第 49 課談的是你的動作洩漏了什麼;今天回到第 34 課的 ICM 與第 35 課的推棄表,處理它們留下的缺口:兩課都只算了一個三人桌、一個拋硬幣,沒有回答「同一個全下,對桌上不同籌碼量的人,要求的勝率到底差多少」,也沒有把要求勝率換算成「跟注範圍縮了多少」。先講自算結論: 在我自擬的四人桌(籌碼 4000 / 3000 / 2000 / 1000,前三名分 50 / 30 / 20 單位獎金,第四名 0)裡,籌碼最多的人用純拋硬幣跟注最短碼的全下,要求勝率 52.9%;中間的 3000 籌碼跟注 4000 大籌碼的全下,要求 72.9%,而同一個決定若只看籌碼(chipEV)是 50%。把盲注與死錢放進去,3000 籌碼面對大籌碼全下、跟注要 70.6% 勝率(chipEV 只要 46.7%),在我假設的對手範圍下,可跟注的牌從約 13.6% 的組合縮到約 1% 左右;大籌碼面對短碼全下則只從 40% 變 42.9%,可跟注範圍約 51.7% 縮到 45.1%。全部是紙上模型與我自己寫的模擬,沒有對照真實對局或求解器;台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文定位是機率與決策訓練,不構成任何下注建議。
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一、先把四人桌的 ICM 算出來
設定:四人、總籌碼 10000,A 4000、B 3000、C 2000、D 1000;前三名獎金 50 / 30 / 20,第四名 0,獎金池 100 單位(單位是抽象的,不是任何貨幣)。第 34 課的 Malmuth-Harville 遞迴不變:第一名機率等於籌碼佔比;第二名是「別人先拿第一,你在剩下的人裡的籌碼佔比」加總;第三名依此再往下一層。
以 A 為例:
P(A 第一) = 4000/10000 = 0.4000
P(A 第二) = 0.3×4000/7000 + 0.2×4000/8000 + 0.1×4000/9000
= 0.17143 + 0.10000 + 0.04444 = 0.31587
P(A 第三) = 六條路徑加總(第一名、第二名、A 第三),最後一項的分母是 A 與還沒出場那個人的籌碼和:
B,C 後剩 D:0.3×(2000/7000)×(4000/5000) = 0.06857
B,D 後剩 C:0.3×(1000/7000)×(4000/6000) = 0.02857
C,B 後剩 D:0.2×(3000/8000)×(4000/5000) = 0.06000
C,D 後剩 B:0.2×(1000/8000)×(4000/7000) = 0.01429
D,B 後剩 C:0.1×(3000/9000)×(4000/6000) = 0.02222
D,C 後剩 B:0.1×(2000/9000)×(4000/7000) = 0.01270
合計 P(A 第三) = 0.20635
A 的 ICM equity = 50×0.4 + 30×0.31587 + 20×0.20635 = 20 + 9.476 + 4.127 = 33.60。四個人全部算完:
| 玩家 | 籌碼 | 第一 | 第二 | 第三 | ICM equity | 按籌碼比例的「該有」值 | 差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 4000 | 0.4000 | 0.3159 | 0.2063 | 33.60 | 40.00 | −6.40 |
| B | 3000 | 0.3000 | 0.3083 | 0.2619 | 29.49 | 30.00 | −0.51 |
| C | 2000 | 0.2000 | 0.2413 | 0.3175 | 23.59 | 20.00 | +3.59 |
| D | 1000 | 0.1000 | 0.1345 | 0.2143 | 13.32 | 10.00 | +3.32 |
自我檢查兩個:第二名機率四人加總 0.3159 + 0.3083 + 0.2413 + 0.1345 = 1.0000,第三名 0.2063 + 0.2619 + 0.3175 + 0.2143 = 1.0000;equity 加總 33.60 + 29.49 + 23.59 + 13.32 = 100.00。我用兩種方式驗算過主要數字(四人 equity、決策一與二、幾個代表性的 BF):一是遞迴(上面的算法),二是把 24 種完整終局順序逐一列出、各自乘機率再加總,兩者的數字一致。
二、風險溢價:同一個拋硬幣,每個人要的勝率不同
設某個決定有兩種結果:贏了你的 ICM equity 從 E 變成 Ew,輸了變成 El。泡沫係數(bubble factor,BF) 定義成「輸的代價 ÷ 贏的收益」,也就是 BF = (E − El) ÷ (Ew − E);損益平衡的勝率 p 滿足 p×(Ew − E) = (1 − p)×(E − El),解得 p = BF ÷ (1 + BF)。純拋硬幣、沒有死錢時,chipEV 要求 50%,BF 越大,要求勝率超出 50% 的部分就是你的風險溢價。
下表是同一個四人桌,不計盲注,「跟注者」面對「全下者」的拋硬幣(有效籌碼取兩人較小值),Ew、El 單位同 equity:
| 跟注者 → 全下者 | 有效籌碼 | 贏後 Ew | 輸後 El | 現況 E | BF | 要求勝率 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A(4000)→ D(1000) | 1000 | 38.39 | 28.21 | 33.60 | 1.125 | 52.9% |
| B(3000)→ D(1000) | 1000 | 35.67 | 22.33 | 29.49 | 1.158 | 53.7% |
| A(4000)→ B(3000) | 3000 | 43.53 | 16.66 | 33.60 | 1.707 | 63.1% |
| D(1000)→ A(4000) | 1000 | 21.79 | 0.00 | 13.32 | 1.574 | 61.1% |
| C(2000)→ A(4000) | 2000 | 33.60 | 0.00 | 23.59 | 2.355 | 70.2% |
| B(3000)→ A(4000) | 3000 | 40.45 | 0.00 | 29.49 | 2.689 | 72.9% |
以 B 跟注 A 為例,算式是:贏了 B 有 6000、A 剩 1000(C 2000、D 1000 不變),重算 ICM 得 40.45;輸了 B 出局,拿第四名的 0;BF = 29.49 ÷ (40.45 − 29.49) = 29.49 ÷ 10.96 = 2.689,要求勝率 = 2.689 ÷ 3.689 = 72.9%。這和用 Fraction 精確分數算出來的 40.4524、29.4881 一致。
這張表有三個讀法。第一,要求勝率同時取決於你是誰、對面是誰:A 跟注 D 只要 52.9%,B 跟注 A 要 72.9%,覆蓋別人與被覆蓋的差別就是 20 個百分點。第二,籌碼最多的人也有溢價,只是最小(52.9% 到 63.1%),因為他輸了還在場上;跟注後可能出局的人,輸的代價是整份 equity,溢價最高。第三,短碼 D 跟注時要求 61.1%(對 A),比 chipEV 的 50% 高很多,理由是他雖然已經最短,但還握有 13.32 單位的 equity,比第四名的 0 多得多。
三、帶盲注與死錢的真實決策
純拋硬幣太乾淨。真實決策有盲注,棄牌不是「維持現狀」而是「損失已經投入的盲注」。下面用盲注 100 / 200(A 20 個大盲、B 15 個、C 10 個、D 5 個)做兩個決策,公式改成以棄牌後的 equity 當基準:p = (E棄牌 − E輸) ÷ (E贏 − E輸)。
決策一:大籌碼面對短碼全下。 C(UTG)與 B(按鈕)先棄牌,小盲 D(1000)全下,大盲 A(4000,已投 200)決定。棄牌:D 贏走 200,A 3800、D 1200,A 的 equity 32.58。跟注贏:A 5000、D 出局,剩三人且全部有獎金,A 的 equity 38.39。跟注輸:A 3000、D 2000,A 28.21。
要求勝率 = (32.58 − 28.21) ÷ (38.39 − 28.21) = 4.37 ÷ 10.18 = 42.9%
chipEV 要求 = 再投 800 ÷ (底池 1200 + 800) = 40.0%
風險溢價 = 2.9 個百分點
決策二:中間籌碼面對大籌碼全下。 C、D 先棄牌,小盲 A(4000)全下,大盲 B(3000,已投 200)決定。棄牌:A 4200、B 2800,B 的 equity 28.56。跟注贏:B 6000、A 1000,B 的 equity 40.45(第一名機率 0.60、第二名 0.2833、第三名 0.0976:50×0.60 + 30×0.2833 + 20×0.0976 = 30 + 8.50 + 1.95 = 40.45)。跟注輸:B 出局,0。
要求勝率 = (28.56 − 0) ÷ (40.45 − 0) = 70.6%
chipEV 要求 = 再投 2800 ÷ (底池 3200 + 2800) = 46.7%
風險溢價 = 23.9 個百分點
兩個決策的溢價差 8 倍。後者每個勝率下,跟注比棄牌多或少的 equity 是:
| 跟注勝率 | 50% | 60% | 70% | 80% |
|---|---|---|---|---|
| 跟注的 equity | 20.23 | 24.27 | 28.32 | 32.36 |
| 減棄牌的 28.56 | −8.34 | −4.29 | −0.25 | +3.80 |
也就是說在這個模型裡,你拿到 chipEV 上領先 3.3 個百分點的牌(50%)去跟注,ICM 的帳是損失 8.34 單位,約佔獎金池的 8.3%。
四、跟注範圍縮多少:一個我自己寫的模擬
要求勝率只是門檻,範圍要看對手的全下範圍。我用自己寫的蒙地卡羅(逐手隨機發牌、平手算半個勝率)做兩件事:先把 169 種起手牌按「對任意兩張牌的勝率」排序,再取最強的一部分當作全下者的範圍,最後算每手牌對這個範圍的勝率。這個「取前 x% 當全下範圍」是粗糙的代理,不是納許均衡,也不是對真實對手的量測,25% 與 60% 是我設的數字。 每手牌抽樣 8000 到 10000 次,勝率標準誤約 0.5 到 0.6 個百分點,邊界附近的牌分不出高低。
決策二:A 全下範圍設為前 25%(330 個組合,從 AA 到 QTo)。B 手牌對這個範圍的勝率(節錄):
| 手牌 | AA | KK | AKs | JJ | AKo | TT | AQs | AJs | 99 | ATs | KQs | KQo | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 勝率 | 85.5% | 75.5% | 70.4% | 65.7% | 65.7% | 64.1% | 63.2% | 61.8% | 59.2% | 58.3% | 56.9% | 50.4% | 46.7% |
- chipEV 要求 46.7%:AA 到 KQo 附近共 180 個組合,佔 1326 個組合的 13.6%(邊界在誤差內,約 12% 到 15%)。
- ICM 要求 70.6%:只有 AA(85.5%)與 KK(75.5%),共 12 個組合,0.9%;QQ 的 70.4% 在誤差內剛好壓線,算進去是 18 個組合、1.4%。
範圍縮了約 10 到 15 倍。AKs、AKo、JJ、TT、AQs 這類 chipEV 下明顯要跟的牌,對這個範圍的勝率最高 65.7%,離 70.6% 還差約 5 個百分點以上,在 ICM 帳上屬於「跟注就虧」。
決策一:D 全下範圍設為前 60%(798 個組合,到 T6o)。A 的 chipEV 要求 40% 時,可跟注 686 個組合,51.7%;ICM 要求 42.9% 時,598 個,45.1%,縮了 6.6 個百分點。因為門檻附近的牌很密(勝率每差 1 個百分點約差 30 到 35 個組合),這個數字的誤差約 3 個百分點。
這就是「泡沫期打法轉換」的量化版本:範圍縮多少,取決於你被誰覆蓋、你輸了會不會出局,不是單純「泡沫就要緊」。 大籌碼對短碼幾乎不用改打法;中籌碼面對大籌碼全下,需要的牌強到幾乎只剩前 1%。
五、獎金結構改了,溢價怎麼變
同一組籌碼(B 3000 跟注 A 4000,有效 3000,不計盲注),改變獎金結構:
| 獎金(第 1–4 名) | 現況 E | 要求勝率 | BF |
|---|---|---|---|
| 50 / 30 / 20 / 0 | 29.49 | 72.9% | 2.689 |
| 50 / 30 / 20 / 10 | 30.79 | 75.7% | 3.123 |
| 40 / 30 / 20 / 10 | 27.79 | 80.2% | 4.052 |
| 三個等值名額、第四名 0(衛星賽式) | 拿到名額的機率 87.0% | 88.7% | 7.86 |
這張表有一個我沒預料到的結果:在這個四人小模型裡,第四名拿 0 的「泡沫」結構,溢價反而低於第四名有錢的結構。 我的解讀是獎金越平,贏下籌碼多換到的 equity 越少,而輸了出局的代價相對於上檔仍然很大,BF 就越大;這個解讀我沒有另外驗證。我不能由這四行推出「真實錦標賽的泡沫期溢價一定比有錢以後低」,因為真實泡沫發生在人數多、籌碼分布複雜的情況,我沒有模擬;能確定的是:溢價取決於獎金級距、你的排名與誰覆蓋你,不是「泡沫」這個詞本身。 衛星賽(多個等值名額)是極端:不用贏、只要活到名額,籌碼領先者幾乎鎖定名額(我算的 A 約 92%),中間籌碼要求高達 88.7%,所以標準答案是幾乎不要在沒有絕對優勢時全下對決。
賞金賽(PKO)往反方向修正:贏下對手的賞金等於額外的獎金。用 chipEV 做粗估,決策一裡 A 贏牌多拿 5000 − 3800 = 1200 籌碼,輸掉 800,損益平衡 40%。若 D 的賞金折成 600 籌碼(這個折算是我假設的,真實折算取決於賽制與賞金分成),要求勝率變成 800 ÷ (1200 + 600 + 800) = 30.8%。方向確定:賞金越大,要求勝率越低;但它與 ICM 溢價如何疊加,我沒有算。
🧠 為什麼是這樣
ICM 的前提是:每個人拿到第 k 名的機率只與當下籌碼比例有關,與技術、位置、未來盲注增長、對手傾向無關。 這個前提讓你可以把獎金換算成單一個 equity 數字,也是上面一切的來源。它的偏差方向有一些我查到的證據,但我只讀了摘要:Besalú 的《Dependent Chip Model》論文(arXiv 2102.07738)讓所有人技術相同、逐手模擬籌碼存活,報告前幾名分到的獎金比 ICM 多、最後幾名比 ICM 少,即 ICM 傾向低估大籌碼、高估短籌碼;Diaconis 與 Ethier 的《Gambler’s Ruin and the ICM》(arXiv 2011.07610)在三人賭徒破產模型下,結論是 ICM「不夠準確」。我沒有重跑他們的模型,也沒有驗證這個偏差對我今天表格數字的影響方向與大小;若大籌碼的真實價值更高,B 輸給 A 的代價可能比我算的更大或更小,我不確定。
模型邊界還有:ICM 只看此刻,不看未來盲注(D 的 1000 籌碼 = 5 個大盲,過一兩圈就被盲注吃掉,真實「短碼的選擇」不只是今天這一手);我的全下範圍是代理不是均衡;我只算兩個人對決,沒有側池與多人跟注;拋硬幣的平手算半個勝率。第 35 課的推棄表只算 chipEV,今天的表格才是它在泡沫裡該被修正的方向。
對手不照 ICM 打時,框架不變、輸入要換:你的賠付永遠用 ICM 算(輸的是獎金期望,不是籌碼),對手的範圍要用你觀察到的實際行為。 例如對手明明被覆蓋卻跟注 13.6% 而不是 1%,你的全下就要收窄,因為被跟注的機率比均衡高;反之對手過度棄牌,你的偷盲範圍才可以放寬。這是依賴觀察的調整,觀察樣本少就不要押太重,和第 49 課討論的偵測樣本一樣誤差很大。最後是資金面:錦標賽買入費是可能全部損失的成本,單場結果波動極大,依德州撲克專欄 · 錦標賽與 ICM的立場,銀彈建議 30 到 50 個買入起跳,不要因為「泡沫期該施壓」就提高單場預算;本課只教機率與決策,不保證任何一場或一段期間的結果。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆、計算機即可,不必進賭場;可再用免費的 ICM 計算器核對。
- 四人桌:A 5000、B 2500、C 1500、D 1000,獎金 50 / 30 / 20 / 0。手算 B(2500)的第一、第二、第三名機率與 equity,並檢查四人 equity 加總是否為 100。
- B 面對 A 全下的純拋硬幣(有效 2500,不計盲注):算贏後、輸後的 equity、BF、要求勝率。
- 反過來,A 跟注 B 的全下,算同樣三個數,並與 chipEV 的 50% 比較。
- 把步驟 2 的要求勝率,對照「對手範圍前 25%」的勝率表(用任何勝率計算器查 AA、KK、QQ、AKs 對隨機前 25% 範圍的勝率),列出你認為可以跟注的牌。
- 用 PokerPro ICM Calculator 輸入同一組籌碼與獎金,核對步驟 1 的四個 equity(該站註明使用 Malmuth-Harville 模型)。
自我檢查
- 步驟 1:B 的第一名機率 0.2500、第二名 0.5×2500/5000 + 0.15×2500/8500 + 0.10×2500/9000 = 0.3219、第三名 0.2788,equity = 12.50 + 9.66 + 5.58 = 27.73;四人 equity 為 37.28 / 27.73 / 20.45 / 14.54,加總 100.00。
- 步驟 2、3:B 跟注贏後 37.28、輸後 0,BF = 27.73 ÷ (37.28 − 27.73) = 2.905,要求勝率 74.4%;A 跟注贏後 44.66、輸後 27.73,BF = (37.28 − 27.73) ÷ (44.66 − 37.28) = 1.294,要求勝率 56.4%。
- 我說得出為什麼「被覆蓋、輸了會出局」的人,溢價遠大於「覆蓋別人」的人,而不是只說「泡沫要緊」。
- 我標明了哪些是自己設的假設(全下範圍、賞金折算),哪些是公式直接算出來的。
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · 錦標賽與 ICM——bubble factor、risk premium 公式與三個深度區間的完整說明。
- PokerPro ICM Calculator——免費 ICM 計算器,可核對今天的手算。
- The Dependent Chip Model (DCM): a simple and more realistic alternative to the Independent Chip Model (ICM)——ICM 偏差方向的論文,我只讀了摘要。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 50 課:泡沫期與最終桌:ICM 壓力下的打法轉換。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注建議):
- 四人桌籌碼 [A 5000 / B 2500 / C 1500 / D 1000],獎金 [50 / 30 / 20 / 0]
- 我算出的 ICM equity:[...]
- B 跟注 A 全下的純拋硬幣,我算出的 BF [...]、要求勝率 [...]
- A 跟注 B 全下,我算出的 BF [...]、要求勝率 [...]
- 我把要求勝率對照前 25% 的全下範圍,認為可以跟注的牌是 [...]
請依序回答:
1. 用 Malmuth-Harville 遞迴重算我的 equity、BF 與要求勝率,指出算錯的地方。
2. 解釋為什麼被覆蓋的人溢價高、覆蓋別人的人溢價低。
3. 說明這個模型的假設:不計技術、位置、未來盲注、多人側池;哪些結論在這些假設放寬後可能改變。
4. 若是衛星賽或賞金賽,要求勝率會往哪個方向變、為什麼。
5. 對手不照 ICM 打時,我應該調整輸入裡的哪個部分、不該調整哪個部分。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,不要給我下注或買入建議,也不要編造連結或數據。