各場獨立、分佈不變,這是簡化)。同一組數字若改用 Brownian 近似 exp(−2μB ÷ σ²)(μ 是單場期望獲利、σ 是標準差、B 是銀彈),給出 3.9%、42.5%、75.4%,高估約 1.3 到 3 倍;表中「所需銀彈」(B = ln(20) × σ² ÷ 2μ)用的就是這個近似,應視為偏保守的上界。
銀彈 100 個買入看似夠用,其實不夠:1000 人賽事有 27.8% 的路徑在 2 萬場內曾經虧光,即使這個人技術好到 ROI 24%。若銀彈拉到 300 個買入,1000 人賽事風險降到 1.9%,5000 人賽事仍是 21.9%。再看實際會「感受到」的:1000 場之內曾回撤超過 50 個買入的路徑,100 人賽事是 12.5%,1000 人是 49.1%,5000 人是 73.5%;500 場後帳面為負的機率,是 7.5%、25.1%、43.6%。這回到第 16 課的主題:你的技術沒變,變的只是樣本要多久才讀得出來。
技術沒那麼好時更尖銳。我把 w 降到 1.25(ROI 約 11%)再跑:100 人賽事 ROI 11.1%、標準差 3.63、100 買入的破產風險 14.8%;1000 人賽事 ROI 11.5%、標準差 7.19、100 買入的破產風險 58.9%,300 買入 18.4%,500 買入仍有 6.5%;確認 ROI 為正要約 1 萬場。對照資金管理專欄給 MTT 的「100 個買入常見、200 保守、250 到 300 職業」,我這組數字顯示對大場、低 ROI 的人,100 買入大約只是下限的起點。
四、賽事選擇:強弱場與抽水,哪個影響更大
固定 300 人、其他不變,我做 2×2:技術(強場 w = 1.15 對 軟場 w = 1.40)乘抽水(5% 對 11%):
| 組合 | ROI | 標準差 | 5% 破產風險所需銀彈(Brownian 上界) | 100 買入銀彈破產風險(Brownian 上界) | (μ ÷ σ)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 強場、抽水 5% | 8.6% | 4.99 | 約 436 | 50.3% | 0.00029 |
| 強場、抽水 11% | 1.9% | 4.70 | 約 1707 | 83.9% | 0.00002 |
| 軟場、抽水 5% | 31.4% | 5.49 | 約 144 | 12.4% | 0.00327 |
| 軟場、抽水 11% | 22.8% | 5.14 | 約 174 | 17.8% | 0.00197 |
(μ ÷ σ)² 是挑選指標:在固定破產風險 ε 下,所需銀彈 B = ln(1 ÷ ε) × σ² ÷ 2μ,每場期望獲利佔所需銀彈的比例 = 2μ² ÷ (ln(1 ÷ ε) × σ²),與 (μ ÷ σ)² 成正比,所以「每單位銀彈長得多快」的排序就是這一欄。軟場、高抽水(0.00197)比強場、低抽水(0.00029)好 6.8 倍; 同一種場裡,抽水從 5% 到 11% 讓 ROI 少 6.7 到 8.6 個百分點,而場子軟硬差別是 21 到 23 個百分點。
抽水怎麼吃掉 ROI 可以直接算。300 人、w = 1.4 時,未扣抽水的平均獎金是買入的 E = 1.381 倍;抽水 r 時 ROI = E × (1 − r) − 1:
r = 5%: 1.381 × 0.95 − 1 = 31.2% 損益平衡所需 E = 1/(1−r) = 1.053
r = 8%: 1.381 × 0.92 − 1 = 27.0% 1.087
r = 10%: 1.381 × 0.90 − 1 = 24.3% 1.111
r = 15%: 1.381 × 0.85 − 1 = 17.4% 1.176
我把 w 掃了一遍,E 大約是:w = 1.05 → 1.047、1.10 → 1.097、1.15 → 1.147、1.20 → 1.192、1.30 → 1.288、1.40 → 1.383。內插後,抽水 5% / 10% / 15% 時損益平衡的 w 約 1.055 / 1.114 / 1.182,也就是你在一對一比較中要排在平均對手前面 51.3% / 52.7% / 54.2% 的時間才不虧。換句話說,抽水決定你要「領先平均對手多遠」才打平,而不是領先的人多一點點就能繼續。
結構深度(起始籌碼 bb 數、盲注升速)在模型裡沒有直接的位置,我只能用 w 的變化示意:若結構較淺、較快,技術被壓縮,假設 w 從 1.40 降到 1.25(這個對應是我假設的,不是量到的),300 人、10% 抽水的 ROI 從 24.3% 變成 1.236 × 0.90 − 1 = 11.2%,縮水超過一半。方向有道理(籌碼淺時決策變少、推棄為主,第 35 課),但「縮水一半」只是假設的函數形狀。
🧠 為什麼是這樣
這兩個模型共同的核心是:勝率或 ROI 是「你的技術」與「你選的那群對手」相乘出來的,而你能直接控制的是後者。 技術分數要練很久才多一點,換桌只要幾秒鐘;可是它的價值只在「別人的技術分數真的有差」時才存在,這是第一個失效條件。
我的模型有明確邊界。第一,現金桌是線性、可加的,沒有位置、沒有對手之間的互動、沒有魚會輸給誰的結構(魚輸錢的對象可能集中在跟他同位置附近的人,而不是平均分給五個人);第二,Plackett-Luce 用一個固定的 w 描述技術,現實裡技術優勢會隨結構深度、盲注級別、對手類型(第 36、37 課)而變,也不是對所有對手一致的比例;第三,1/r 的獎金結構是近似;第四,路徑模擬是自助重抽(獨立同分佈),真實賽事間有學習、疲勞與傾斜(學習系統),且你的 w 本身是估計值,可能和你以為的差很多;第五,Brownian 近似我只用它作上界,並用重抽路徑對照過,但在重尾分佈(5000 人賽事的樣本內最大單場獎金是買入的 695 倍)下兩者的差距沒辦法保證穩定。第六,ROI 本身有選擇偏誤:你只會看到自己報名過的賽事的結果,若你因為「最近這類賽事贏得多」而選場,你其實是在挑樣本內的雜訊,而不是挑真實的軟場。
反制也是現實:桌選有人在用,魚少了,桌子會被填滿;你在大賽事報名的低買入場次,也會被其他專門的人搶先,軟場會逐漸變硬,所以我的 w = 1.4 不是穩定的「軟場常數」。另外,桌選與賽事選擇本身不是 EV 保證,它只是重新分配你面對的對手分佈;若你的目的是練決策,刻意坐進強桌可能比坐魚桌學得更多,這時你拿到的就不是「長期收益率」而是「學習率」,兩者不要混為一談。這一點與第 49 課以來的主線一致:技巧與資訊是用來更準確地決定,不是用來保證結果。
資金面與紅線:錦標賽買入費是可能全部損失的成本;本課所有銀彈數字都在說「高變異賽事需要比你直覺大很多的緩衝」,絕不是鼓勵你拉高買入或場數。依專欄立場,銀彈建議 30 到 50 個買入起跳(現金)、MTT 更多,而且用的是你輸得起的錢;若覺得想靠「找魚桌、找軟場」把收入穩定下來,這個模型要你回答的是「若 w 其實只有 1.1,你還撐得住嗎」。台灣沒有合法的現金撲克賭場,實體牌局與網路平台的合法性請自行確認(德州撲克專欄 · 錦標賽與 ICM談的是機率,不是規避法規);本文是機率與決策訓練,不構成下注建議。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆與計算機即可,不必進任何賭場。
- 現金桌:我 a = +3,其他五人為 +2、+1、0、−1、−5(S = 0)。算我的勝率(公式 (6a − S) ÷ 5),扣 4 bb/100 抽水後的淨勝率;然後把 +2 的那個人換成 −6 的魚,算新勝率與邊際收益,並用「(a_out − a_in) ÷ 5」核對。
- 賽事抽水:設你未扣抽水的平均獎金是買入的 1.15 倍。算抽水 8% 與 12% 的 ROI,再算損益平衡抽水 = 1 − 1 ÷ 1.15。
- 銀彈與樣本:ROI 15%、單場標準差 6 個買入。算確認 ROI 為正(95% 單尾)所需場數 (1.645 × σ ÷ μ)²,再算 5% 破產風險所需銀彈 ln(20) × σ² ÷ 2μ,並寫下這個近似是偏保守還是偏樂觀,依據是什麼。
- 辨認魚:拿我今天的 30 手判定表(魚 85.5%、非魚 8.66%),把魚的比例改成 20%,重算「被標成魚的人真的是魚」的機率,並說明「樣本變多」會往哪個方向改善。
- 在紙上寫出你會用來檢查「這個桌選或賽事選擇真的有效」的過程指標(例如對手 VPIP 差距、報名的賽事抽水平均),而不是用近期結果。
自我檢查
- 步驟 1:我的勝率 = 6 × 3 ÷ 5 = 3.6,淨 −0.4;換成魚後 S = −8,新勝率 (18 + 8) ÷ 5 = 5.2,邊際收益 1.6,等於 (2 − (−6)) ÷ 5;淨勝率 1.2。
- 步驟 2、3:抽水 8% 時 ROI = 1.15 × 0.92 − 1 = 5.8%,12% 時 1.2%,損益平衡抽水約 13.0%;所需場數 (1.645 × 6 ÷ 0.15)² 約 4330 場,銀彈約 360 個買入;近似偏保守(我今天的重抽路徑對照顯示 Brownian 近似高估破產風險 1.3 到 3 倍),但這個是在我的模型下的觀察,不是普遍定律。
- 步驟 4:0.20 × 0.8555 ÷ (0.20 × 0.8555 + 0.80 × 0.0866) = 0.1711 ÷ 0.2404 = 71.2%;樣本變多會提高準確度,但對手可能已經離桌,我說得出這個取捨。
- 我標明了哪些是自己設的假設(技術分數、w、獎金結構、抽水、VPIP 分佈),哪些是公式直接算出來的。
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · 資金管理與心態基礎——變異數、破產風險與各場型銀彈基準。
- 德州撲克專欄 · 學習系統——用決策品質而非結果評估自己的流程。
- 第 16 課 · 變異數與樣本數——為什麼單場、單桌的結果讀不出真實勝率。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 51 課:桌選與賽事選擇:對長期收益率的實際影響。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注或買入建議):
- 六人桌技術分數 [我 +3,其他 +2、+1、0、−1、−5],勝率公式 (6a − S) ÷ 5,抽水 4 bb/100
- 我算出的勝率:[...];把 +2 換成 −6 後,我算出的新勝率與邊際收益:[...]
- 未扣抽水的平均獎金 1.15 倍買入,抽水 8% 與 12% 時我算出的 ROI:[...]、損益平衡抽水:[...]
- ROI 15%、標準差 6 個買入,我算出的確認所需場數 [...]、5% 破產風險所需銀彈 [...]
- 我設定的「找魚」判定規則與樣本數:[...]
請依序回答:
1. 逐步重算我的數字,指出算錯的地方。
2. 說明這個線性、可加的桌選模型的假設,哪些在現實裡不成立(位置、對手互動、桌子被填滿)。
3. 說明 Brownian 破產風險近似 exp(−2μB ÷ σ²) 的假設與誤差方向,什麼情況下會低估或高估。
4. 說明為什麼「人數多不改 ROI、卻改變異與銀彈需求」只在 Plackett-Luce 這種模型下成立,真實賽事裡還有什麼會讓 ROI 隨人數改變。
5. 我該用什麼「過程指標」而不是結果來檢查自己的桌選或賽事選擇有沒有效。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,不要給我下注、買入或注級建議,也不要編造連結或數據。