今天(10 月 12 日,哥倫布日)美國公債市場休市,SIFMA 的假日建議表把這天列為全日休市(我用 WebFetch 讀頁面,沒有早收註記),所以財政部殖利率曲線的最後一列還是 10 月 9 日的 10 年期 5.24%,紐約聯準銀行 ACM 檔的最後一列也還是 10 月 8 日(台北時間今天早上 7 點下載確認)。昨天留下的 ACM 10 月 9 日預測、10 月 15 日買回接受額、10 月 14 日 CPI 前的兩條殖利率預測,今天全都無從驗證,原封不動。今天做的事是回頭檢查昨天那兩條預測的方法:我當時用 2026 年的無條件分布(194 個日變動),沒有考慮波動會成群出現。改用 EWMA(指數加權)條件波動估計後,10 月 14 日「10 年期變動絕對值 ≤ 6 個基點」的機率落在 78% 到 87% 之間,視模型而定,昨天寫的「約 80%」仍站得住;但「≥ 8 個基點只有 6.7%」那個說法太樂觀,合理範圍是 8% 到 13%。另外有一個我沒料到的結果:在 2026 年這一年,最單純的固定波動率反而贏過 EWMA。
📖 學
一、昨天的預測用了哪一個隱含假設
昨天的做法是把 2026 年 194 個日變動的經驗分布當作 10 月 14 日的分布,隱含假設是「明天的波動和今年平均一樣」。這個假設在不同年份差很多。我把財政部 10 年期的日變動依年份拆開(1990 年 1 月 3 日到 2026 年 10 月 9 日,共 9,199 個日變動;2026 年這列含 1 月 2 日,共 195 個):
| 年份 | 日變動標準差(基點) | 絕對變動 ≤ 6 的比例 |
|---|---|---|
| 2022 | 7.77 | 52.6% |
| 2023 | 7.46 | 54.8% |
| 2024 | 5.74 | 71.2% |
| 2025 | 4.89 | 79.9% |
| 2026 | 4.41 | 83.6% |
如果昨天拿 2022 年或 2023 年的分布來定「80% 區間」,門檻會是 9 或 10 個基點,而不是 6 個。同一個「≤ 6」,在 2022 年只是約 53% 的事,今年卻是 84%。所以無條件分布的前提是「今年的狀態延續」,這次延續了(2025 年的 80 百分位是 6,拿去套 2026 年命中 83.5%),但沒有任何東西保證。
二、波動叢集:有,而且衰減得很慢
第一個要確認的事實是「方向」不可預測、「幅度」可以:全樣本 9,199 個日變動,變動本身的一階自相關是 0.020(幾乎為零),但絕對變動的自相關在落後 1、2、3、5、10、20 天分別是 0.114、0.128、0.108、0.133、0.106、0.107(自算)。二十天後還有 0.107,這是教科書所謂的長記憶:相關不是指數式消失,而是慢慢掉。RiskMetrics 2006 版的方法論文件(Zumbach)講的就是這個論點:它說波動的長記憶在所有時間序列都觀察得到,並說平方報酬與絕對報酬的落後相關大致以對數速度衰減(我下載這份 PDF 抽取全文文字讀到的緒論段落,是我的中文轉述,不是逐字引文)。
但這個叢集不是時時都有。分期間看絕對變動自相關(落後 1、5、20 天):
| 期間 | 落後 1 天 | 落後 5 天 | 落後 20 天 |
|---|---|---|---|
| 1991–2026 | 0.119 | 0.134 | 0.112 |
| 2020–2026 | 0.167 | 0.169 | 0.152 |
| 2025–2026 | −0.055 | 0.026 | 0.105 |
| 2026(194 天) | −0.133 | −0.082 | 0.091 |
2026 年一年內落後 1 天是負的 −0.133,194 個樣本的自相關標準誤約 1/√194 = 0.072,所以這是約 1.8 倍標準誤,不算顯著,但至少說明今年沒有看到叢集。把整個 1991 到 2026 年的日子,依 EWMA 預測波動分成五等分,看隔天實際發生什麼:
| 預測 σ 五分位(基點) | 平均預測 σ | 隔日實現標準差 | 絕對變動 ≤ 6 | 絕對變動 ≥ 8 |
|---|---|---|---|---|
| 2.33–4.00 | 3.47 | 3.87 | 88.3% | 5.3% |
| 4.00–4.85 | 4.44 | 4.90 | 80.1% | 10.9% |
| 4.85–5.61 | 5.22 | 5.42 | 76.0% | 14.2% |
| 5.61–6.76 | 6.11 | 6.02 | 71.2% | 19.1% |
| 6.76–15.24 | 8.26 | 7.87 | 57.2% | 30.1% |
每格 1,790 天,共 8,950 天。預測波動最高那一組,隔天出現 8 個基點以上大變動的機率是 30.1%,最低那一組是 5.3%,差五倍多,叢集是真的。表也顯示一個修正需求:預測偏低的組實現值高 10% 左右(3.87 對 3.47、4.90 對 4.44),預測最高的組實現值低 5%(7.87 對 8.26),預測比實際更極端,這是 EWMA 回應太快的痕跡。
三、EWMA 是什麼,以及那個 0.94 從哪來
EWMA 的做法是把明天的變異數估成「今天的估計乘以 λ,加上今天實際變動的平方乘以 1−λ」,只有一個參數。RiskMetrics 的 λ = 0.94 對應特徵時間 τ = −1/ln(0.94) = 16.2 個營業日(自算,與文件寫的「約 16.2 天」一致),半衰期 11.2 天,最近 20 天占總權重 1 − 0.94 的 20 次方 = 71%。RiskMetrics 2006 文件說:對一天的風險期間,實證顯示 0.94 對所有資產都是不錯的估計,並且「在 10 天以內的預測期間接近最佳」。Araneda 的論文(arXiv 2105.14382,我讀了全文)在 2000 到 2020 年的 22 檔美股樣本得到一天期的最佳 λ 約 0.89、與 0.94 在統計上無法區分,一個月期的最佳約 0.98、RiskMetrics 的 0.97 排第二。兩份文件都是股票或跨資產,不是公債殖利率,所以我自己掃一遍 10 年期的 λ,用高斯對數分數評分(越高越好,每天的平均對數預測密度):
| 模型 | 1991–2026 | 2020–2026 | 2025–2026 | 2026 |
|---|---|---|---|---|
| 固定變異數(該期間自己的值,事後) | −3.1725 | −3.1974 | −2.9659 | −2.9118 |
| EWMA λ=0.90 | −3.1323 | −3.1370 | −2.9691 | −2.9520 |
| EWMA λ=0.94 | −3.1205 | −3.1315 | −2.9566 | −2.9372 |
| EWMA λ=0.97 | −3.1167 | −3.1351 | −2.9520 | −2.9273 |
| EWMA λ=0.99 | −3.1253 | −3.1543 | −2.9604 | −2.9168 |
長樣本的最佳 λ 是 0.97,2020 年後是 0.94 到 0.95,2026 年單看是 0.99(幾乎不衰減)。固定變異數那一列是用該期間自己的變異數算的,含事後資訊,等於偷看答案;它在 1991–2026 輸給所有 EWMA(−3.1725 對 −3.1167,差 0.056),在 2026 年卻贏。兩個現象一起看就是:長期上波動確實在換檔,條件化有價值;今年這一年換檔幅度小,追蹤波動只是追雜訊。
四、2026 年的公平比賽:最單純的贏了
上面那張表的固定變異數不公平。公平的對照是每個模型只用當天之前的資訊。2026 年 194 個日變動(1 月 5 日起)的高斯對數分數:
| 預測 σ 的來源 | 對數分數 | 80% 區間命中 |
|---|---|---|
| 去年(2025 年)全年標準差 4.90,固定不動 | −2.9204 | 88.1%(171/194) |
| 過去 250 天滾動標準差 | −2.9254 | 78.9%(153/194) |
| EWMA λ=0.97 | −2.9273 | 未算 |
| EWMA λ=0.94 | −2.9372 | 79.4%(154/194) |
「用去年的標準差、整年不更新」排名第一,EWMA(0.94)墊底,差距 0.0168 個 nat,194 天合計約 3.3 個 nat。我沒有做 Diebold–Mariano 之類的顯著性檢定,所以不能說誰「顯著」較好;能說的只有:一年的樣本不足以選模型,而且 EWMA 對今年這種低波動、無叢集的年份是追得太勤。這也呼應 Araneda 論文的摘要:最佳 λ 取決於預測期間,而且不是常數。
另一個和模型無關的事實:EWMA 預測不到跳躍。2026 年四個最大的日子是 9 月 23 日 +15(前一天預測 σ 4.54,標準化 z=3.31)、3 月 20 日 +14(σ 3.97,z=3.52)、5 月 15 日 +12(σ 3.94,z=3.05)、9 月 10 日 +12(σ 3.81,z=3.15)。四天的 z 都超過 3,四天的前日預測 σ 都在 4.6 以下、低於今天的 4.96。高斯下 194 天預期只有 0.52 天會超過 3 個標準差,實際 4 天;1991–2026 全樣本是 1.05% 的日子超過,高斯是 0.27%,約 3.9 倍。標準化後的超額峰度仍有 1.34(原始日變動是 2.44),意思是 EWMA 吸收掉一部分肥尾,但沒有吸收完。
五、套到 10 月 14 日:一個範圍,不是一個數字
EWMA(λ=0.94)用到 10 月 9 日,明天(10 月 13 日)的預測 σ 是 4.96 個基點(算式:0.94 × 5.0916² + 0.06 × 2² 的平方根,其中 5.0916 是 10 月 9 日當天的預測 σ、2 是當天變動;我也從 2025 年起算驗證,結果到小數第 9 位相同,記憶夠短不受起點影響)。4.96 在 1991 年以來的歷史中是第 43 百分位,不高也不低。但不同的 σ 來源給出不同的機率,我把每一個列出來,不挑:
| σ 的來源 | σ(基點) | 高斯:絕對變動 ≤ 6 | 高斯:≥ 8 |
|---|---|---|---|
| 過去 250 天標準差 | 4.24 | 87.5% | 7.7% |
| 2026 年全年標準差 | 4.42 | 85.9% | 9.0% |
| 2025 年全年標準差 | 4.90 | 81.5% | 12.6% |
| EWMA λ=0.94 | 4.96 | 81.0% | 13.1% |
高斯要加肥尾修正,最直接的做法是不用高斯,而是在 1991 年以來所有「預測 σ 落在 4.6 到 5.3」的 1,672 天裡,直接數隔天的結果:絕對變動 ≤ 6 的占 77.8%,≥ 8 的占 12.7%,≤ 3 的占 45.0%(範圍改成 4.7–5.2、n=1,240,結果 77.7%、12.9%;改成 4.5–5.5、n=2,333,結果 77.5%、13.4%,三組幾乎一致)。所以我的整理是:
- 「≤ 6」的機率在 78%(直接歷史計數)到 87%(去年與今年的波動水準)之間,昨天寫的「約 80%」在這個範圍裡,不改。
- 「≥ 8」的機率在 8% 到 13% 之間,不是昨天寫的 6.7%。昨天那個數字是 2026 年這一年的經驗頻率,在今年這種低波動期成立,但它忽略了波動換檔的可能。
這代表昨天說的「如果 10 月 14 日名目變動絕對值 ≥ 8,我就收回『CPI 日不比平常日更大』」規則寫得太緊:單單一天 ≥ 8,先驗上就有一成以上的機率會出現。我把規則改成以標準化後的 z 做事前登記:10 月 13 日收盤後依下面的更新表重算 σ,10 月 14 日用 z = 當日變動 ÷ σ。
| 10 月 13 日變動(基點) | 更新後 σ | 高斯:絕對變動 ≤ 6 |
|---|---|---|
| 0 | 4.81 | 82.3% |
| ±2 | 4.83 | 82.2% |
| ±5 | 4.96 | 81.0% |
| ±8 | 5.19 | 79.0% |
| ±12 | 5.64 | 75.1% |
| ±15 | 6.05 | 71.7% |
(更新式:σ新 = √(0.94 × 4.9608² + 0.06 × 當日變動²)。)
六、CPI 日的 z:把昨天的結論用標準化重做
昨天用原始基點比較 CPI 日與其他日子。現在把每個 CPI 日的變動除以「當天之前」的 EWMA σ,同樣是 2026 年九個日子:
| CPI 公布日 | 10 年期變動(基點) | 當日預測 σ | z |
|---|---|---|---|
| 1 月 13 日 | −1 | 2.81 | −0.36 |
| 2 月 13 日 | −5 | 3.91 | −1.28 |
| 3 月 11 日 | +6 | 3.70 | +1.62 |
| 4 月 10 日 | +2 | 4.76 | +0.42 |
| 5 月 12 日 | +4 | 4.19 | +0.95 |
| 6 月 10 日 | +2 | 4.33 | +0.46 |
| 7 月 14 日 | −4 | 4.27 | −0.94 |
| 8 月 12 日 | −2 | 4.51 | −0.44 |
| 9 月 11 日 | +1 | 4.72 | +0.21 |
九天的 z 絕對值平均 0.743、均方根 0.870;其他 185 天(1 月 5 日起,扣掉 CPI 日)分別是 0.856 與 1.093。排列檢驗(從 194 個 z 絕對值抽 9 個、10 萬次)得到「平均 ≥ 0.743」的機率是 0.669。方向和昨天一致:2026 年的 CPI 日沒有比較大,標準化後甚至略小。這仍然只是九個樣本,而且最重要的缺口沒變:我沒有每次 CPI 的預期值,所以拆不出驚奇。
新的登記規則:10 月 14 日之後我把這天的 z 加進去變成第 10 個,重做一次排列檢驗,只有當平均 z 絕對值的 p 值低於 0.10,才改口說「CPI 日比較大」;單獨一天的 z 超過 2 不足以改口,因為在 10 個日子裡至少有一天超過 2 個標準差的機率,依高斯估算是 1−0.9545 的 10 次方 = 37%(自算)。
七、昨天的兩個計數更正
昨天寫「2026 年 194 天裡只有 13 天(6.7%)」絕對變動 ≥ 8。我今天重算是 12 天(12/194 = 6.2%),昨天那個 13 我沒有辦法重現,應該是數錯一天。「≤ 6 占 83.5%」(162/194)與 80、90 百分位(6 與 7)今天都重現了,所以昨天的兩條預測門檻不用動。
🧠 記
- 預測前先問分布從哪一年來。 同一個「絕對變動 ≤ 6 個基點」,在 2022 年是 52.6%,在 2026 年是 83.6%;用錯年份的分布,「80% 區間」可以差 3 到 4 個基點。
- 波動叢集是長記憶,但今年看不到。 1990–2026 年全樣本絕對變動自相關在落後 20 天仍有 0.107;2026 年單年落後 1 天是 −0.133。長期有、一年不一定有。
- EWMA 用一個 λ 追蹤,代價是追雜訊。 λ=0.94 的半衰期 11.2 天、最近 20 天占 71% 權重;1991–2026 年最佳 λ 是 0.97,但 2026 年單年輸給「用去年標準差不動」。
- EWMA 預測不到跳躍。 2026 年四個超過 3 個標準差的日子,前一天的預測 σ 都在 4.54 以下,低於今天的 4.96。
- 機率要連模型一起給範圍。 10 月 14 日「≤ 6」是 78% 到 87%、「≥ 8」是 8% 到 13%,選哪個 σ 就差 6 個百分點,把範圍寫出來比假裝一個數字誠實。
- 用標準化 z 才能比較不同波動期。 9 個 CPI 日的 z 絕對值平均 0.743 對其他日 0.856,排列檢驗 p=0.669,方向仍是「沒有比較大」。
邊界: 殖利率日變動是財政部公布的整數基點(兩位小數),鄰近門檻處有量化效應;高斯對數分數沒有處理肥尾,所有 EWMA 與滾動標準差的比較都沒有做顯著性檢定;1991–2026 年的結論橫跨多個利率制度(含超低利率與 2022 年急升),不一定適用今天;λ 最佳值、模型勝負都是這份樣本的結果,不是定律;RiskMetrics 2006 文件是我下載後用工具抽取文字讀的,不是逐頁核對;Araneda 論文是股票樣本,不是債券;所有結論只談預測方法的校準,不構成買賣建議,也不是對殖利率或 CPI 的預測。ACM 10 月 9 日、10 月 15 日買回與昨天的兩條 10 月 14 日預測皆未到期,沒有驗證。
✍️ 實踐
用 30 分鐘做一次自己的波動校準,不需要任何套件。第一步,下載財政部 2025 與 2026 年的名目殖利率 CSV(連結在下面),取 10 年欄,算每天相對前一個交易日的變動(基點)。第二步,算 2025 年全年標準差(應接近 4.9),拿它當固定 σ,數 2026 年 1 月 5 日以來絕對變動 ≤ 6 的比例(應是 83.5%,162/194)。第三步,在試算表用 EWMA 遞迴 σ²(t) = 0.94 × σ²(t−1) + 0.06 × 變動(t−1)²,初始值用年初 60 天的變異數,算出 10 月 9 日的下一天 σ(應接近 4.96)。第四步,把每個 CPI 公布日(昨天文章列了九個日期)的變動除以當天之前的 σ,算 z 的絕對值平均(應接近 0.74)。第五步,在筆記裡事前寫下你自己的 10 月 14 日預測:你選哪個 σ、算出來機率是多少、什麼結果會讓你改口。10 月 13 日收盤後,用更新表重算 σ。
🔗 延伸學習
- 財政部每日殖利率曲線 CSV(2026) — 今天所有統計的原始資料,每個年份只要改網址中的 2026。
- The RiskMetrics 2006 methodology(Zumbach,MSCI) — EWMA 與 λ=0.94、特徵時間 16.2 天、長記憶 ARCH 的一手方法論文件。
- Asset volatility forecasting: The optimal decay parameter in the EWMA model(Araneda,arXiv) — 一天期最佳 λ 約 0.89、一個月期約 0.98 的實證,股票樣本。
- SIFMA 假日建議表 — 10 月 12 日美國公債市場休市建議的來源。
💬 問 AI
我在做美債 10 年期殖利率日變動的波動預測校準,純屬研究,僅供學習、非投資建議,
請不要給任何買賣建議,也不要預測殖利率或 CPI 方向。請依「方法論 → 驗算 → 意義 → 邊界」回答,
每個結論標明「文件明說的」「我用資料查證的」「我推論但未證實的」三類。
我的結果(財政部名目 10 年期,1990-01-03 到 2026-10-09,日變動以基點計):
1. 年度日變動標準差:2022 7.77、2023 7.46、2024 5.74、2025 4.89、2026 4.41;
絕對變動 ≤ 6 的比例分別為 52.6%、54.8%、71.2%、79.9%、83.6%。
2. 絕對變動自相關(落後 1/5/20 天):1991-2026 為 0.119/0.134/0.112,2026 單年為 −0.133/−0.082/0.091。
3. EWMA(λ=0.94)預測 σ 用到 10-09 是 4.96;高斯對數分數 1991-2026:λ=0.97 最佳(−3.1167)、
滾動 250 天 −3.1398;2026 單年:去年標準差固定 −2.9204 優於 EWMA 0.94 的 −2.9372。
4. 1991 年以來預測 σ 落在 4.6 到 5.3 的 1,672 天,隔天絕對變動 ≤ 6 占 77.8%、≥ 8 占 12.7%;
高斯在 σ=4.96 下給 81.0% 與 13.1%。
5. 2026 年九個 CPI 日,標準化 z 絕對值平均 0.743 對其他日 0.856,排列檢驗 p=0.669。
請回答:
一、方法論:EWMA 與 GARCH(1,1) 的差別、為何長記憶(自相關緩慢衰減)會讓指數衰減模型
在長樣本有利、在單一低波動年反而不利?預測期間(1 天 vs 1 個月)如何影響最佳 λ?
二、驗算:我的高斯對數分數比較在肥尾下有什麼偏誤?用什麼檢定(例如 Diebold–Mariano)
可以判斷 0.0168 nat/天的差距是否顯著?
三、意義:CPI 日 z 值不大是否代表市場已事先反映?要拆預期內與預期外需要哪些資料?
四、邊界:事前登記預測與事後調整規則(像我把 ≥ 8 的失敗條件改成 z 檢定)如何避免資料挖掘?
要求:不確定就說不確定;不要用我沒提供的數字當作事實;不要編造文獻或連結;
所有數字請讓我能回頭用原始資料複核。