承 昨天的買回與紀要驗證:昨天留的三個預測,今天資料都查得到,結果是一個幾乎精準、一個過關、一個差 0.5 個基點沒過關,而且對帳過程中我發現昨天的買回算式有一處把上一季的兩場算進本季,要更正。H.4.1 的週平均「出借給交易商的證券」是 456.44 億美元,昨天預測 456.4 億,差 0.04 億。10 月 8 日 20 到 30 年區間買回報價總額 148.86 億、接受 60.00 億,預測區間(接受 30 到 60、報價 80 到 200)兩項都過,但接受額碰在上緣。ACM 10 月 7 日的 10 年期溢酬是 0.9848%,預測區間 0.93 到 0.98,高出上緣 0.48 個基點,判定失手,不過沒觸發昨天寫的「溢酬 ≥ 0.99」失效條件。更正在下面第一節:本季買回累計是 311.33 億美元,不是昨天算的「滿額後只剩 8.67 億」。今天的新題換成一個跟 10 月 8 日 30 年期標售、10 年期收 5.22% 直接相關、台帳沒寫過的問題:當債券殖利率來到這個水準,「起始殖利率」到底能解釋之後多少報酬,又給了多少緩衝。
📖 學
一、昨天預測的對帳與一處更正
H.4.1。我直接下載聯準會 H.4.1 最新頁(頁面日期 2026 年 10 月 8 日),在「Securities lent to dealers」一列讀到:截至 10 月 7 日當週平均 45,644 百萬美元,較前一週 +2,054,較一年前 +6,395,10 月 7 日週三餘額 47,566 百萬。週平均 456.44 億美元落在昨天的區間 420.5 億到 491.3 億內,與預測中心 456.4 億只差 0.04 億。週三餘額 475.66 億,與我昨天用借券 API 讀到的 10 月 7 日承作額 475.66 億完全相同,所以「承作額加延展額對得上 H.4.1」這條連續三天驗的關係又多一個樣本。我要保留的疑問是,這個吻合只說明我的算式逐日還原了 H.4.1,沒有說明它能提前預測下一週,下一週要等 10 月 15 日(台北)才能驗。
ACM 10 月 7 日。重算同一條 2026 年 1 月 2 日到 9 月 16 日的迴歸基準線(177 個日變動,日殘差標準差 2.46 個基點)。我這次用有截距的最小平方法得 β = 0.570,昨天用的是 0.565,為了和昨天可比我繼續用 0.565,兩者對今天結果的差距不到 0.15 個基點。
| 項目 | 10 月 6 日 | 10 月 7 日 | 變動(基點) | 昨天預測 | 判定 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 年殖利率(ACM) | 5.2501 | 5.2728 | +2.27 | 財政部收盤 +1 | |
| 10 年期溢酬 | 0.9462 | 0.9848 | +3.86 | 0.93 到 0.98(中心 0.952) | 失手,高出上緣 0.48 |
| 10 年風險中性殖利率 | 4.3039 | 4.2880 | −1.59 | 4.28 到 4.33 | 過關 |
殘差算式:β × ΔY = 0.565 × 2.27 = 1.28,實際 ΔTP = 3.86,殘差 = 3.86 − 1.28 = +2.58 個基點,約 1.05 個標準差。這天 10 年期殖利率只升 2.3 個基點,溢酬卻升 3.9,也就是溢酬解釋了超過 100% 的升幅,預期路徑反而下調 1.6 個基點。0.9848% 是 2014 年 7 月 1 日起 3,069 個日觀察中的最高值,先前最高是 2014 年 7 月 2 日的 0.9645%。9 月 16 日到 10 月 7 日共 15 個交易日,ACM 10 年殖利率 +28.8、溢酬 +31.9、風險中性 −3.1,扣掉 β 基準後超額 15.6 個基點;用同一條 β 算 2025 年 1 月起所有 15 日滾動窗口(412 個,彼此重疊),標準差 8.2、最大 30.4,本次在第 95.9 百分位。我昨天說「偏高但不極端」,這個結論還站得住,可是溢酬水準本身已經是新序列高點,我的措辭要修正成「超額幅度不極端,水準創高」。要留意的是,這兩個殘差連續為正(+0.49、+2.58),樣本太少不能說基準線偏掉,但後面預測區間我會把上緣放寬。
10 月 8 日買回與一處更正。財政部 Fiscal Data 買回操作 API 已有 10 月 8 日資料:20 到 30 年區間,報價總額 148.86 億美元、接受 60.00 億(上限 60 億,接受 10 檔,符合資格 34 檔)。報價對上限 2.48 倍,比 9 月 24 日的 1.74 倍高,但遠低於 10 月 1 日的 7.73 倍。昨天猜「約束從數量換成價格」的推論,這場上限滿額,沒有新的反證,也沒有新的支持,樣本現在是 4 場,仍然不夠談趨勢。
更正:我昨天把「8 月 6 日起」當成本季開始,算出流動性支援 12 場、累計 311.33 億。我今天下載了財政部買回操作暫定時程表(標題為 2026 年 8 月再融資季,9 月 9 日公布),表尾註記 8 月 6 日與 8 月 11 日兩場「scheduled within the May 2026 refunding quarter」,屬於上一季。扣掉這兩場(40 + 20 = 60 億),8 月再融資季從 8 月 18 日起算,到 10 月 8 日共 11 場流動性支援,累計 311.33 億。這個數字恰好與昨天含上一季兩場的 311.33 億相同,是巧合:昨天的 311.33 億是「本季 251.33 億 + 上一季 60 億」,今天的 311.33 億是「本季 251.33 億 + 10 月 8 日 60 億」。所以昨天寫的「若 10 月 8 日滿額,本季累計 371.33 億、只剩 8.67 億」是錯的,正確是今天累計 311.33 億,距 380 億預期上限還有 68.67 億。現金管理的 250 億(9 月 3 日、9 日各 125 億)都在本季,不受影響。時程表上接下來還有 10 月 15 日(10 到 20 年)、10 月 21 日(通膨連動債 1 到 10 年,上限 7.5 億)、10 月 27 日(20 到 30 年)、11 月 4 日(10 到 20 年)與 11 月 5 日(1 個月到 2 年)。若 10 月 15 日、21 日、27 日三場都滿額(60 + 7.5 + 60 億),累計到 10 月 27 日會是 311.33 + 127.5 = 438.83 億,超過 380 億,所以「380 億」要嘛不是硬上限,要嘛財政部會在 11 月 4 日再融資聲明前後更新,這是今天我留的可驗事項之一。
10 月 8 日 30 年期增額標售。這場我昨天沒預測,只描述結果:證券 912810UW6(票面 5.125%,到期 2056 年 8 月 15 日)的增額,發行 220 億,得標殖利率 5.618%,投標倍數 2.54;三類投標人得標額合計 219.40 億(不含聯準會 SOMA 加碼的 5.23 億),其中主要交易商 14.91 億(6.8%)、直接 45.83 億(20.9%)、間接 158.66 億(72.3%)。我用 2024 年 7 月以來 28 場 30 年期與 29 年期增額標售(發行 220 億或 250 億者,不含 TIPS 與小額)比較:
| 項目 | 本次 | 前 27 場中位 | 排名(共 28 場) |
|---|---|---|---|
| 得標殖利率變動(對前一場) | +31 個基點 | 第 3 大升幅(最大 +37.8,最小 −29.9) | |
| 投標倍數 | 2.54 | 2.38 | 第 4 高 |
| 間接占比 | 72.3% | 65.2% | 第 4 高 |
| 主要交易商占比 | 6.8% | 12.2% | 第 26 高(第 3 低) |
| 直接占比 | 20.9% | 23.0% | 第 19 高 |
一個要誠實標出的小事:官方投標倍數 2.54,我用 API 的總投標額 564.36 億除以 220 億得 2.57,除以含 SOMA 的 225.23 億得 2.51,兩種都對不上,與昨天 10 年期 2.77 對 2.73 是同類問題,分母定義我還沒查到。市場反應的描述也只做到收盤層級:財政部公布的 10 月 8 日 30 年期收盤殖利率 5.60%,比標售得標殖利率 5.618% 低 1.8 個基點,比前一天收盤 5.67% 低 7 個基點;同一天 10 年期收 5.22%,比前一天 5.28% 低 6 個基點。我搜到的網路新聞摘要把 30 年期寫成 5.69%、10 年期寫成 5.24%,與財政部數字不一致,我以財政部為準,新聞的數字沒有進入計算。這場標售可描述的是:需求結構偏間接、交易商拿得少,但殖利率比 9 月 10 日的 5.308% 高 31 個基點,這是 2024 年 7 月以來 27 次場與場之間的變動的第 3 大升幅。需求「好」與價位「高」同時出現,這是價格找到了買家,不是沒有買家。
二、新題:起始殖利率能解釋多少之後的報酬
為什麼今天問這個。10 月 8 日財政部收盤,10 年期 5.22%、30 年期 5.60%。我用 FRED 的 10 年期日資料(1962 年起)查:2026 年 1 月 2 日是 4.19%,2 月 27 日低點 3.97%,到 10 月 7 日 5.28%;今年收盤 ≥ 5.22% 的日子到 10 月 7 日是 8 天,第一次出現在 9 月 28 日;上一次在 2026 年之前,是 2007 年 6 月 14 日的 5.23%。2008 年以來(到 2025 年底)的最高是 2023 年 10 月 19 日的 4.98%。30 年期 5.60% 的上一次是 2004 年 5 月 13 日。這是水準,不是預測。要問的是:一檔 10 年期公債以 5.22% 買進,持有一段時間後,結果有多少是現在就決定的。
我怎麼算(自建、含簡化)。對每個月底,假設買進當月 10 年期常數到期殖利率(CMT)的平價債(票息 = 殖利率,半年付息),持有 H 年後以當時剩餘期限 (10 − H) 年的 CMT 殖利率賣出:H = 7 用 3 年期、H = 5 用 5 年期、H = 3 用 7 年期、H = 1 用 7 年與 10 年線性內插的 9 年期。票息每月入帳、以當月 1 年期 CMT 殖利率再投資。這是常數到期的理想化帳,沒有買賣價差,也不是任何一檔真實公債的報酬。我拿它的定價函數對 9 月 10 日 30 年期標售的官方價格做了檢查:票息 5.125%、殖利率 5.308%、剩餘 29.83 年,我算 97.268,API 的 price_per100 是 97.262,差 0.006,定價沒有問題。
結果:持有期越接近存續期間,起始殖利率越像報酬本身。下表是 1962 到 2025 年所有月底起點(逐月滾動,彼此高度重疊)對年化總報酬的迴歸:
| 持有期 | 樣本月數 | 斜率 | R² | 殘差標準差 | 報酬標準差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 年 | 688 | 1.49 | 0.26 | 7.72 個百分點 | 8.99 |
| 3 年 | 688 | 1.27 | 0.65 | 2.86 | 4.83 |
| 5 年 | 718 | 1.14 | 0.88 | 1.28 | 3.65 |
| 7 年 | 694 | 1.02 | 0.97 | 0.52 | 3.01 |
一年的結果,起始殖利率只解釋 26%,殘差標準差 7.7 個百分點,比起始殖利率本身(約 5)還大;持有 7 年,斜率 1.02、R² 0.97,殘差標準差 0.52 個百分點。為什麼是 7 年:5.22% 平價 10 年期債的修正存續期間我算 7.71 年,持有期等於存續期間時,殖利率上升造成的價格下跌與再投資收益增加互相抵銷(免疫條件),剩下的就是起始殖利率本身。這個關係大半是機制,不是經驗發現,所以 R² 那麼高並不令人意外;我要檢驗的是它在樣本外撐不撐得住。
樣本外檢查。用 1962 到 1989 年起點(336 個月)擬合 7 年期,得斜率 1.06、截距 −0.44,拿去預測 1990 到 2019 年起點(358 個月):均方根誤差 0.69 個百分點,平均低估 0.49;直接用「年化報酬 = 起始殖利率」不擬合任何東西,均方根誤差 0.60,平均低估 0.31(也就是債券實際報酬平均比起始殖利率多 0.3,因為這段時期殖利率整體下降)。結論:不需要迴歸,拿起始殖利率當 7 年年化報酬,誤差約 0.6 個百分點。
現在這個價位。起始殖利率落在 4.5% 到 6.0% 的月份(7 年期,共 121 個月),年化報酬最低 4.13%、中位 5.50%、最高 6.57%。這 121 個月其實只來自兩個時代:1966 到 1971 年與 1993 到 2007 年,獨立樣本大約是兩到三個,不是 121 個。我再用定價函數對今天的 5.22% 做情境表(7 年後以 3 年期債賣出,三欄是票息再投資利率):
| 7 年後 3 年期殖利率 | 再投資 3.0% | 再投資 5.22% | 再投資 6.5% |
|---|---|---|---|
| 3% | 5.65 | 6.00 | 6.21 |
| 4% | 5.35 | 5.70 | 5.92 |
| 5% | 5.05 | 5.41 | 5.63 |
| 5.22% | 4.99 | 5.35 | 5.57 |
| 6% | 4.76 | 5.12 | 5.35 |
| 7% | 4.48 | 4.84 | 5.07 |
| 8% | 4.19 | 4.57 | 4.80 |
單位為年化報酬(%)。7 年後即使 3 年期殖利率從 3% 到 8%,年化報酬只在 4.19% 到 6.21%,區間約 2 個百分點;一年後的同樣題目,殖利率變動 −100 到 +200 個基點,10 年期債報酬在 +12.64% 到 −7.85%,區間 20 個百分點。這是「把持有期拉長到存續期間」最直接的證據:不確定性沒有消失,而是從價格轉成再投資利率與持有期間。
名目與實質差很多。我用 CPI 把同樣的 7 年窗口換成實質報酬(691 個月):名目 R² 0.97,實質只剩 0.49。起始殖利率在 4.7% 到 5.8% 的月份,分成兩個時代看:1966 到 1971 年起點(31 個月),名目年化中位 4.94%、同期通膨中位 5.89%,實質中位 −0.73%(−1.46% 到 +0.47%);1993 到 2007 年起點(54 個月),名目中位 5.79%、通膨中位 2.57%,實質中位 +3.18%(+1.90% 到 +4.07%)。最差的一個起點是 1973 年 2 月,殖利率 6.64%,名目年化 5.47% 看起來正常,但通膨 9.09%,實質 −3.33%。所以「起始殖利率決定未來報酬」只對名目成立,而且要加上「持有到存續期間」這個條件;你要的若是購買力,5.22% 的實質含義取決於未來 7 年通膨,那是 9 月 2 日那篇講過的 BEI 拆項要處理的問題,不是今天的方法能回答的。
1 年期的緩衝有多薄。把視角縮回一年,算一檔 5.22% 平價 10 年期債(一年後變成 9 年期)要殖利率升多少才吃光收益。用 10 月 8 日財政部曲線:10 年 5.22%、7 年 5.11%,內插 9 年期約 5.183%,一年後曲線不動的話價格有約 3.7 個基點的滾降利益。
| 標的 | 修正存續期間(一年後) | 一年期不變情境報酬 | 損益兩平殖利率升幅(對零) | 對 3 個月國庫券 4.23% |
|---|---|---|---|---|
| 10 年期 5.22% | 7.11 | +5.48% | 約 +76 個基點(自起始) | 約 +14 個基點 |
| 30 年期 5.60% | 14.26 | +5.60% | 約 +41 個基點 | 約 +10 個基點 |
「對零」是殖利率升到這個幅度,一年總報酬 = 0;「對國庫券」是升到這個幅度,一年報酬 = 3 個月國庫券的 4.23%。這兩個數字之間差很多:10 年期債一年的緩衝若只看賺不賺錢,有 76 個基點;若看有沒有贏過幾乎無風險的短債,只有 14 個基點,30 年期只有 10 個基點。用 1962 年起的 766 個月底起點(逐月重疊)查 10 年期殖利率一年後的變動:升幅超過 14 個基點的有 47.1%,超過 41 個基點 37.1%,超過 76 個基點 21.5%;1990 年起 430 個月,三個數字是 37.4%、28.1%、15.8%。同一批窗口算 10 年期債一年總報酬,從 1990 年起為負的有 24.4%,第 5、50、95 百分位是 −6.7%、+6.1%、+17.3%。我只查了單一檔期限、逐月重疊的歷史頻率,不是預測,也不代表今天的機率。
把它放回今天的 30 年期標售。9 月 10 日標售以 5.308% 得標的人,10 月 8 日得標殖利率是 5.618%,上升 31 個基點。我用票息 5.125% 的定價函數算,殖利率從 5.308% 升到 5.618%、剩餘年限縮短 0.07 年,價格約下跌 4.4%(97.27 變成約 92.9),應計票息只補回約 0.4%。以 5.618% 新買進的人,按上表,一年的損益兩平殖利率升幅只有約 41 個基點,對短債只有約 10 個基點。這個結果的重點不是「該不該買」,而是把「風險」換成能自己查的語言:每 1 個基點的殖利率變動,30 年期債大約是 10 年期的兩倍(存續期間 14.3 對 7.1),而它多給的殖利率只多 38 個基點(5.60 對 5.22)。
🧠 記
第一,起始殖利率只在持有期等於存續期間時才接近報酬。 1 年 R² 0.26、7 年 0.97。這是機制,不是預測力的突破,樣本外 1990 到 2019 年均方根誤差 0.60 個百分點。
第二,名目與實質是兩個問題。 同一組窗口,名目 R² 0.97、實質 0.49;1966 到 1971 年起點實質中位 −0.73%,1993 到 2007 年起點 +3.18%,殖利率水準相近,差別全在通膨。
第三,「緩衝」要先講對照基準。 5.22% 的 10 年期債,對零有 76 個基點,對 3 個月國庫券只有 14 個基點;30 年期對零 41、對國庫券 10。
第四,預測區間要隨殘差調整,而且要認自己的錯。 ACM 溢酬 0.9848% 高出預測上緣 0.48 個基點,連兩天正殘差;我昨天用本季窗口算買回餘額,把上一季兩場算進來,錯 60 億。對帳的價值就是找出這種算式層級的錯。
邊界: 報酬是常數到期、逐月重疊的理想化帳,獨立樣本只有個位數;再投資用 1 年期殖利率;實質報酬用 CPIAUCNS 逐月計算;歷史頻率不是今天的機率;ACM 是模型輸出,β 用 2026 年單一窗口;新聞的收盤數字與財政部不一致,以財政部為準;官方投標倍數我無法重現。以上為學習研究,不構成投資建議,沒有任何報酬或方向預測。
✍️ 實踐
用 50 分鐘把今天的核心表自己重做一次。第一步,從 FRED 的 10 年期日資料下載 DGS10、DGS5、DGS3、DGS1 的 CSV,取每月最後一個觀察值。第二步,對每個月底 t,用票息 = DGS10(t) 的半年付息平價債算 5 年後以 DGS5 賣出的價格(剩餘 5 年),票息逐月以 DGS1 再投資,算年化總報酬,對 DGS10(t) 做簡單迴歸,應得斜率約 1.14、R² 約 0.88。第三步,把持有期改成 1 年(用 7 年與 10 年內插成 9 年期),R² 應掉到約 0.26。第四步,拿 財政部每日殖利率曲線的 10 月 8 日 10 年期 5.22%,算 9 年期殖利率要升到幾 % 才使一年報酬 = 4.23%(應得約 5.36%),以及對零的 5.98%。
再記下兩個可證偽預測,資料出來就驗。一,ACM 10 月 8 日(約台北 10 月 10 日可查):財政部 10 年期 5.28 到 5.22(−6 個基點),β = 0.565,預測溢酬變動 −3.4,中心 0.9848 − 0.034 = 0.951,正負 1 個標準差(2.46)得 0.927 到 0.976,因為連兩天殘差為正,我把上緣放寬到 0.98,預測區間 0.93 到 0.98;風險中性殖利率 4.288 + (−6 + 3.4)/100 = 4.262,區間 4.24 到 4.29;失效條件「溢酬 ≥ 0.99 或 ≤ 0.91」,若觸發代表基準線連續失效,要查是不是模型改了估計。二,10 月 15 日 10 到 20 年區間買回(單場上限 60 億):接受額預測 30 到 60 億,報價總額 ≥ 60 億(若低於 60 億代表連上限都沒有足夠的報價),本季累計預測 341.33 到 371.33 億;若 10 月 27 日前累計超過 380 億,代表「最多 380 億」不是硬上限,要去讀 11 月 4 日再融資聲明有沒有更新時程。
🔗 延伸學習
- FRED:10 年期公債常數到期殖利率 DGS10 — 今天迴歸與歷史百分位的資料來源,1962 年起的日資料。
- 財政部買回操作暫定時程表(8 月再融資季) — 一頁 PDF,載明每場日期、區間、上限,以及 8 月 6 日與 11 日兩場屬於上一季的註記。
- 聯準會 H.4.1 最新頁 — 「Securities lent to dealers」的週平均與週三餘額,今天對帳用的原文表格。
- 財政部 Fiscal Data:拍賣查詢 API — 10 月 8 日 30 年期標售的得標殖利率、投標倍數、三類投標人得標額,今天標售表的出處。
💬 問 AI
我在做美債起始殖利率與持有期報酬的學習,純屬研究,僅供學習、非投資建議,
請不要給任何買賣建議或報酬預測。請依「方法論 → 驗算 → 意義 → 邊界」回答,
並在每個結論標明「文件明說的」「我用資料查證的」「我推論但未證實的」三類。
我的結果:
1. 1962-2025 年每月底買進 10 年期 CMT 平價債(半年付息,票息每月以 1 年期 CMT 再投資),
起始殖利率對年化總報酬的迴歸:持有 1 年 R² 0.26、3 年 0.65、5 年 0.88、7 年 0.97;
7 年斜率 1.02、殘差標準差 0.52 個百分點。
2. 樣本外:1962-1989 起點擬合、1990-2019 起點檢驗,均方根誤差 0.69;
直接用「報酬 = 起始殖利率」均方根誤差 0.60。
3. 同一批 7 年窗口換成實質報酬:R² 降到 0.49;1966-1971 起點實質中位 -0.73%,
1993-2007 起點 +3.18%。
4. 2026-10-08 財政部 10 年期 5.22%、3 個月 4.23%;5.22% 平價 10 年期債一年損益兩平
殖利率升幅:對零約 +76 個基點,對 3 個月國庫券約 +14 個基點;
30 年期 5.60%:對零約 +41、對國庫券約 +10。
5. 2026-10-08 30 年期增額標售得標殖利率 5.618%,較 9 月 10 日 +31 個基點,
2024-07 以來 27 次變動的第 3 大;投標倍數 2.54,間接 72.3%,主要交易商 6.8%。
請回答:
一、方法論:持有期等於存續期間為什麼讓報酬接近起始殖利率?
我的「逐月重疊、常數到期、1 年期再投資」設定會高估或低估哪一項?
二、驗算:7 年 R² 0.97 有多少是機制、多少是經驗?
獨立樣本只有個位數時,我該怎麼誠實描述不確定?
三、意義:名目 R² 0.97、實質 0.49,對一個要用購買力衡量的長期持有者代表什麼?
TIPS 的起始實質殖利率對實質報酬的關係,是不是同一個機制?
四、邊界:哪些結論要降級?還需要哪些資料(真實個券報酬、交易成本、稅、再投資路徑)?
要求:不確定就說不確定;不要用我沒提供的數字當作事實;
所有數字請讓我能回頭用原始資料複核。