第 56 課把德撲的機率與範圍語言搬到 PLO,今天要搬到另一個方向:橋牌這類同樣隱藏資訊、但允許夥伴之間用合法訊號溝通的牌類,資訊怎麼流動、怎麼被對手讀走,和德撲的下注資訊有哪些可以對照、哪些根本不同。先講自算結論(模型、抽樣與假設都寫在文內): 橋牌一手 13 張有 C(52,13) = 635,013,559,600 種;對手手上剩 5 張同花色時,3-2 分配 67.8%、4-1 為 28.3%,剩 7 張時 4-3 為 62.2%。Rule of 11 是恆等式(隨機 30 萬副牌驗證 30 萬次全中)。限制選擇(restricted choice)在「持兩張等價牌的防守者各 50% 隨機出」的假設下,後驗是 13/19 = 68.4%,防守者若有固定習慣只偏到 80% 就掉到 57.5%、完全固定則 52.0%。張數信號(奇偶)把「對家某花色張數」的不確定度從 2.18 位元壓到約 1.18 位元,剛好 1 位元。德撲的對照:一個河牌價值對詐唬的簡化模型裡,平衡下注只洩漏 0.468 位元(誠實下注洩漏 0.881),而且最差情況 EV 從 0.30 升到 0.45。台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
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零、先對帳:第 56 課的數字
第 56 課的精確數字我用 Python 重算:C(52,4) = 270,725、兩張必用的 C(4,2) × C(5,3) = 60、單同花組河牌前成同花 122,562 ÷ 1,712,304 = 7.16%、雙同花 14.3%、德撲同花牌 135,597 ÷ 2,118,760 = 6.40%、練習題的 SPR 84.5 ÷ 36 = 2.35 與 BTN 加注 3 × 3.5 + 5 = 15.5 bb,全部吻合。Monte Carlo 的勝率、牌型分布與花色加成,我這一輪沒有重跑,仍沿用昨天標示的抽樣誤差。昨天標為推論的三項(PLO 翻前範圍結構的三個差異、聽牌權益落在 25% 到 40%、堅果導向的牌力排序)依然是待驗:要驗證需要求解器的翻前頻率或手牌資料庫,我手上沒有,今天不改變它們的狀態。
一、橋牌的資訊從哪裡來:發牌、叫牌、出牌
橋牌四人兩隊,每人 13 張,全部牌發完。一手牌的組合數是 C(52,13) = 635,013,559,600,但真正決定打法的是「牌型」(各花色張數)。我用 Python 對花色張數分組精確計算(各花色選牌數相乘後加總,總和驗證等於 C(52,13)):
| 牌型 | 機率 |
|---|---|
| 4-4-3-2 | 21.6% |
| 5-3-3-2 | 15.5% |
| 5-4-3-1 | 12.9% |
| 5-4-2-2 | 10.6% |
| 4-3-3-3 | 10.5% |
| 6-3-2-2 | 5.6% |
| 4-4-4-1 | 3.0% |
| 三種平均牌型合計(4-3-3-3、4-4-3-2、5-3-3-2) | 47.6% |
大牌點(HCP,A 4、K 3、Q 2、J 1,全副 40 點)的平均恰好是 10,精確標準差 4.13;15 到 17 點占 10.1%,12 點以上占 34.8%。我再用 200 萬手隨機牌抽樣,算「平均牌型且 15 到 17 點」(常見的 1NT 開叫約定之一,各夥伴可以不同),頻率約 4.9%(標準誤約 0.015 個百分點),也就是夥伴開 1NT 這個動作攜帶 −log2(0.049) ≈ 4.35 位元的資訊(牌型 + 點數範圍同時收窄)。對照德撲:前 15% 的加注範圍,資訊量是 −log2(0.15) ≈ 2.74 位元;1,326 種起手牌的最大資訊量也只有 log2(1326) ≈ 10.4 位元,但德撲的加注範圍沒有人公告。
這是橋牌與德撲在訊號上最大的結構差異:橋牌的叫牌與信號約定是公開的。夥伴間的約定必須讓對手能查(約定卡、詢問、alert),秘密是每個人手上的牌;德撲沒有任何合法的夥伴通道,兩個人私下交換牌資訊是串通作弊,不是技術。橋牌另有一條管「意外訊號」的規定:夥伴的明顯猶豫、異常的速度、強調等「非約定資訊」屬於未授權資訊(unauthorized information),依我查到的 WBF 法規第 16 條,當事人不得選擇被這種資訊「明顯暗示」、而另有合理替代選項的叫牌或出牌。換句話說,橋牌把「訊號」切成可用的(約定、牌面)與不可用的(神情、節奏)。德撲的節奏與下注時間洩漏沒有這種限制,只受牌桌禮儀與平台規則約束,這也是德撲專欄讀牌與動作線推理的底層理由。(德撲專欄 · 讀牌與下注線推理有對應的動作推理框架。)
二、剩餘牌分布與空位:不完全資訊的基本算術
「對手手上剩 n 張某花色,怎麼分在兩家」是橋牌的核心機率,且全部是超幾何分布:未見的 26 張牌平分在兩家(每家 13 張),n 張同花色其中 k 張在西家的機率 = C(n,k) × C(26−n, 13−k) ÷ C(26,13)。我算出的結果(分配 a-b 為兩家持牌的組合,已合併左右對稱):
| 剩 n 張 | 最常見分配 | 其他分配 |
|---|---|---|
| 3 | 2-1:78.0% | 3-0:22.0% |
| 4 | 3-1:49.7% | 2-2:40.7%、4-0:9.6% |
| 5 | 3-2:67.8% | 4-1:28.3%、5-0:3.9% |
| 6 | 4-2:48.4% | 3-3:35.5%、5-1:14.5%、6-0:1.5% |
| 7 | 4-3:62.2% | 5-2:30.5%、6-1:6.8%、7-0:0.5% |
一個反直覺的結果:剩 4 張時,最「均勻」的 2-2 只有 40.7%,3-1 反而 49.7%;剩 6 張時,最均勻的 3-3 只有 35.5%,4-2 有 48.4%。「大致平分」這個直覺高估了均勻分配的機率,多數時候的事實是「略不均」。
**空位(vacant space)**是同一個機率隨資訊更新的方式。設你與 dummy 合手握 4 張黑桃,未見 26 張裡有 9 張黑桃、17 張其他花色;若叫牌或出牌顯示西家有 6 張黑桃,他剩 7 個位置放其他 17 張牌,東家有 3 張黑桃、剩 10 個位置。那麼某張特定的其他花色牌(例如紅心 Q)在西家的機率是 7 ÷ 17 = 41.2%,在東家 58.8%,而不是 50%。每一次「得知一家某花色的張數」,另一花色的牌分布就被位置數推擠。這與德撲的阻斷牌(blocker)是同一類計算:你持有或看到的牌,改變對手手上有什麼的機率,見德撲專欄 · 組合數與阻斷牌。
三、Rule of 11:一條有精確假設的恆等式
首攻慣例「從長套(四張以上)的第四大牌領出」下,領出的牌可以反推「其他三家」手上有幾張比它大的牌。推導很短:令牌點 A = 14、K = 13、……、2 = 2,一個花色比點數 r 大的牌共有 14 − r 張;首攻者持有 3 張比領出牌大的牌(第四大牌,上面還有三張),所以另外三家(夥伴、dummy、莊家)合起來持有 14 − r − 3 = 11 − r 張比它大的牌。我用 30 萬副隨機牌驗證:西家對最長的 4 張以上花色領第四大牌,這個數目 30 萬次全部等於 11 − r。這不是機率結果,是恆等式,所以重點在前提,不在數字。
用法:西家首攻黑桃 6,11 − 6 = 5。dummy 有 K、J(兩張比 6 大),你(東家)有 Q、9、8(三張),合計 5 張,所以莊家沒有任何一張比 6 大的黑桃,你可以放心用最低的大牌贏墩,不必浪費。注意莊家手上也看得到同樣的資訊:莊家看到自己與 dummy,也算得出你(首攻者夥伴)手上有幾張大牌。同一個約定的訊息對兩邊都是公開的,只是各自利用的角度不同。
前提失效的情形有三種:首攻不是第四大牌(例如從三張或兩張花色領,或從大牌連張領頭牌),則 11 − r 的結果不成立;同一花色可能也不是最長套;首攻者也可能故意打破約定(橋牌允許偶爾的非常規出牌,但夥伴關係的約定必須披露)。補充一個先驗數字:隨機一個花色,在「有 4 張以上」的條件下,恰好 4 張的機率 57.5%、5 張 30.1%、6 張以上 12.4%。這是未考慮首攻者「挑哪個花色領」的先驗,不是後驗。
四、限制選擇:出牌動作本身就是證據
假設你與 dummy 握 A、K 與大量小牌,缺 Q、J。你打出 A,西家跟出 Q。問題是 J 在東家,還是與 Q 同在西家(QJ 雙張或更長)。假設: 一、Q 與 J 的位置在西、東之間依剩餘位置數計權(未見 26 張,每家 13 張);二、西家只持其中一張時一定跟出那一張;三、西家同時持有 Q 與 J 時,以機率 q 跟出 Q、1−q 跟出 J(「等價牌」的選擇)。
計算:兩張都在西家的機率 C(24,11) ÷ C(26,13) = 0.24;Q 在西、J 在東 C(24,12) ÷ C(26,13) = 0.26。西家跟出 Q 的觀察機率:Q 在西、J 在東為 0.26 × 1,兩張都在西為 0.24 × q。後驗:
P(J 在東 | 西家出 Q) = 0.26 ÷ (0.26 + 0.24q) = 13 ÷ (13 + 12q)
| q(西家雙張時出 Q 的比例) | J 在東家的後驗 |
|---|---|
| 0.5(完全隨機) | 68.4% |
| 0.7 | 60.8% |
| 0.8 | 57.5% |
| 0.9 | 54.6% |
| 1.0(固定出 Q) | 52.0% |
這就是限制選擇原理的一個定量版本:持 QJ 的人跟出 Q 的機率只有一半,持單張 Q 的人是 100%,所以看到 Q 之後,「J 在另一家」的證據是 2 比 1 左右(嚴格算是 13 比 6 = 2.17,因為位置數讓 0.26 略大於 0.24)。而這個優勢完全取決於防守者的隨機化是否均勻:若他習慣性地跟出 Q,莊家就拿不到證據。德撲的對應物是第 55 課談過的混合策略:兩手在策略上等價的詐唬牌(例如不同花色的同點同花牌),選哪一手是必須「紀律性隨機」的決策;固定偏好(總用同一個花色當詐唬)就是限制選擇的可剝削版本。
五、防守信號:態度、張數與花色偏好
三類常見的防守信號,都是用出牌的大小傳遞一位元左右的資訊,以下是常見標準,各夥伴可以自行約定相反:
態度(attitude)信號表達「我要不要你繼續打這個花色」,在夥伴首攻時,用大牌(例如 8 或 9)鼓勵、小牌勸阻。張數(count)信號表達「我這個花色是奇數或偶數張」,常見為先大後小(high-low)表示偶數張。花色偏好(suit preference)信號則是在「繼續這個花色不是答案」的位置,用牌的高低暗示夥伴改打哪個花色(高牌請你轉較高階的花色,低牌請你轉較低階的花色,排除王牌與已打的花色)。
我用張數信號做一個量化。設 dummy 有 4 張、你(東家)有 3 張某花色,未見 6 張分布在西家與莊家。西家有 k 張的機率 = C(6,k) × C(20, 13−k) ÷ C(26,13),k = 0 到 6 分別為 0.75%、7.27%、24.22%、35.53%、24.22%、7.27%、0.75%,信息熵 H = 2.18 位元。若西家依約定用先大後小告訴你「偶數張」:偶數(k = 0、2、4、6)的後驗是 1.5%、48.5%、48.5%、1.5%,熵 1.19 位元;奇數(k = 1、3、5)的後驗是 14.5%、71.0%、14.5%,熵 1.16 位元。平均後驗熵 1.18 位元,資訊增益剛好 1.00 位元(因為奇偶近乎五五波)。若信號有一部分是假的(假設以機率 d 翻轉奇偶),資訊量是 1 − H(d):
| 翻轉率 d | 信號洩漏的資訊量(位元) |
|---|---|
| 0 | 1.000 |
| 0.10 | 0.531 |
| 0.25 | 0.189 |
| 0.50 | 0 |
橋牌的特色是同一個信號,夥伴和對手同時讀到。莊家也看得到你的先大後小,也能用來決定要往哪一家做 finesse。簡化模型:對夥伴的決策價值是 Vp、對莊家的價值是 Vd(各以「對了加、錯了減」的墩數計,兩邊都是 50% 先驗的二選一),觀察者知道翻轉率 d 並照信號行動,他的期望收益是 V(1 − 2d)。淨效果 = (Vp − Vd)(1 − 2d)。Vp = 1 墩、Vd = 0.4 墩,誠實打(d = 0)淨 +0.6 墩,d = 0.10 為 +0.48,d = 0.25 為 +0.30,d = 0.5(等於不發信號)為 0。若這個信號對莊家比對夥伴更有用(Vp = 0.4、Vd = 1),淨值變成 −0.6 墩,正確的做法是不發、或隨機化。這個模型有明確限制:兩個決策是對稱二選一、價值是線性的、莊家知道你的 d,三者都是簡化;真實情況常常是夥伴只需要一個信號就能避免災難,值遠大於線性模型。但它能回答一個問題:什麼時候該發信號。答案是夥伴從中得到的好處大於對手。
六、德撲的對照:下注對所有人公開,沒有夥伴
德撲的下注也是訊號,但沒有「夥伴」:Vp = 0,每一位元都只對對手有用。這看起來會導向「不洩漏任何資訊」(d = 0.5),但德撲的下注還有另一個作用:你要對手跟注價值牌,這要求下注有可信度,所以下注必須帶資訊。用一個河牌簡化模型量化:
假設: 底池 1、下注 1(底池大小)。你的範圍 30% 價值牌、70% 空氣牌;對手每次都持有一手「抓詐唬牌」,贏空氣、輸價值牌。你的 EV 以你拿到的底池籌碼計:不下注時價值牌拿 1、空氣牌拿 0(基準 0.30)。你下注所有價值牌,並讓空氣牌中的比例 x 去詐唬。價值牌被跟注得 2、被棄牌得 1;詐唬被跟注得 −1、被棄牌得 1。因此對「永遠跟注」的 EV = 0.6 − 0.7x,對「永遠棄牌」的 EV = 0.3 + 0.7x。資訊量是下注或不下注這個動作對你手牌類型(價值或空氣)的互信息。
| 詐唬比例 x | 詐唬占全部手牌 | 下注頻率 | 下注中的價值占比 | 洩漏資訊(位元) | EV vs 永遠跟注 | EV vs 永遠棄牌 | 最差情況 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 30% | 100% | 0.881 | 0.60 | 0.30 | 0.30 |
| 0.10 | 0.07 | 37% | 81.1% | 0.622 | 0.53 | 0.37 | 0.37 |
| 3/14(平衡) | 0.15 | 45% | 66.7% | 0.468 | 0.45 | 0.45 | 0.45 |
| 0.50 | 0.35 | 65% | 46.2% | 0.234 | 0.25 | 0.65 | 0.25 |
| 1.00 | 0.70 | 100% | 30% | 0 | −0.10 | 1.00 | −0.10 |
平衡點 x = 3/14 剛好對應德撲專欄 · 平衡與 GTO與第 55 課的結論:下注 s = 1 時詐唬占下注範圍 1/3(0.15 ÷ 0.45),價值對詐唬 2 比 1,對手跟或棄牌 EV 相同。它在這個模型裡不是洩漏最少(x = 1 洩漏 0,但最差情況 −0.10),而是讓最差情況最大的點:洩漏 0.468 位元、保證拿 0.45,比誠實下注的 0.30 高 0.15 個底池。這是橋牌與德撲的差別的定量版本:橋牌信號洩漏的資訊有夥伴補償,所以願意付一定的洩漏;德撲沒有夥伴,洩漏的代價完全由你承擔,所以要把洩漏壓到「對手無法穩定剝削」的最小值,而不是歸零。
🧠 為什麼是這樣
底層原理是不完全資訊遊戲裡,每個動作都同時是決策與訊號,差別只在誰有權讀、讀的人能不能用。橋牌把這件事制度化:約定公開、牌面公開、夥伴猜測的範圍收窄到可以用機率計算;德撲把約定與機率留給各人自己建立,所以「下注線」「尺寸」「時間」都是未公告的訊號,讀牌與反讀牌是技術的一部分。兩者共享的數學是同一組:超幾何分布與空位算「剩什麼牌」,貝葉斯更新算「看到動作後變成什麼」,資訊量算「這個動作洩漏多少」,最差情況 EV 算「洩漏多少以內不會被剝削」。
邊界與失效條件很明確。第一,橋牌的分配機率假設牌是均勻隨機發的,現場常有洗牌或牌型偏差的疑慮,但實務上多數賽事用電腦發牌;人類洗牌的偏誤我沒有資料。第二,限制選擇的 2 比 1 假設防守者「雙張時 50% 隨機」,實際強手會刻意打破這個隨機,出牌習慣若有偏好,證據就削弱,表中的 q 就是這個敏感度。第三,信號模型的 Vp 與 Vd 是我設的、線性的、對稱的,不代表真實的墩數差。第四,德撲的河牌模型只有一街、對手只有一種手牌、不能反加注,真實牌局的平衡是整棵博弈樹,不是一個數字;它是對第 55 課公式的一次具體化,不是求解結果。第五,所有 Monte Carlo 與精確值都是我自己的 Python 計算,橋牌法規條文是以網路搜尋摘要為準、沒有逐字核對全文。
資金面的立場:橋牌與德撲都有變異,本課的機率只告訴你「平均而言」,單次結果可以和模型完全相反(2-2 分配 40.7% 表示 59.3% 的時候不是)。若在有金錢的場合練習,只用輸得起的錢,銀彈與停損先寫好;在能不看表算出剩牌分布與平衡比例之前,不要用真錢驗證。台灣沒有合法的現金撲克賭場,實體牌局與網路平台的合法性請自行確認,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
✍️ 今日練習
10 到 20 分鐘,一副牌、紙筆與計算機,不必進賭場。
- 實測牌型。 洗牌後把 52 張全部發成四手(每手 13 張),攤開記牌型;重複 5 次共 20 手,記每手牌型是否為平均牌型(4-3-3-3、4-4-3-2、5-3-3-2)。與 47.6% 對照,並算出你的平均牌型次數與期望 9.5 次差幾個標準差(標準差 = √(20 × 0.476 × 0.524) ≈ 2.23)。
- Rule of 11 與限制選擇各一題。 西家首攻紅心 5,dummy 有 Q、10、7,你有 A、9。算莊家有幾張比 5 大的紅心。再算:若西家雙張持 Q、J 時出 Q 的比例是 0.8,「西家出 Q」之後 J 在東家的機率;並求要讓後驗只剩 60%,q 要多少。
- 德撲簡化模型換數字。 同樣底池 1、下注 1,但價值牌 40%、空氣牌 60%。求平衡詐唬量、保證 EV、下注頻率、洩漏的位元數,並與「不詐唬」比。
自我檢查
- 第 1 題:期望每 20 手有 9.5 次平均牌型,多數合理結果落在 7 到 12 次;4-4-3-2 約 4.3 次、4-3-3-3 約 2.1 次。若結果離期望超過 2 個標準差(少於 5 或多於 14),先檢查洗牌是否充分,不是模型錯。
- 第 2 題:11 − 5 = 6;dummy 3 張 + 你 2 張 = 5,莊家恰有 1 張比 5 大的紅心。13 ÷ (13 + 12 × 0.8) = 13 ÷ 22.6 = 57.5%;要 60% 需 13 ÷ (13 + 12q) = 0.6,13 + 12q = 21.67,q = 0.722。
- 第 3 題:平衡時詐唬量 = 價值量 ÷ 2 = 0.20,占空氣牌 1/3;下注頻率 0.6;保證 EV = 1.5 × 0.4 = 0.60(不詐唬只有 0.40);洩漏 = H(0.4) − 0.6 × H(2/3) = 0.971 − 0.551 = 0.420 位元,低於誠實下注的 0.971。
🔗 延伸
- 德撲專欄 · 平衡與 GTO——今天的河牌模型就是它的 MDF 與 alpha 的一個具體化。
- Wikipedia · Principle of restricted choice——限制選擇原理的條目,含 2 比 1 的典型例子;本文的後驗是我用位置數計權後自算的版本。
- Wikipedia · Rule of 11——橋牌 Rule of 11 的說明。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 57 課:其他牌類的不完全資訊與訊號(橋牌等)。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注或買入建議):
- 橋牌一手牌 C(52,13) = 635,013,559,600;對手剩 n 張某花色時,k 張在西家的機率 = C(n,k) × C(26−n, 13−k) ÷ C(26,13)
- 我手上的牌型是 [...],對手剩 [...] 張某花色,我想算各種分配的機率
- 西家首攻 [...](第四大牌),dummy 有 [...],我有 [...],我想用 Rule of 11 算莊家有幾張比首攻牌大
- 限制選擇:缺 Q、J,西家跟出 Q,我假設他雙張持 QJ 時出 Q 的比例是 q = [...]
- 德撲簡化模型:底池 1、下注 [...],價值牌 [...]%,空氣牌 [...]%,我想算平衡詐唬量與洩漏的資訊量
請依序回答:
1. 逐步重算我的分配機率、Rule of 11、限制選擇的後驗(13 ÷ (13 + 12q))與河牌模型的平衡 EV,指出算錯的地方。
2. 說明 Rule of 11 的前提(第四大牌首攻、同一花色)何時失效,以及莊家如何同時利用同一個信號。
3. 說明張數信號的資訊量為何是 1 − H(d)(d 為翻轉率),以及「夥伴得益大於對手得益才發信號」這個淨值公式的假設。
4. 比較橋牌的公開約定與德撲的未公告下注訊號:各自能合法用什麼、不能用什麼(例如橋牌的未授權資訊與德撲的串通)。
5. 把你「確定的」「推論的」「不確定的」分開列。
每個數字請標明「出處」或「這是假設」,不要給我下注、買入或注級建議,也不要編造研究、連結或數據。