上一課把一手牌拆成一棵回溯歸納的樹,每個節點算出一個 chipEV,最後比大小。那整套算法有一個沒說出口的前提:籌碼就是錢,一個籌碼漲跌,你的財富就跟著等比例漲跌。 這個前提在現金桌成立,在錦標賽不成立。今天要指出的系統性錯誤是:如果你把上一課那套 chipEV 回溯歸納,原封不動地搬進一場有名次獎金的錦標賽,你會在該棄牌的時候跟注,在該施壓的時候縮手——不是因為算錯了 EV,而是因為你算的是錯的那個量。今天要解決的問題只有一句話:為什麼贏得對手全部籌碼的效用,不等於贏得等值的現金。
台灣沒有合法的現金撲克賭場,刑法第 266 條規範公共場所或公眾得出入之場所賭博財物,第 268 條規範圖利供給賭博場所或聚眾賭博。今天所有數字都是紙上模型——一個三人桌、一組假設的籌碼與獎金,用計算機就能重算一遍,不涉及任何真實下注。
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一、為什麼現金桌的算法在錦標賽會系統性算錯
現金桌的規則很單純:桌上的籌碼隨時可以換回現金,一比一,而且你隨時可以補碼、隨時可以離桌走人。在這個世界裡,「贏兩個大盲」和「贏一個大盲的兩倍」沒有差別,所以第 5 課到第 33 課的每一條 EV 式子,單位都可以直接寫成 bb 或籌碼,不需要再換算。
錦標賽不是這樣。錦標賽的籌碼不能兌現,唯一能兌現的是名次——而名次獎金結構幾乎永遠是遞減、且不連續的一組數字,例如「第一名 500、第二名 300、第三名 200、第四名以下 0」。這代表你的籌碼量到最後只是一個換算名次機率的輸入值,而這個換算函數不是線性的:籌碼從 2000 漲到 4000,你贏得冠軍的機率確實會漲(大致翻倍),但你的期望獎金不會跟著翻倍,因為你原本就有一部分機率拿到二、三名的錢,籌碼翻倍只是把一部分「原本會拿二三名」的機率轉成「拿一名」,邊際上賺得越來越少。這就是籌碼的邊際效用遞減,而 **Independent Chip Model(ICM,獨立籌碼模型)**就是把這個非線性換算寫成可以算的公式的工具。
ICM 最常見的實作版本叫 Malmuth-Harville 模型,機制其實不複雜,一句話講完:每個人拿下第一名的機率,正比於他的籌碼佔全桌籌碼的比例;拿下第二名的機率,則是「排除掉那個已經拿第一名的人之後,在剩下的人裡他的籌碼佔比」,依此類推往下遞迴。
二、一個算得完的三人桌範例
設定:三人桌,A 有 5000 籌碼、B 有 3000、C 有 2000,總籌碼 10000。獎金結構:第一名 500、第二名 300、第三名 200(單位不拘,當成新台幣或美金都可以,重點是比例)。
第一步,算奪冠機率——直接是籌碼佔比:
- P(A 第一) = 5000/10000 = 0.500
- P(B 第一) = 3000/10000 = 0.300
- P(C 第一) = 2000/10000 = 0.200
第二步,算第二名機率——這裡要用條件機率遞迴。 A 拿到第二名,代表「B 先拿了第一名、A 在剩下的人裡籌碼佔比最高」或「C 先拿了第一名、A 在剩下的人裡籌碼佔比最高」兩種路徑的機率加總:
P(A 第二) = P(B 第一) × A/(總籌碼−B) + P(C 第一) × A/(總籌碼−C)
= 0.300 × 5000/7000 + 0.200 × 5000/8000
= 0.2143 + 0.1250 = 0.3393
同樣算法套在 B 和 C:
P(B 第二) = 0.500 × 3000/5000 + 0.200 × 3000/8000 = 0.300 + 0.075 = 0.375
P(C 第二) = 0.500 × 2000/5000 + 0.300 × 2000/7000 = 0.200 + 0.0857 = 0.2857
三個數加起來剛好是 1(0.3393+0.375+0.2857=1.0000),這是一個很好的自我檢查——算錯的話通常這裡就會加不回 1。
第三步,第三名機率是剩下的:
P(A 第三) = 1 − 0.500 − 0.3393 = 0.1607
P(B 第三) = 1 − 0.300 − 0.375 = 0.325
P(C 第三) = 1 − 0.200 − 0.2857 = 0.5143
第四步,把機率乘上獎金,加總得到 ICM equity(每個人的「籌碼折算現金」):
A 的 ICM equity = 500×0.500 + 300×0.3393 + 200×0.1607 = 250 + 101.79 + 32.14 = 383.93
B 的 ICM equity = 500×0.300 + 300×0.375 + 200×0.325 = 150 + 112.5 + 65 = 327.50
C 的 ICM equity = 500×0.200 + 300×0.2857 + 200×0.5143 = 100 + 85.71 + 102.86 = 288.57
三人加總 383.93+327.50+288.57 = 1000.00,剛好等於獎金池總額——這是第二個自我檢查點,ICM 的定義保證所有人的 equity 加總必須等於獎金總額。
現在對照「如果籌碼直接按比例換算現金」會是什麼數字:A 該拿 500、B 該拿 300、C 該拿 200(就是籌碼佔比乘上總獎金)。實際的 ICM 數字是 A=383.93、B=327.50、C=288.57。大籌碼 A 的實際現金價值,比它的籌碼佔比「應該」值的錢少了 116;小籌碼 C 的實際現金價值,比它的籌碼佔比「應該」值的錢多了 88.57。 這就是邊際效用遞減具體長什麼樣子:籌碼佔比排名前面的人,每多一個籌碼賺得越來越少;籌碼佔比排名後面的人,因為已經鎖進了「至少拿第三名」的底,每個籌碼相對更值錢。
三、一個 chipEV 中性、但 ICM 明確虧錢的決定
接著把這個三人桌接上一個決策:C 全下 2000,A 用一手大約五五波的牌跟注(對 A 來說這是一個「贏了拿走 2000、輸了損失 2000」的純粹拋硬幣,chipEV 剛好等於 0,和第 33 課定義的方式一樣——這裡不看 A 要不要跟,只看跟了之後 A 的 ICM equity 怎麼變)。
如果 A 贏牌: C 出局,依照獎金結構先鎖定第三名的 200 塊。剩下 A=7000、B=3000 打二人賽,爭第一名 500 與第二名 300。二人賽的 ICM 更簡單,拿第一的機率直接等於籌碼佔比:
A 的 equity = 500×(7000/10000) + 300×(3000/10000) = 350 + 90 = 440
如果 A 輸牌: A 掉到 3000、C 翻倍到 4000,B 仍是 3000,三人繼續,獎金結構不變。重跑一次前面的四步:
P(A 第一)=0.300, P(B 第一)=0.300, P(C 第一)=0.400
P(A 第二)=0.300×3000/7000 + 0.400×3000/6000 = 0.1286+0.200=0.3286
P(B 第二)= 同 A(籌碼相同)=0.3286
P(C 第二)=0.300×4000/7000×2 = 0.3429
P(A 第三)=1−0.300−0.3286=0.3714(B 同)
P(C 第三)=1−0.400−0.3429=0.2571
A 的 ICM equity = 500×0.300+300×0.3286+200×0.3714 = 150+98.57+74.29 = 322.86
把兩個結果各按 50% 的機率平均(因為這是一場五五波的拋硬幣):
A 跟注後的期望 ICM equity = 0.5×440 + 0.5×322.86 = 381.43
跟注之前,A 的 ICM equity 是 383.93(前面第二步算出來的數字)。跟注之後的期望值是 381.43。兩者相差 2.50——A 跟了一個 chipEV 剛好等於 0 的拋硬幣,ICM equity 卻淨損失 2.50,佔全部獎金池的 0.25%。 chipEV 說這是一個無所謂輸贏的決定,ICM 說這是一個明確虧錢的決定,而且方向永遠一致:當你是桌上籌碼量較大的一方,去跟一個籌碼較短的人拋硬幣,你冒的下檔(出局、失去已經鎖定的名次)永遠比你能贏到的上檔(離冠軍更近一點)更貴。這正是「Bubble factor(氣泡係數)」與「ICM 壓力」這兩個詞想描述的現象——大籌碼在氣泡期或籌碼不對等的時候,同一個勝率的拋硬幣,對他來說已經不再是拋硬幣了,精確的公式與更完整的推導在下面延伸閱讀的專欄文章裡有,這裡只需要記住方向:贏一個籌碼賺到的錢,永遠少於輸掉一個籌碼賠掉的錢,差距在名次獎金級距(尤其是進錢圈的氣泡點與決賽桌)附近會急遽放大。 這也是為什麼小籌碼在氣泡期反而被迫棄掉更多邊緣牌——不是他們變膽小了,是他們的每一次全下,對跟注方來說都變成一個「chipEV 打平但 ICM 淨虧」的爛交易,對手因此更常棄牌,而小籌碼自己一旦真的被跟,輸掉的代價(相對他原本就不多的 equity)也更痛。
🧠 為什麼是這樣
ICM 效用函數的凹性,根源就是名次獎金結構本身的非線性——它把一條連續的籌碼軸,切成幾段不連續的現金台階(第一名 500、第二名 300、第三名 200、第四名以下 0),而且每一段的落差通常不等距。只要獎金結構是遞減的,籌碼的邊際價值就必然遞減,這不是 ICM 模型「假設」出來的性質,而是獎金結構本身的數學結果——ICM 只是把它算出來而已。獎金結構越扁平(級距差小),ICM 壓力越弱,越接近現金桌;獎金結構越陡(冠軍拿走一半以上),ICM 壓力越強,尤其在人數很少、級距很大的決賽桌。
但 ICM 模型本身也有邊界,而且是刻意的簡化:它只看當下這一刻的籌碼量,完全不考慮技術優勢、位置優勢、剩餘手數、對手的傾向、未來還會不會有更好的施壓機會。這代表 ICM 系統性地低估強牌手的真實 equity(一個明顯更會打的人,即使籌碼落後,未來扳回來的機率比純籌碼比例暗示的更高),也系統性地高估弱牌手的真實 equity。實務上這就是為什麼強牌手在氣泡期敢用比「理論 ICM 最優」更寬的範圍去施壓短碼——他們在利用「對手會照 ICM 過度保守棄牌」這件事,而不是在對抗 ICM 本身;反過來,如果你的棄牌範圍被 ICM 壓力嚇得比對手预期的還寬,你就是那個被利用的人。
✍️ 今日練習
自己設定一個三人桌:三個籌碼量(不要三個一樣,故意設一個明顯的大、中、小)、一組三名次的獎金結構(數字自訂,例如 600/300/100)。照今天四步驟手算三人各自的 ICM equity,並確認兩個自我檢查點都過(每個名次的機率三人加總等於 1;三人 ICM equity 加總等於獎金池總額)。接著設計一個「大籌碼跟短籌碼拋硬幣」的情境,分別算出跟贏、跟輸之後的新三人 ICM equity,用 50/50 加權平均,和跟注前的 ICM equity 比較,確認你算出的方向和今天範例一致(大籌碼跟拋硬幣,ICM 期望值必然比跟注前低,即使 chipEV 剛好等於 0)。全程約 15-20 分鐘,一張紙、一台計算機就夠。
自我檢查:
- 我的三個「奪冠機率」加總是不是各自等於籌碼佔比,而三個「第二名機率」加總是不是剛好等於 1?
- 我算出的三人 ICM equity 加總,是不是精確等於獎金池總額(誤差只允許來自四捨五入)?
- 我的拋硬幣情境算完之後,大籌碼那方的「跟注後期望 ICM equity」是不是確實低於「跟注前的 ICM equity」,而且差距的方向和今天範例一致?
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · ICM——同一個模型的進階案例研究:精確的 bubble factor 與 risk premium 公式、三個籌碼深度區間的實戰調整、push/fold 的 Nash 範圍表與它的限制。今天這課是從零手算一次 ICM 的入門課,那篇專欄是把 ICM 用在實戰調整上的延伸。
- What is ICM? (Explained) — PokerNews
- Independent Chip Model — Wikipedia
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」系列第 34 課,主題是錦標賽 ICM 入門。
我設定的三人桌籌碼是 [籌碼A / 籌碼B / 籌碼C],獎金結構是 [第一/第二/第三]。
我照 Malmuth-Harville 遞迴算出來的三人 ICM equity 是 [我的數字]。
請幫我檢查這三個問題:
1. 我的計算有沒有算錯的地方(機率加總、equity 加總這兩個自我檢查點)?
2. 如果我把其中一人的籌碼改成全下拋硬幣後的結果,ICM equity 的變化方向合理嗎?
3. 用我這組數字,可以看出「氣泡係數」大概落在什麼量級嗎?