第 55 課把德州撲克的反剝削算到了頻率與樣本量,今天要解決的是另一個問題:同一套機率與範圍語言搬到底池限注奧馬哈(PLO)時,哪些直覺直接失效。先講自算結論(模型、抽樣與假設都寫在文內): PLO 起手牌有 C(52,4) = 270,725 種組合,是德撲 1,326 種的 204 倍,花色同構後仍有 16,432 類(德撲 169 類)。權益被明顯壓縮:對隨機手牌的勝率,德撲 4,000 手樣本標準差 9.8 個百分點,PLO 只有 6.5(約 0.66 倍);前 20% 的牌打後 50% 的牌,德撲 68.4%,PLO 62.9%。花色影響大得多:同樣是 AAKK,雙同花 70.6%、無同花 65.0%,差 5.6 個百分點,德撲 AKs 對 AKo 只差 1.7。底池限注讓 100 bb 的單加注底池 SPR 從德撲的 15.0 降到 11.4,3-bet 底池從 5.3 降到 3.5。台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
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零、先對帳:第 55 課的待驗數字
第 55 課的數字我用 Python 重算。平衡詐唬占比 b* = s ÷ (1+2s):s = 0.75 得 30.0%,MDF = 1 ÷ 1.75 = 57.1%,吻合。詐唬占比 40% 時永遠跟注的 EV = 0.40 × 2.5 − 0.75 = 0.25 個底池,吻合;邊際詐唬 EV = 1 − c(1+s),c = 0.45 為 +0.2125、c = 0.70 為 −0.225、c = 1 為 −0.75,吻合。3-bet 節點的打平蓋牌率 19.5 ÷ 32.5 = 60%,EV = 0.7 × 13 − 0.3 × 19.5 = +3.25 bb,吻合。精確二項檢定的樣本需求(單尾 5%、檢定力 80%):4-bet 率 8% 到 14% 要 167 次、8% 到 20% 要 50 次;玩具模型的偵測所需攤牌數,詐唬占比 36% 為 379、40% 為 144、45% 為 67、50% 為 39;偵測對手回調到 80%、65%、57% 分別要 14、42、114 次,全部吻合。練習題:10 次 4-bet 對 50 次機會、基準 10%,精確 p = 0.0245;面對 c-bet 40 次蓋 15 次的左尾機率 0.214、蓋 10 次 0.0074;連看 6 個指標至少一次誤報 26.5%;Bonferroni 後門檻 0.83%,11 次的 p = 0.0094 不過、12 次的 0.0032 才過,也都吻合。第 54 課的 Fisher 精確檢定(14 對 46 與 3 對 57)p = 0.0073 亦吻合。這一輪沒有發現需要更正的地方。
一、組合數與「兩張必用」:PLO 不是德撲加兩張牌
PLO 每人四張底牌,翻後必須恰好用兩張底牌加三張公共牌。德撲是 7 張選 5,共 C(7,5) = 21 種五張組合;PLO 是 C(4,2) × C(5,3) = 6 × 10 = 60 種。這條規則帶來兩個後果:持有 A♠ Q♥ J♦ J♣、公共牌三張黑桃時,你只有一張黑桃,沒有同花;公共牌四張同花時,你要手上有兩張那個花色才算,不能只用一張。很多從德撲轉來的人第一個虧損來源就是這兩種「以為成了」。
起手牌的數量級也完全不同。我用 Python 枚舉全部 270,725 種組合、再用 24 種花色排列取最小表示,算出花色同構後有 16,432 類,德撲是 169 類。組合的結構如下(自算):
| 結構 | 組合數 | 占比 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 無同花(四色各一) | 28,561 | 10.5% | 永遠做不出同花,只有 13⁴ 種 |
| 單同花(2+1+1) | 158,184 | 58.4% | 一組兩張同花 |
| 雙同花(2+2) | 36,504 | 13.5% | 兩組各兩張同花 |
| 3+1 | 44,616 | 16.5% | 其中兩張同花有效,第三張是多餘的 |
| 四同花 | 2,860 | 1.1% | 只能用兩張 |
| 含一對以上 | 87,685 | 32.4% | 德撲的對子只占 5.9% |
| 四張不同點數且跨度 4 以內 | 10,496 | 3.9% | 連結成「順牌」(rundown)的組合 |
一個說明稀有度的數字:AAKK 共 36 種組合,其中雙同花 6 種,占全部起手牌的 0.0022%;德撲的 AA 有 6 種,占 0.45%。PLO 的「最強起手牌」是更稀有的東西,多數時候你拿到的是結構中等的牌。
花色的價值也可以直接算。德撲持有同花牌,到河牌公共牌出現至少三張該花色的機率是 Σ C(11,k) C(39,5−k) ÷ C(50,5)(k = 3 到 5)= 135,597 ÷ 2,118,760 = 6.40%。PLO 持有一組兩張同花:剩 48 張牌中 11 張該花色,Σ C(11,k) C(37,5−k) ÷ C(48,5) = 122,562 ÷ 1,712,304 = 7.16%;雙同花有兩組(兩組同時成立要六張公共牌,不可能),所以是 2 × 7.16% = 14.3%。這是花色在 PLO 價值高的一個直接原因:不是單一同花聽牌更容易,而是每手牌有兩個機會。
二、權益壓縮:有多壓縮
「PLO 的牌勢更接近」是常見說法,我用 Monte Carlo 量化。方法:C 寫的 5 張牌評估器(Python 驅動),每個遊戲隨機抽 4,000 手起手牌,每手對一個隨機對手與隨機公共牌模擬 20,000 次(平手算 0.5);再用同一批樣本依權益排序定義範圍。評估器先用德撲的熟知數字驗證:AA 對隨機 85.2%、72o 34.6%、AA 對 KK 81.2%、AKo 對 AQo 74.0%,都與我記得的常見數字一致(這是記憶對照,沒有開原文逐格核對)。
| 指標 | 德撲 | PLO |
|---|---|---|
| 對隨機手牌的勝率標準差 | 9.78 個百分點 | 6.48 個百分點 |
| 第 5 到第 95 百分位 | 35.1% 到 64.8% | 40.1% 到 62.6% |
| 勝率 60% 以上的牌占比 | 14.7% | 8.4% |
| 勝率 40% 以下的牌占比 | 18.3% | 4.6% |
| 樣本最高值 | 85.7%(AA 級,含抽樣誤差) | 70.7% |
每手 20,000 次模擬的標準誤最大約 0.35 個百分點,扣除抽樣雜訊後,德撲標準差仍是 9.78、PLO 仍是 6.48。PLO 的樣本裡,勝率低於 40% 的牌只有 4.6%,「明顯垃圾牌」少得多;但勝率高於 60% 的牌也只有 8.4%。
範圍對範圍更貼近實戰。我把樣本依對隨機勝率排序,取前 20% 當 A、排名 20% 到 50% 的當 M、後 50% 的當 B,各自模擬 400 萬次(兩手牌不能重複用同一張牌):
| 配對 | 德撲 | PLO |
|---|---|---|
| A(前 20%)對 M | 64.5% | 59.2% |
| A 對 B(後 50%) | 68.4% | 62.9% |
A 對 B 的優勢(勝率超過 50% 的部分)德撲是 18.4 點、PLO 是 12.9 點,PLO 約為德撲的 0.70;A 對 M 則是 14.5 對 9.2,約 0.63。這個數字有三個限制:範圍是用「對隨機勝率」排的,不是均衡範圍;樣本是各 4,000 手而非全部組合;而且是翻前對攤牌的總勝率,不含位置與下注的實現。同一批牌的勝率差距縮小,表示翻前「牌強」帶給你的邊際較少,位置、花色結構、後續街的決策占的比重變大。
單挑對決也同方向:德撲 AA 對 KK 81.2%、AA 對 9s8s 78.5%、AKs 對 98s 62.2%、AKo 對 98s 59.7%。PLO 的 AsAhKsKh 對 JsTs9h8h(雙同花順牌)66.3%、雙方都無同花時 63.1%、對無同花順牌 68.4%。德撲 AKo 對 AQo 的統治局面是 74.0%,PLO 的 AsAhKsKh 對 AdAcQdQc(KK 對 QQ,A 都被拿光)只有 51.3%。這一個例子不能代表全部統治關係,但說明 PLO 即使「更大的對子」也不一定能把勝率拉開。
三、起手牌強弱看什麼:連結性、同花、雙對
每個起手牌的特徵我用同一個指標比較:對隨機手牌的勝率(各 200 萬次模擬,標準誤約 0.03 個百分點)。
| 起手牌 | 特徵 | 對隨機勝率 |
|---|---|---|
| A♠A♥K♠K♥ | 高對加雙同花 | 70.6% |
| A♠A♥K♦K♣ | 同上,無同花 | 65.0% |
| A♠A♥7♠2♥ | 高對加雙同花,無連結 | 67.1% |
| A♠A♥7♦2♣ | 無同花 | 61.2% |
| A♠A♥A♦K♣ | 三張 A,浪費兩張 | 57.2% |
| K♠K♥J♦T♦ | 對子加單同花連結 | 64.3% |
| A♠K♠Q♥J♥ | 高張順牌雙同花 | 61.1% |
| A♠K♦Q♥J♣ | 高張順牌無同花 | 54.8% |
| J♠T♠9♥8♥ | 順牌雙同花 | 55.6% |
| J♠T♠9♦8♣ | 順牌單同花 | 52.8% |
| J♠T♦9♥8♣ | 順牌無同花 | 49.6% |
| J♠T♠9♦3♣ | 單同花加一張孤牌(dangler) | 49.4% |
| J♠9♦4♣2♥ | 散牌 | 40.6% |
幾個對比可以直接讀:雙同花相對無同花,AAKK 加 5.6、AA72 加 5.9、順牌 JT98 加 6.0、高張順牌 AKQJ 加 6.3,大致是 +5.6 到 +6.3 個百分點;德撲的 AKs 相對 AKo 只加 1.7(67.0% 對 65.3%)。花色在 PLO 的邊際價值約為德撲的 3.5 倍。第二個是「孤牌」:同樣單同花的 JT9,第四張是 8 為 52.8%、換成 3 就降到 49.4%,差 3.4 個百分點。第三個是重複:AAAK 只有 57.2%,比 AAKK 無同花低 7.8 個百分點,因為你只能用兩張,三張 A 中至少一張是多餘的,還擋掉自己的阻斷與連結。
另外一個重要的提醒:對隨機手牌的勝率不等於對有紀律的範圍的勝率。以順牌 JT98 雙同花來說,對隨機是 55.6%,對 AAKK 雙同花只有 33.7%(1 − 66.3%)。牌強排序會隨對手範圍改變,所以下一節的結構討論標示為推論,不是求解器的結果。
四、翻前範圍結構為什麼和德撲不同
我沒有算過求解器的翻前頻率,所以這一節的結論是用上面的資料推出來的,不是 PLO 均衡範圍的數字。
先看攤牌長什麼樣。隨機兩手牌、5 張公共牌,贏家的牌型分布(各 300 萬次,平手另列):
| 贏家牌型 | 德撲 | PLO |
|---|---|---|
| 高牌 | 5.5% | 0.1% |
| 一對 | 35.7% | 10.3% |
| 兩對 | 30.2% | 34.2% |
| 三條 | 7.0% | 11.8% |
| 順子 | 7.5% | 17.5% |
| 同花 | 5.1% | 11.7% |
| 葫蘆 | 4.5% | 11.7% |
| 四條與同花順 | 0.4% | 1.1% |
| 平手 | 4.1% | 1.4% |
順子以上德撲 17.5%,PLO 是 42.1%。PLO 即使只有兩個人、手牌隨機,贏家手上有順子、同花、葫蘆的機率也已是德撲的 2.4 倍。這是推論的基礎:PLO 的翻後輸贏更常由堅果級成牌決定,而不是一對。再加上前面算的三個事實(勝率被壓縮、89.5% 的組合有同花資格、32.4% 含對子),我推出三個結構差異。
第一,德撲翻前範圍的主軸是單一維度的牌力(對子與高張),PLO 要同時看四個軸:成牌強度、堅果潛力(例如同花是不是 A 高)、連結性、花色。這四軸互相補償,所以範圍邊界比德撲「模糊」,依位置調整的幅度大。第二,權益被壓縮後,翻前加注賺的「牌強優勢」較小,加注的價值更多來自位置、封鎖對手最好的範圍、以及後續街的主導權(推論,待驗)。第三,「垃圾牌」的比例較低,但「能實現權益」的牌更少;一手 AA72 無同花對隨機 61.2%,也許不比 JT98 雙同花更適合打深,因為它沒有堅果同花與連結,翻後可玩性差(同樣屬推論)。
五、底池限注:加注尺度與 SPR 對照
PLO 的最大加注是底池大小。算法:加注到 = 最後一注 + (目前桌面總錢數 + 要跟的錢),等價的口訣是 3 × 最後一注 + 其他死錢。假設:6 人桌、盲注 0.5 與 1 bb、100 bb 有效籌碼、無前注、無抽水,德撲部分的尺度(開 2.5、3-bet 8、4-bet 20)是我自設的示意。
- 開池:UTG 最大加到 1 + (1.5 + 1) = 3.5 bb(3 × 1 + 0.5)。
- 3-bet:BTN 面對 3.5 bb、桌面 5 bb,最大加到 3.5 + (5 + 3.5) = 12 bb(3 × 3.5 + 1.5)。
- 4-bet:UTG 面對 12 bb,桌面 17 bb,最大加到 12 + (17 + 8.5) = 37.5 bb(3 × 12 + 1.5)。
| 底池類型 | 德撲(示意尺度) | 德撲 SPR | PLO(最大加注) | PLO SPR |
|---|---|---|---|---|
| 單加注底池 | 開 2.5、被跟:底池 6.5 | 15.0 | 開 3.5、被跟:底池 8.5 | 11.4 |
| 3-bet 底池 | 3-bet 8、被跟:底池 17.5 | 5.3 | 3-bet 12、被跟:底池 25.5 | 3.5 |
| 4-bet 底池 | 4-bet 20、被跟:底池 41.5 | 1.9 | 4-bet 37.5、被跟:底池 76.5 | 0.8 |
兩個重點。其一,PLO 的最大 3-bet 與 4-bet 會讓 SPR 快速降到「幾乎承諾」的範圍,對應第 46 課的深籌碼框架:SPR 0.8 的 4-bet 底池,翻後幾乎只剩全下或棄牌;SPR 3.5 的 3-bet 底池,翻牌下注一個底池、轉牌再下 0.82 個底池就全下。其二,單加注底池的 SPR 11.4 仍夠深:連續三街都下注底池大小是 8.5、25.5、62.5 個 bb(河牌只剩 0.82 個底池),三街打光全部籌碼,這是「深籌碼 PLO 的順牌與同花不容易被擋」的來源。
下注尺度只到一個底池,沒有超額下注。第 55 課的算式在 s = 1 時給出:平衡詐唬占比 b* = 1 ÷ 3 = 33.3%、對手 MDF = 50%、詐唬對價值 1 比 2;PLO 的天花板就是這一列。
六、PLO 的半詐唬門檻:權益直接進算式
德撲的純詐唬看蓋牌率;PLO 的聽牌常帶有 30% 以上的權益,所以要看「有權益的詐唬」。簡化模型:底池 1、下注 s = 1(底池大小);被跟注後不再下注、平分到攤牌且完全實現權益 e;EV = f × 1 + (1−f)(3e − 1),f 是對手蓋牌率。令 EV = 0 得 f* = (1 − 3e) ÷ (2 − 3e)。
| 你的權益 e | 打平所需蓋牌率 f* |
|---|---|
| 0%(純詐唬) | 50.0% |
| 10% | 41.2% |
| 20% | 28.6% |
| 25% | 20.0% |
| 30% | 9.1% |
| 33.3% 以上 | 0%(被跟注也不虧) |
PLO 因為權益壓縮,聽牌類的權益常落在 25% 到 40% 之間(此區間是我對常見聽牌的粗略印象,沒有逐手計算),半詐唬的所需蓋牌率因此低得多。這個模型的失效條件很明確:沒有後續街、完全實現權益、對手的跟注範圍不因你的下注而變強。真實的位置劣勢與反加注會讓 f* 變高。
🧠 為什麼是這樣
底層原理是範圍的結構取決於起手牌的維度。德撲只有兩張底牌,牌力主要沿一個軸排列,權益差距大,翻前範圍可以用「前 x%」描述。PLO 有四張底牌、兩張必用,組合多出 204 倍,花色、連結、對子彼此互補,同一手牌的對隨機勝率被限制在 22% 到 71% 之間,範圍邊界也就不是單純的「前 x%」。權益壓縮意味著翻前的邊際較小、後續街的資訊與位置較大,再加上底池限注把 SPR 壓低,3-bet 底池的決策幾乎集中在翻牌與轉牌。這是整個遷移的核心:把德撲學到的機率與範圍語言保留,把牌力排序與下注尺度的直覺重新校準。
這套分析有明確的失效邊界。第一,所有勝率都是對隨機手牌或對樣本範圍,而不是對均衡範圍,第 3 節的 JT98 對 AAKK 已示範排序會變。第二,樣本是各 4,000 手,不是全部組合,範圍分層也是以對隨機勝率排的近似。第三,只算了兩人攤牌,沒有位置、下注序列與權益實現;PLO 多人底池更常見,堅果的重要性只會更高。第四,第 4 節的三個結構差異是推論,沒有求解器資料驗證,也沒有查證實際遊戲的翻前頻率。第五,德撲的 3-bet、4-bet 尺度與 PLO 的最大加注都是設定,真實遊戲玩家常打不到最大。第六,PLO 熟知的牌力排序與經驗法則(順牌、雙同花偏好)我只驗證了與資料一致的部分,沒有開外部資料交叉核對。
資金面的立場:PLO 的變異比德撲更大,因為權益被壓縮、牌局常打到深籌碼與大底池;表中的 bb 與勝率是紙上模型,真實結果還受抽水、對手與變異影響(見第 52 課)。賭金只用輸得起的錢,銀彈與停損要在冷靜時寫好;在還沒有把「兩張必用」與「堅果同花」變成反射之前,不要用真錢驗證。台灣沒有合法的現金撲克賭場,實體牌局與網路平台的合法性請自行確認,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
✍️ 今日練習
10 到 20 分鐘,紙筆與計算機,不必進賭場。
- 算花色機會。 PLO 你持有一組兩張同花(其餘兩張異色),用超幾何公式算河牌前公共牌至少三張該花色的機率:Σ C(11,k) C(37,5−k) ÷ C(48,5),k = 3 到 5。再算雙同花的總機率,並與德撲同花牌的 6.40% 比。
- 算加注與 SPR。 6 人桌、盲注 0.5 與 1 bb、100 bb 有效籌碼。UTG 底池加注、CO 跟注、BTN 底池加注(3-bet)、其他人蓋牌,UTG 蓋、CO 跟。算 BTN 的加注額、翻牌時的底池大小與 SPR。
- 算半詐唬。 底池 1、下注 s = 0.5。推導 EV = f + (1−f)(e(1+2s) − s),並計算 e = 15% 時打平所需的蓋牌率;再檢查 e = 25% 時為何 f* 是 0。
自我檢查
- 第 1 題:單同花一組 122,562 ÷ 1,712,304 = 7.16%;雙同花 14.3%;約為德撲 6.40% 的 1.1 倍與 2.2 倍。
- 第 2 題:UTG 加到 3.5 bb、CO 跟注後桌面 1.5 + 3.5 + 3.5 = 8.5 bb;BTN 最大加到 3.5 + (8.5 + 3.5) = 15.5 bb(3 × 3.5 + 5.0)。UTG 蓋後 CO 跟:底池 = 1.5 + 3.5 + 15.5 × 2 = 36.0 bb;剩 100 − 15.5 = 84.5 bb,SPR = 84.5 ÷ 36 = 2.35。第 3 題:e = 15% 時,X = 0.15 × 2 − 0.5 = −0.2,f* = 0.2 ÷ 1.2 = 16.7%;e = 25% 時 X = 0.25 × 2 − 0.5 = 0,所以被跟注一次 EV 剛好 0,不需要任何蓋牌就不虧。
- 遷移:拿一手你熟悉的德撲牌,把它換成 PLO 的四張牌(兩張相同、另外兩張補上連結或花色),寫下它在「單同花、雙同花、無同花」三種情況下的差異,並寫出你預期的勝率差距與驗證方式。
🔗 延伸
- 德撲專欄 · 組合數與阻斷牌——用 1326 個組合思考的計數方法,今天把它擴到 270,725 個組合。
- 德撲專欄 · 起手牌與位置化開牌範圍——對照德撲 169 類手牌如何被當成一個維度的範圍。
- 第 46 課 · 深籌碼與 SPR 框架——SPR 的框架,今天的底池限注對照是它的應用。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 56 課:遷移到 PLO:四張底牌的權益與範圍結構。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注或買入建議):
- PLO 起手牌組合數 C(52,4) = 270,725,兩張必用的五張組合 C(4,2) × C(5,3) = 60
- 我手上是 [...](四張牌),花色結構是 [...],我想知道河牌前做出同花的機率
- 我對隨機手牌的勝率估計是 [...],我想比較它與德撲同類手牌的差距
- 6 人桌、盲注 0.5/1 bb、100 bb 有效籌碼,[...](加注序列),我要算底池限注的加注額與 SPR
- 下注 s = [...] 倍底池,我的半詐唬權益 e = [...]
請依序回答:
1. 逐步重算我的組合數、同花機率(超幾何分布)、底池限注加注額與 SPR,指出算錯的地方。
2. 說明「兩張必用」規則如何改變翻後牌力判斷,並舉兩個常見的「以為成了」的例子。
3. 說明為什麼 PLO 的勝率被壓縮、以及這個壓縮量要用哪些方式量化(對隨機手牌 vs 範圍對範圍),各自的限制。
4. 說明半詐唬打平蓋牌率 f* = (1 − 3e) ÷ (2 − 3e) 的假設(一街、完全實現權益、s = 1),並告訴我現實裡哪些假設會讓它失效。
5. 把你「確定的」「推論的」「不確定的」分開列。
每個數字請標明「出處」或「這是假設」,不要給我下注、買入或注級建議,也不要編造研究、連結或數據。