上一課把「籌碼不等於錢」講清楚了:ICM 把獎金結構的非線性換算算成一個具體數字,而且證明了一件反直覺的事——大籌碼跟短籌碼拋一個 chipEV 中性的硬幣,ICM 期望值通常是虧的。今天要處理的是這條結論最常被實際用到的場景:當你自己就是那個短籌碼,你手上的決策工具會整套換掉。 深籌碼時代第 4 課教的翻前開池範圍表,是建立在「你還有加注、跟注、之後看牌面再決定要不要繼續」這一整條決策鏈上的;一旦你的有效籌碼跌到大約 15 個大盲以下,這條鏈會在第一個環節就斷掉——你加注到 2.2 倍大盲之後,桌上剩下的籌碼已經薄到你面對再加注幾乎沒有棄牌的空間,等於你花錢買了一個「其實不能反悔」的承諾。今天要解決的問題是:當開池範圍表失效之後,短碼玩家實際在用的是什麼工具,那個工具怎麼算出來,以及它的門檻在哪裡。
今天所有位置與範圍的百分比,不論是引用真實 Nash 表還是自己設計的算式,單位都是抽象的籌碼與獎金,不涉及任何真實下注;台灣沒有合法的現金撲克賭場,刑法第 266、268 條規範公共場所賭博與提供賭場,這裡談的是機率工程,不是下注建議。
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一、為什麼開池範圍表在短碼會失效
第 4 課的翻前開池範圍,本質上是一張「假設你之後還能根據翻牌、轉牌、河牌反應調整」的表——它算的是整條決策路徑的期望值,而路徑上每一步都保留了棄牌的選項。短碼把這個假設拆掉了。當你的有效籌碼只剩 10 個大盲,一次標準的 2.2 倍大盲加注會讓你的底池賠率(pot odds)剩下的空間小到可笑:桌上如果有人再加注,你面對的通常是「拿剩下不到 8 個大盲去跟一個已經投入 2.2 個大盲的底池」,這個決策幾乎必然是跟,因為你已經沒有折返的資本。加注但不全下,在這個深度變成一個劣質選項——你付出了「被再加注」的風險,卻沒有換到「後續還能棄牌」的彈性,那不如一開始就全下,至少換到一樣東西:對手棄牌的機率(fold equity)。
這正是短碼策略的核心簡化:把「開池、跟注、加注、再加注」這一整組選項,壓縮成一個二元選擇——全下(push)或蓋牌(fold)。這個簡化聽起來像是偷懶,但它其實讓問題從一個沒有解析解的多街賽局,變成一個可以精確求解的雙人賽局:對手只需要決定跟或不跟,而你已經把自己的後續決策鎖死了。正因為這個簡化,短碼推棄才有可能被算成一張表,而不是像深籌碼策略那樣永遠停留在「大致的原則」。
二、Nash 均衡推/棄表:由來與怎麼算出來
把每手起手牌簡化成推或棄之後,剩下的是一個典型的賽局論問題:推方要決定哪些牌值得全下,跟方要決定哪些牌值得跟注,而兩邊的最佳策略互相牽制——推方的範圍越寬,跟方的最適跟注範圍也會跟著變寬(因為推方裡混了更多弱牌);跟方跟得越鬆,推方能安全地推的範圍也會跟著收窄。這種「雙方互相牽制、直到沒有人能透過單方面改變策略而獲利」的狀態,正是**納許均衡(Nash equilibrium)**的定義,而把它應用在推/棄這個簡化賽局上算出來的一組範圍,就是一般說的 Nash push/fold 表。
把這套算法系統性整理成牌手能查的表格,最早的重要文獻是 2007 年 Lee Nelson、Tysen Streib、Steven Heston 與 Mark Vos 合著的《Kill Everyone》,書中用一個叫 Power Number 的近似公式,讓讀者不用真的解賽局矩陣也能大致重建這張表;更早的 Sklansky 與 Miller 在錦標賽文獻裡討論的短碼調整,以及 ICM 本身的 Malmuth-Harville 模型,則是這張表背後更早的機率基礎(上一課已經手算過整套 ICM 遞迴)。今天已經沒有人真的手算 Nash 均衡矩陣,而是直接查表,或用 ICMIZER、Holdem Resources Calculator(HRC) 這類工具即時生成——這些工具做的事,本質上就是把「推方範圍、跟方範圍互相牽制到均衡」這件事,交給電腦跑收斂運算。
Nash 表有三個對短碼玩家最實用的性質,和上一課的 12 課專欄整理過的一致:籌碼越短,推的範圍越寬——因為底池(盲注與前注)相對於你要冒的風險變大了,5 個大盲時按鈕/小盲對大盲的推牌範圍可以超過六成的起手牌,15 個大盲時降到約二成五左右;前注(ante)大幅放寬範圍,因為前注增加了底池卻不增加你的成本,現代錦標賽普遍用大盲前注(BB ante),用沒有前注的舊表打有前注的新結構,會系統性地推得太緊;跟注範圍遠比推牌範圍窄,因為推牌有兩種贏法(對手棄牌、攤牌贏),跟注只有一種贏法,所以「拿推牌範圍去跟推牌」幾乎必然是虧的。
一個查得到的真實數字可以當門檻感:根據 pokerpro.tools 提供的互動 Nash 圖表,雙人情境(小盲對大盲)、無前注、純 chipEV(不含 ICM 調整)的均衡解,10 個大盲深度時小盲的推牌範圍是 52 種起手牌組合,佔全部 169 種起手牌的 30.8%。這是一個雙人簡化情境下的數字,和多人桌按鈕位面對兩個或更多還沒行動的對手時的正確範圍不會完全相同(後面行動的人越多,你的範圍要收得越窄),但它給了一個具體的量級感——10 個大盲不是「隨便一手都能推」,也不是「只能推頂級牌」,大約是三成上下。
三、用大盲數還是用 M 值衡量深度
短碼策略幾乎都用「幾個大盲」描述深度,但另一套更早、更完整的量尺是 Dan Harrington 在《Harrington on Hold’em》第二冊提出的 M 值:
M = 你的籌碼 ÷ (小盲 + 大盲 + 該圈所有前注)
M 值算的是「如果你一手牌都不碰,你的籌碼還夠付幾輪盲注和前注」,比單純數大盲更完整,因為它把前注也算了進去。Harrington 把 M 值切成幾個區:**綠色區(M ≥ 20)**幾乎沒有壓力,深籌碼的開池範圍表照用;**黃色區(10 ≤ M < 20)**要開始收緊、放棄靠隱含賠率賺錢的投機牌(小對子、同花連牌這類牌的價值在這區明顯下降);**橘色區(6 ≤ M < 10)**開始需要優先搶主動、避免被動跟注,這就是傳統開池表和推棄表的交界地帶;**紅色區(1 ≤ M < 6)**幾乎只剩全下或棄牌兩個選項;**死亡區(M < 1)**連盲注都付不起,只能找機會把手上僅剩的籌碼推進一個空底池賭一把。這套分區的重點不是背區間名字,而是理解:M 值每往下掉一級,你能保留的選項就少一級,推棄表正是 M 值掉到紅色區之後,唯一還「有解」的決策工具。 要注意的是,現代錦標賽普遍有大盲前注,同樣「10 個大盲」在有前注結構下的 M 值,會比無前注結構的 M 值更低——這也是為什麼前面提到「前注會放寬推棄範圍」是一致的:前注拉低了你的 M 值,同時也拉大了值得你冒險去偷的底池。
四、push/fold 決策怎麼用 ICM 算:一個自己設計的算式範例
Nash 表本身只算 chipEV,不含 ICM。但真正在牌桌上要不要推,終究要問上一課教的那個問題:推的 ICM 期望值,和蓋牌保留現狀的 ICM 期望值,哪個比較高? 下面這組數字是我自己設計來示範算法的教學範例,不是查表得來的真實 Nash 或 ICM 資料,拿到牌桌上不能直接照搬。
設定:三人桌,只有兩個名次有獎金——第一名 600、第二名 400、第三名 0(這種「只剩兩個位置有錢」的結構,ICM 壓力特別陡,適合用來看清楚推棄的分歧)。按鈕位是短碼 Hero,籌碼 1600(盲注 100/200 下等於 8 個大盲,無前注);小盲 3400;大盲 5000,總籌碼 10000。Hero 決定用一手邊緣牌全下 1600。
為了讓紙上算式做得完,這裡刻意簡化掉一個變數:假設小盲永遠棄牌(這個深度下小盲對按鈕全下的跟注範圍本來就很窄,先忽略它讓算式集中在真正的關鍵分支),只算大盲跟或棄。再假設(這兩個數字都是我自己設的示範輸入,不是量出來的):大盲有 60% 的機率棄牌,跟注時 Hero 的全下勝率是 42%。
分支一(機率 0.60,大盲棄牌): Hero 贏走小盲、大盲的死盲注共 300,籌碼變成 1900;小盲變 3300;大盲變 4800。三人繼續,用上一課的 Malmuth-Harville 四步驟算 Hero 的 ICM equity:
P(Hero 第一)=1900/10000=0.190
P(小盲第一)=3300/10000=0.330
P(大盲第一)=4800/10000=0.480
P(Hero 第二)=0.330×1900/6700 + 0.480×1900/5200
=0.0936 + 0.1754 = 0.2690
P(Hero 第三)=1−0.190−0.2690=0.5410
Hero ICM equity = 600×0.190 + 400×0.2690 = 114 + 107.59 = 221.59
分支二(機率 0.40×0.42=0.168,大盲跟注且 Hero 贏牌): 大盲只跟注了 1600(沒有全部押上),所以沒有人出局,三人籌碼變成 Hero 3300、小盲 3300、大盲 3400,繼續用同一套算法:
P(Hero 第一)=0.330, P(小盲第一)=0.330, P(大盲第一)=0.340
P(Hero 第二)=0.330×3300/6700 + 0.340×3300/6600 = 0.1625+0.1700=0.3325
Hero ICM equity = 600×0.330 + 400×0.3325 = 198 + 133.01 = 331.01
分支三(機率 0.40×0.58=0.232,大盲跟注且 Hero 輸牌): Hero 全部籌碼輸光,直接鎖定第三名,ICM equity = 0。
把三個分支按機率加權平均,得到推牌的 ICM 期望值:
ICM-EV(推) = 0.60×221.59 + 0.168×331.01 + 0.232×0
= 132.95 + 55.61 = 188.56
再算蓋牌(維持現狀 1600/3400/5000)的 ICM equity 當作對照組:
P(Hero 第一)=0.160
P(Hero 第二)=0.340×1600/6600 + 0.500×1600/5000 = 0.0824+0.1600=0.2424
ICM-EV(蓋牌) = 600×0.160 + 400×0.2424 = 96 + 96.97 = 192.97
兩者一比:推牌的 ICM 期望值 188.56,蓋牌是 192.97,推牌反而少了 4.41,約佔獎金池 1000 的 0.44%。 但如果只看 chipEV:推牌的期望籌碼是 0.60×1900 + 0.40×(0.42×3300) = 1140+554.4=1694.4,蓋牌只有 1600——chipEV 說推牌明確賺籌碼(+94.4),ICM 卻說這是一個虧錢的決定。這就是為什麼真正貼近實戰的推棄表,在接近打錢名次(money bubble)或決賽桌這種獎金結構特別陡的地方,推牌範圍必須比純 chipEV 的 Nash 表更窄——差距的方向永遠和上一課教的一樣:短碼推牌的下檔(出局、賠掉已經鎖定的名次機會)在陡峭的獎金結構下,永遠比上檔(拿到更多籌碼)更貴。
| 深度(約當大盲數) | Harrington M 值對照 | 推牌範圍量級 | 來源 |
|---|---|---|---|
| 5BB | 接近死亡區 | 六成以上起手牌(小盲對大盲) | 本站《德州撲克研習》12 課 |
| 10BB | 紅色區(M 約 1-6) | 約三成(52/169 手,無前注、雙人 chipEV) | pokerpro.tools 互動圖表 |
| 15BB | 橘/紅交界 | 約二成五 | 本站《德州撲克研習》12 課 |
| 20BB 以上 | 黃色區以上 | 進入開池/3-bet/limp 等多選項,不再是純推棄 | — |
🧠 為什麼是這樣
Nash 推棄表能被精確求解,是因為它把賽局簡化到只剩「推或棄」兩個選項、通常只算雙人對抗(推方對唯一還沒行動的一個跟方),而且假設對手也照 Nash 範圍應戰。這三個假設同時也是它的邊界:如果對手根本不會照表跟注——棄牌棄得比 Nash 假設更寬,或者跟得比 Nash 假設更鬆——那麼照抄 Nash 表打的人,拿到的只是「不會被剝削」的保底,不是「最大化收益」的策略。對一個明顯棄牌棄過頭的對手,你可以用比 Nash 範圍更寬的牌推;對一個明顯跟注跟過頭的對手,你必須把推牌範圍收得比 Nash 表更緊——這正是第 10 課剝削性打法的邏輯,套用在推棄這個特例上。而且 Nash 表本身通常只算 chipEV,不含 ICM;上面第四段的算式已經證明,兩者在獎金結構夠陡的地方(打錢泡沫、決賽桌)可以把同一手牌的推/棄結論直接反過來,這時候該查的是 ICM 調整過的表,而不是原始的 chipEV Nash 表。
另一個邊界在籌碼深度本身。15 到 25 個大盲這段中間地帶,籌碼還夠你打翻後、但底池相對籌碼的比例(SPR)已經低到讓每個決策都接近「一旦下注就等於承諾全部籌碼」——這個深度不該直接套推棄二元表,而是要考慮開池尺寸縮小、3-bet 直接用全下取代「加注後再面對 4-bet」這種進退兩難的處境。就連短碼區間本身,推棄二元也只是「夠好、算得動」的近似:有加注選項存在的桌面上,某些邊緣牌用「小尺寸加注」換到的期望值,實際上可能比全下更高一點,因為加注保留了一點點後續棄牌的彈性,只是這個差距通常很小,而且算起來複雜得多,對大多數人來說,先把推棄二元用對,比去追那一點點加注優化更值得。
✍️ 今日練習
準備一份免費的 Nash push/fold 圖表(例如 holdemresources.net 的雙人推棄工具,或 pokerpro.tools 的互動圖表,兩者都可以直接在瀏覽器查),外加紙筆。從 169 種起手牌裡自己挑 8 手,刻意涵蓋強牌、邊緣牌、明顯弱牌三種類型(例如 AA、AKo、55、A9s、KTo、76s、Q4o、82o)。設定情境:按鈕位(或圖表定義的推牌位置)、有效籌碼 10 個大盲、無前注。針對這 8 手牌,先自己憑直覺寫下「推」或「棄」,並寫一句判斷理由(哪怕只是「感覺同花連牌能翻)。全部猜完之後,才打開圖表逐手核對,把猜錯的牌圈起來,在旁邊寫下可能猜錯的原因(高估了強牌門檻、低估了短碼推牌的寬度、忘記位置影響、把深籌碼的直覺套用過來)。全程抓 10-20 分鐘。
自我檢查:
- 我對 8 手牌都在打開圖表前就寫下了「推/棄」與理由,沒有邊查邊猜?
- 我核對完之後,能具體說出至少一個猜錯的原因,而不是只寫「猜錯了」?
- 我知道今天查到的圖表是雙人、無前注、純 chipEV 的版本,如果換成多人未行動或有前注的結構,範圍需要往哪個方向調整?
🔗 延伸
- fold——同一個模型的完整案例研究,包含 bubble factor、risk premium 公式、三個籌碼深度區間的實戰調整,以及 Nash 表的完整限制清單。
- HeadsUp Push/Fold Nash Equilibrium — HoldemResources.net:免費、可互動查詢的雙人 Nash 推棄工具,含有前注/無前注兩種版本,並附原始計算資料下載。
- M-ratio — Wikipedia:Harrington M 值系統的完整區間表(綠/黃/橘/紅/死亡區)與出處。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」系列第 35 課,主題是短碼推/棄(push-fold)表。
我的情境是:位置 [按鈕/小盲/大盲],有效籌碼 [X] 個大盲,前注 [有/無],
起手牌是 [具體牌型]。
請幫我檢查這幾個問題:
1. 用 Nash chipEV 表來看,這手牌在我的深度與位置,大概是推還是棄?
2. 如果我在打錢泡沫或決賽桌(獎金結構很陡),ICM 調整後的建議會不會反過來?方向合理嗎?
3. 我的深度如果落在 15-25 個大盲這種「中間地帶」,是不是還有比全下更好的選項(例如 3-bet 全下、小尺寸開池),為什麼?