第 51 課「桌選與賽事選擇」把抽水當成一個固定的假設(現金桌每 100 手 4 bb、賽事 10%)放進模型,今天把這個假設拆開:抽水到底怎麼算出來、吃掉多少勝率、rake cap 與 rakeback 各自改變多少,以及它如何把「需要多少銀彈」往上推。先講自算結論: 在我自擬的六人現金桌牌局(每 100 手 35 個進翻牌底池、抽 5%、單池上限 3 bb)裡,整桌每 100 手被抽走 31 bb,平均每個座位 5.17 bb/100,不是第 51 課隨手設的 4;一位毛勝率 8 bb/100 的玩家扣完剩 2.83,抽水吃掉他 65% 的毛利,而同一個人 5% 破產風險所需的銀彈,從無抽水的約 15 個買入(每個買入 100 bb)漲到約 43 個;若有 30% 的 rakeback,淨勝率回到 4.38,銀彈降到約 28 個。錦標賽端,我用第 51 課的自擬模型數字(沿用,非新量測)推算:同一個 w = 1.4 的技術優勢,10% 賽事費吃掉毛優勢的 36%,但技術優勢只有 w = 1.1 時,10% 賽事費吃掉 113%,也就是做同樣的事、每場期望是負的。全部是紙上模型,沒有對照任何平台的真實費率或真實對局資料;台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文定位是機率與決策訓練,不構成任何下注或買入建議。
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一、現金桌的抽水怎麼算:每手、每池、每個座位
現金桌抽水(rake)通常是「從發出翻牌的底池抽固定比例,並設單池上限」(翻牌前就結束的底池常常不抽,稱為 no flop no drop,各平台規則不同,實際費率請查你所在平台最新公告,我沒有查證任何平台)。所以抽水的總量取決於三件事:多少比例的手牌看到翻牌、底池大小的分佈、上限在哪。
我自擬一個每 100 手的底池分佈:35 手進入翻牌後底池,其中 20 個 8 bb 的小池、10 個 20 bb、4 個 50 bb、1 個 100 bb;費率 5%。逐池計算:
8 bb 池: 20 × (8 × 5%) = 20 × 0.4 = 8.0
20 bb 池: 10 × (20 × 5%) = 10 × 1.0 = 10.0
50 bb 池: 4 × min(2.5,3) = 4 × 2.5 = 10.0
100 bb 池: 1 × min(5,3) = 1 × 3.0 = 3.0
整桌每 100 手總抽水 = 31.0 bb(無上限時 33.0)
六人平均每座位 = 31.0 ÷ 6 = 5.17 bb/100
這個分佈刻意讓小池占多數:實際 6-max 的大多數底池落在 5 到 20 bb 之間,真正撞到上限的少。上限的影響用掃描看最清楚(其他不變):
| 單池上限 | 整桌每 100 手 | 每座位 bb/100 |
|---|---|---|
| 1 bb | 23.0 | 3.83 |
| 2 bb | 28.0 | 4.67 |
| 3 bb | 31.0 | 5.17 |
| 5 bb 以上(沒作用) | 33.0 | 5.50 |
上限從 1 bb 調到 5 bb,每座位差 1.67 bb/100,比多數人「再多練一個月」能提升的勝率還大,卻不會出現在任何求解器或教學影片裡。上限對你的影響取決於你打多大的底池: 專打大池、多人池的人受上限保護,專打 5 到 10 bb 小池的人幾乎是全額 5%。這解釋了第 51 課的假設值:當時的 4 bb/100 只是占位,今天的底池分佈給出 5.17,而 4 與 5.17 之間的差別,足以翻轉結論,往下看。
必須標明的簡化:「每個座位平均分攤 5.17」只是把整桌抽水除以 6。 真實的個人抽水負擔,視平台算法而定,有的按你投入底池的比例分攤(contributed rake),有的按你參與的池數加權,少入池的緊手在池數少時負擔明顯較低。我沒有模擬個別玩家的分攤差異。
二、毛勝率、淨勝率與損益兩平
第 51 課的六人桌模型是零和的:六人勝率相加為 0,那是「毛勝率」(抽水前)。扣掉抽水後整桌合計是負的,負的總額就是整桌抽水。
淨勝率 = 毛勝率 − 抽水負擔 + rakeback
rakeback 30% 時:淨勝率 = 毛勝率 − 5.17 × (1 − 0.30) = 毛勝率 − 3.62
損益兩平的毛勝率因此是 5.17(無 rakeback)或 3.62(30% rakeback)。把第 51 課桌 A 的六人毛勝率(4.8、3.6、1.2、−1.2、−3.6、−4.8,那是我自擬的技術分數換算)扣 5.17:
| 座位 | 毛勝率 | 扣 4 bb(第 51 課設定) | 扣 5.17 bb(今天) |
|---|---|---|---|
| 我(+5) | 4.8 | +0.8 | −0.37 |
| +4 | 3.6 | −0.4 | −1.57 |
| +2 | 1.2 | −2.8 | −3.97 |
| 其他三人 | −1.2、−3.6、−4.8 | −5.2、−7.6、−8.8 | −6.37、−8.77、−9.97 |
毛贏家合計只有 4.8 + 3.6 + 1.2 = 9.6 bb/100,而整桌抽水是 31.0,是毛贏家總和的 3.2 倍。在這張桌,抽水把所有人都變成輸家,包括技術分數最高的我。 這才是 03 號專欄說的「低級別線上抽水可以大於絕大多數人的原始優勢」的算術版本,桌 B(魚在桌上)則是我 +2.03、魚 −13.57,贏的人只有我一個,毛贏家 12.0 對抽水 31.0,2.6 倍。把桌子選好有用,但它只是把毛勝率拉過兩平線,線本身是抽水畫的。
rakeback 的價值直接算:假設平台把你「貢獻的抽水」的 30% 退還(我假設的比例,實際計法與門檻各平台不同)。每座位退 5.17 × 0.30 = 1.55 bb/100,毛勝率 5 的人從 −0.17 變成 +1.38;毛勝率 3 的人從 −2.17 變成 −0.62,仍然是負的。rakeback 是一個固定比例的折扣,不是技術: 它讓兩平線從 5.17 降到 3.62,不能保證任何人跨過。
三、抽水怎麼改變翻牌前的決策:邊際防守的權益門檻
抽水不只是帳面扣款,它改變你每一手要多少權益才值得繼續。以大盲防守按鈕位 2.5 bb 開局為例(都是我設的簡化):盲注 1 bb 已投入,跟注再付 1.5 bb,翻牌前底池 2.5 + 2.5 + 0.5(小盲)= 5.5 bb。
無抽水: 需要權益 = 1.5 ÷ 5.5 = 27.3%
5% 抽水(底池被抽,贏家只拿 5.5 × 0.95 = 5.225):
EV(跟) = 權益 × 5.225 − 2.5 要大於 EV(棄) = −1
需要權益 = 1.5 ÷ 5.225 = 28.7%
門檻只抬高 1.4 個百分點,看似很小。但邊際防守牌(例如 30% 上下的同花連張、小對子)的權益本來就密集分佈在這一帶,所以防守範圍會被這 1.4 個點砍掉一截(砍多少取決於範圍的權益分佈,我沒有算);04 號專欄說「抽水下的 BB 防守範圍明顯窄於零抽水求解器輸出」就是這個機制。這個計算還略過翻牌後的位置與實現度:實戰裡被抽水的底池更大(你一路下注到河牌),抽水絕對值更高,但同時你也有機會用位置與籌碼壓力在較大底池裡贏回來。方向是確定的,量級我只在翻牌前做了純算術。
四、錦標賽:賽事費吃掉毛優勢的幾成
錦標賽的「抽水」是賽事費,獎金池是總買入的 (1 − r)。沿用第 51 課 300 人、Plackett-Luce 自擬模型的掃描值(未扣費的平均獎金 E 是買入的幾倍,來自該文的模擬,不是我今天重新量到的):w = 1.05 → 1.047、1.10 → 1.097、1.15 → 1.147、1.20 → 1.192、1.30 → 1.288、1.40 → 1.383(第 51 課文字用 1.381,掃描表是 1.383,差 0.2 個百分點,我今天統一用表值)。淨 ROI = E × (1 − r) − 1,毛優勢 = E − 1,賽事費吃掉毛優勢的比例 = E × r ÷ (E − 1):
| w | 毛優勢 E − 1 | r = 5% 時 ROI | r = 10% 時 ROI | r = 15% 時 ROI | r = 10% 吃掉毛優勢 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.10 | 9.7% | +4.2% | −1.3% | −6.8% | 113% |
| 1.20 | 19.2% | +13.2% | +7.3% | +1.3% | 62% |
| 1.30 | 28.8% | +22.4% | +15.9% | +9.5% | 45% |
| 1.40 | 38.3% | +31.4% | +24.5% | +17.6% | 36% |
計算示範(w = 1.20、r = 10%):ROI = 1.192 × 0.90 − 1 = 7.3%;賽事費吃掉 1.192 × 0.10 ÷ 0.192 = 62%。弱優勢者被費用吃得比強優勢者重得多,是比例上的非線性: 在 w = 1.10 時,10% 費用大於整個毛優勢,期望值是負的(損益兩平費率 1 − 1/E = 8.8%);w = 1.40 時要到 27.7% 才會打平。對照第 51 課那句「抽水決定你要領先平均對手多遠才打平」,今天給出每一欄的價錢。
五、銀彈:抽水每多一點,需要的緩衝是複利式地增加
承第 51 課 1000 人賽事(單場標準差 7.61 個買入、w = 1.4、費用 10%、ROI 24.8%),反推未扣費的 E = 1.248 ÷ 0.90 = 1.3867,然後只改賽事費、假設標準差不變(這是簡化,費用改變會稍微改變獎金結構與標準差)。用 Brownian 近似的 5% 破產銀彈 B = ln(20) × σ² ÷ (2μ),ln(20) = 2.9957,σ² = 57.9:
| 賽事費 | ROI | 5% 破產風險所需銀彈 | 確認 ROI 為正(95% 單尾)所需場數 | 100 買入銀彈的破產風險(Brownian 上界) |
|---|---|---|---|---|
| 0% | 38.7% | 約 224 | 約 1050 | 26.3% |
| 5% | 31.7% | 約 273 | 約 1560 | 33.4% |
| 10% | 24.8% | 約 350 | 約 2550 | 42.5% |
| 15% | 17.9% | 約 486 | 約 4910 | 54.0% |
| 20% | 10.9% | 約 793 | 約 13100 | 68.6% |
示範(r = 15%):ROI = 1.3867 × 0.85 − 1 = 17.9%;B = 2.9957 × 57.9 ÷ (2 × 0.179) = 173.5 ÷ 0.358 = 485;所需場數 (1.645 × 7.61 ÷ 0.179)² = 69.9² = 4,900。賽事費從 5% 到 15%,ROI 少約 44%,所需銀彈卻是 1.8 倍、所需場數 3.1 倍: 因為銀彈與場數都以 ROI 的倒數(或倒數平方)放大。這裡 Brownian 近似是偏保守的上界(第 51 課實際路徑模擬 10% 時 100 買入的破產風險約 27.8%,Brownian 給 42.5%),上表看趨勢可以,別當成精確機率。
六、現金桌的職業級銀彈:抽水、rakeback 與提領
現金桌換成 bb/100 單位。設單位為 100 手的標準差 90 bb(6-max NL 常被引用的量級,是我記憶中的常見區間,沒有逐一核對來源;你自己的資料請用自己的牌譜統計),毛勝率 8 bb/100、抽水負擔 5.17、rakeback 30%。同樣的 B = ln(20) × σ² ÷ (2μ):
無抽水: μ = 8.00 B = 2.9957 × 8100 ÷ 16.00 = 1,517 bb ≈ 15 個買入
扣抽水: μ = 2.83 B = 2.9957 × 8100 ÷ 5.67 = 4,282 bb ≈ 43 個買入
抽水 + RB30%: μ = 4.38 B = 2.9957 × 8100 ÷ 8.77 = 2,768 bb ≈ 28 個買入
若銀彈固定 3000 bb(30 個買入),Brownian 破產風險 exp(−2μB ÷ σ²):無抽水 0.27%;扣抽水 12.3%;有 rakeback 3.9%。再看「多久才讀得出你是贏家」:10 萬手(1000 個 100 手區塊)後帳面為負的機率 = Φ(−μ√n ÷ σ),μ = 8 時 0.25%、2.83 時 16.0%、4.38 時 6.2%。確認淨勝率為正(95% 單尾)所需手數 (1.645 × 90 ÷ μ)² × 100:μ = 2.83 約 27.3 萬手,μ = 4.38 約 11.4 萬手。一位真的有 2.83 bb/100 淨勝率的玩家,打 10 萬手後仍有 16% 的機率帳面是負的。
職業要提領生活費,提領等於把漂移往下拉。若每 100 手固定提領 1.0 bb(折算成 μ 減 1.0):μ = 2.83 變 1.83,3000 bb 的破產風險從 12.3% 升到 25.7%;有 rakeback 時 μ = 3.38,風險 8.2%。銀彈要拆成兩份:承受變異的緩衝,與提領的生活費緩衝,不要用同一筆錢算兩次。 專欄資金管理的基準(現金 30 到 50 個買入起跳)是為「期望值為正、有紀律」的人設的下限,而今天的計算顯示:在我的假設下,淨勝率每少 1 bb/100,下限就明顯變厚;若你的實際淨勝率其實只有 1,5% 破產風險所需約 121 個買入(2.9957 × 8100 ÷ 2 ÷ 100)。
🧠 為什麼是這樣
抽水是與結果無關、與參與量成正比的成本:你贏你輸它都收,所以它對長期期望值的傷害,是「手數 × 每手費用」的確定性累加,而你的技術優勢是帶變異的估計值。贏家的毛利要先過抽水這一關,剩下才是淨利,這就是為什麼專欄把「長期期望值是技術優勢減去抽水與手續費」放在最前面。也是為什麼我在今天的每一個計算裡都把「兩平線」單獨寫出來:它由平台訂,不由你的技術訂。
我的模型有明確邊界。第一,底池分佈與 35 手進池是我設的,真實的進池率會因桌選、位置與人數大幅變動,抽水負擔 5.17 只在這個分佈下成立;第二,個人抽水負擔等於整桌平均是簡化,緊手與鬆手的抽水負擔、平台算法都不同;第三,rakeback 是我假設的固定比例,真實方案常有等級、門檻、有效期與回饋種類(現金、積分、賽事券)的差別,而且依門檻與計法,有時會誘使人多打手數,多打手數帶來更多抽水,這是平台的設計,不是你的利益;第四,標準差 90 bb/100 是常見的量級,你的打法(多開鬆桌、多打大池)會改變它,B 與 σ² 成正比,σ 若差 20%,銀彈差 44%;第五,Brownian 近似偏保守,而且連續時間假設在離散的資金路徑上不精確;第六,「毛勝率」本身是估計,不是已知的事實:你拿到的「+8 bb/100」多半是含抽水的樣本結果,反推毛勝率要加回你實際付的抽水,而且樣本誤差很大(上面 10 萬手、淨勝率 2.83 的玩家仍有 16% 帳面為負),所以這些銀彈數字是「如果真有這個勝率」的條件式,不是「你有這個勝率」的證明。
反制與現實:抽水結構不是對所有人公平的常數。專攻某級別的人會比較哪個平台、哪個級別的每小時抽水成本更低,這是一種桌選之外的「平台選擇」;但這也有反面,抽水便宜的地方通常競爭更強、魚更少,等於你省下的費用被更硬的對手拿回去一部分,第 51 課那個「軟場會逐漸變硬」在這裡同樣適用。資金面與紅線:本課所有數字都在說「抽水吃掉的比你以為的多、所需的緩衝比你以為的厚」,絕不是要你因為 rakeback 或抽水上限而多開桌、多打手數。多打手數放大的是抽水總額與變異;rakeback 看起來像免費的錢,其實是在邀請你增加曝險。賭金一律用輸得起的錢,而且銀彈要先算「淨勝率可能是 0 甚至為負」的情境。台灣沒有合法的現金撲克賭場,實體牌局與網路平台的合法性請自行確認,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議;資金管理專欄講的是風險概念,不是鼓勵你把它當職業。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆與計算機即可,不必進任何賭場。
- 現金桌抽水:每 100 手有 15 個 10 bb 池、6 個 30 bb 池、2 個 80 bb 池(共 23 池),費率 5%、單池上限 3 bb、六人桌。算整桌每 100 手抽水、每座位負擔;再算無上限時的總額,說出上限省下多少。
- rakeback 與兩平:承第 1 題,若毛勝率 4 bb/100,算無 rakeback 與 25% rakeback 的淨勝率,並寫出兩種情況的損益兩平毛勝率。
- 翻牌前門檻:大盲防守 3 bb 開局(盲注 1 已投入,跟注再付 2,小盲 0.5 已投入,底池 3 + 3 + 0.5 = 6.5)。算無抽水與 5% 抽水(贏家只拿 6.5 × 0.95)的最低權益。
- 賽事費:未扣費平均獎金是買入的 1.20 倍,算費用 8% 與 12% 的 ROI、損益兩平費用,以及 8% 與 12% 各吃掉毛優勢的幾成。
- 銀彈:承第 4 題,單場標準差 8 個買入,算費用 8% 與 12% 的 5% 破產風險所需銀彈 ln(20) × σ² ÷ 2μ,並說明為什麼 ROI 只差一點,銀彈差很多。
- 現金銀彈:毛勝率 6 bb/100、σ = 100 bb/100、每座位抽水 4.5、rakeback 20%。算淨勝率、5% 破產風險所需銀彈,以及 3000 bb 銀彈的破產風險。
- 在紙上寫出你會用來檢查「抽水結構有沒有在吃掉我」的過程指標(例如每 100 手實付抽水、抽水占毛贏額比例、rakeback 實際回收率),而不是看近期盈虧。
自我檢查
- 步驟 1、2:15 × 0.5 = 7.5,6 × 1.5 = 9,80 bb 池封頂 3 bb、2 × 3 = 6,合計 22.5 bb/100,每座位 3.75;無上限 24.5(上限省 2.0)。毛勝率 4 時淨勝率 4 − 3.75 = 0.25;25% rakeback 時 4 − 3.75 × 0.75 = 1.19;兩平毛勝率 3.75 與 2.81。
- 步驟 3、4、5:無抽水 2 ÷ 6.5 = 30.8%,5% 抽水 2 ÷ 6.175 = 32.4%;ROI 8% 時 1.2 × 0.92 − 1 = 10.4%,12% 時 5.6%,兩平費用 1 − 1/1.2 = 16.7%,吃掉毛優勢 48% 與 72%;銀彈 2.9957 × 64 ÷ 0.208 約 922、2.9957 × 64 ÷ 0.112 約 1712,ROI 少一半、銀彈多 86%,原因是銀彈與 ROI 成反比。
- 步驟 6、7:淨勝率 6 − 4.5 × 0.8 = 2.4;B = 2.9957 × 10000 ÷ 4.8 約 6241 bb(約 62 個買入);3000 bb 時 exp(−2 × 2.4 × 3000 ÷ 10000) = exp(−1.44) 約 23.7%;我標明了哪些是自設的假設(底池分佈、rakeback 比例、σ)、哪些是公式直接算出的。
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · 資金管理與心態基礎——抽水、變異數與各場型銀彈基準。
- 德州撲克專欄 · 翻牌前範圍——抽水對 BB 防守範圍的影響。
- 第 51 課 · 桌選與賽事選擇——今天沿用的六人桌與 Plackett-Luce 自擬模型。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 52 課:抽水(rake)與職業級銀彈:被吃掉的勝率。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注或買入建議):
- 每 100 手 15 個 10 bb 池、6 個 30 bb 池、2 個 80 bb 池,抽 5%、單池上限 3 bb、六人桌;我算出的整桌抽水與每座位負擔:[...]
- 毛勝率 4 bb/100,rakeback 25%,我算出的淨勝率與損益兩平毛勝率:[...]
- 大盲防守 3 bb 開局,底池 6.5,無抽水與 5% 抽水的最低權益:[...]
- 未扣費平均獎金 1.20 倍買入,費用 8% 與 12% 的 ROI、兩平費用、吃掉毛優勢的比例:[...]
- 單場標準差 8 個買入時的 5% 破產銀彈:[...]
- 毛勝率 6、σ = 100 bb/100、抽水 4.5、rakeback 20% 的淨勝率與銀彈:[...]
請依序回答:
1. 逐步重算我的數字,指出算錯的地方。
2. 說明「每座位平均分攤整桌抽水」的簡化在現實裡哪裡不成立(contributed rake、weighted rake、緊手與鬆手的差別)。
3. 說明 Brownian 破產近似 exp(−2μB ÷ σ²) 與 B = ln(1/ε) × σ² ÷ 2μ 的假設與誤差方向,以及提領生活費如何改變它。
4. 說明 rakeback 的常見結構(等級、門檻、回饋形式)可能怎樣改變我的實際成本與行為,哪些我不該把它當成技術優勢。
5. 我該用什麼過程指標(而不是近期盈虧)檢查自己的抽水負擔與銀彈設定。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,不要給我下注、買入或注級建議,也不要編造平台費率、連結或數據。