昨天的易經留下的待驗預測是：孔穎達《尚書正義·微子》疏只處理箕子的名字，不處理被囚的時序。今天查了卷十，預測沒被推翻：疏講名字的那句是「司馬彪注《莊子》云：『箕子名胥餘。』不知出何書也」，頁面摘要說疏中找不到「囚」「奴」「佯狂」與「觀兵」前後的明說。這是陰性回報，只能算「摘要工具沒找到」，不等於我逐字讀完整頁，所以結論限於此。至此箕子時間線連續寫了五天，三個來源的結論一致：《序》「觀兵之後箕子才被囚」的先後，在孔疏、《史記》與王寧文章裡都沒有直接支撐。這條線今天收筆，轉到另一個方向：占筮的算法本身。
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來源與今天的工具狀況
今天用到的材料有四塊。一是中國哲學書電子化計劃的《繫辭上》（頁面標示底本為《武英殿十三經注疏》本《周易正義》），工具回報的是英文對照那一欄，所以我只能確認「某句存在、在第九章」，個別字詞靠搜尋結果的中文引文。二是維基文庫《周易正義》卷七之八（頁面標題「周易正義/07.08」，繫辭上卷七之八）。三是維基文庫《原本周易本義（四庫全書本）》卷末上，裡面的「明筮」一節是四言韻文，頁面開頭只標「宋 朱熹 撰」，沒有單獨標明這一節的作者，我沒有查證它是不是朱熹自己的文字。四是維基文庫《易學啟蒙通釋（四庫全書本）》全覽的「考變占第四」。第四塊要注意：「通釋」是後人在朱熹《啟蒙》上做的疏解本，頁面裡的規則句是否與朱熹原書逐字相同，我沒有核對。全部都是透過摘要工具讀的，引文只用短引。另外有一個工具失敗：《周易集解》卷十四頁面的注家名單，工具回的名字明顯錯亂（出現「幽寶」「崔覲」等），我不採用，也沒有從《集解》取任何引文。
文本：大衍之數五十與其用四十有九
搜尋結果給出的《繫辭上》本文是：「大衍之數五十，其用四十有九，分而為二，以象兩，掛一象三，揲之以四，以象四時，歸奇於扐，以象閏，五歲再閏，故再扐而後掛。」這個版本寫「掛一象三」，而《周易正義》疏引的是「掛一以象三」，差一個「以」字。我不能判斷是搜尋工具省字還是版本異文，今天的算法也不依賴這個字。
這句話前面一句是「天數二十有五，地數三十，凡天地之數，五十有五」（電子化計劃摘要確認），所以「大衍之數五十」與「天地之數五十有五」之間差了五，頁面本身對這個差額沒有任何解釋（我問了是非題，回答「沒有」）。解釋是後人補的。
五家怎麼補那個差額，加上我自己驗算
維基文庫《周易正義》頁面（摘要）收了王弼注：「演天地之數，所賴者五十也。其用四十有九，則其一不用也。」再往下，疏列了五家說法，短引如下：
| 家 | 怎麼湊出五十 | 怎麼退到四十九 | 我的驗算 |
|---|---|---|---|
| 京房 | 「十日、十二辰、二十八宿也」 | 其一不用，「天之生氣」 | 10＋12＋28＝50，成立 |
| 馬融 | 太極（北辰）生兩儀、日月、四時、五行、十二月、二十四氣 | 「北辰居位不動，其餘四十九轉運而用也」 | 1＋2＋2＋4＋5＋12＋24＝50，成立；但工具回報的馬融原文有省略，這串數字是我依序補的 |
| 荀爽 | 「卦各有六爻，六八四十八，加乾、坤二用」 | 乾初九「潛龍勿用」，故四十九（此句是工具轉述） | 48＋2＝50，成立 |
| 鄭玄 | 天地之數五十五，「五行減五」 | 「大衍又減一」 | 55－5－1＝49，成立 |
| 姚信、董遇 | 天地之數五十五 | 「其六以象六畫之數」，減去，用四十九 | 55－6＝49，成立 |
五家每一家的算術都對，用的材料各不相同：曆法（京房、馬融）、爻畫（荀爽、姚董）、五行（鄭玄）。孔穎達自己的態度，頁面摘要的回報是：「五十之數，義有多家，各有其說，未知孰是」，之後採用王弼。這句是工具轉述的短引，我沒有看到疏的上下文。
我今天要追問的不是哪一家對，而是一個他們都沒問過（至少疏沒有收）的問題：為什麼是四十九，而不是四十八或五十？答案要靠算。
規則與一變的算術
《繫辭》與《本義》「明筮」合起來給的規則是：四十九策隨手分成兩堆，從右堆取一策掛在左手小指（「取右一蓍掛左小指」），然後四四數左堆，剩下的歸在無名指間，再數右堆，剩下的歸在中指間（「揲之以四」「歸奇於扐」）。「明筮」的原句是：「再扐之奇，通掛之筭，不五則九，是謂一變。」也就是說：把掛的一策與左、右兩堆的餘數加起來，一變的結果不是五就是九。
這句「不五則九」是可驗算的陳述，我先用最簡單的方式算。分完之後掛一，剩四十八策，左堆數 L、右堆數 R’，L＋R’＝48，是四的倍數。四四數的餘數（餘零當四）記作 a 與 b，則 a＋b 與 48 同餘於四的倍數，a、b 各在一到四之間，所以 a＋b 只能是 4 或 8：4 有 (1,3)(2,2)(3,1) 三種，8 只有 (4,4) 一種。加上掛的一策，掛扐之數是 5 或 9，機率比三比一。這證實了「不五則九」，並且給出一個「明筮」沒寫的細節：五是九的三倍。
第二變、第三變從四十四或四十策開始（四十九減五或九），掛一之後剩四十三或三十九，同餘於三（模四）。a＋b 必須同餘三，只有 3 與 7 兩種：3 有 (1,2)(2,1)，7 有 (3,4)(4,3)，各兩種，所以第二、三變的掛扐是 4 或 8，機率各一半。「明筮」對應的句子是：「四五為少，八九為多」，也就是 4 與 5 稱「少」，8 與 9 稱「多」。
從三變到六七八九，算出一爻的機率
三變加起來掛扐數、剩下的策數，與爻值的關係如下（我自己算的）：
| 三變的少多 | 掛扐總數 | 剩下策數 | 除以四 | 爻 | 機率（理想模型） |
|---|---|---|---|---|---|
| 少少少 | 5＋4＋4＝13 | 36 | 9 | 老陽 | 3/4×1/2×1/2＝3/16 |
| 兩少一多 | 17 | 32 | 8 | 少陰 | 7/16 |
| 一少兩多 | 21 | 28 | 7 | 少陽 | 5/16 |
| 多多多 | 9＋8＋8＝25 | 24 | 6 | 老陰 | 1/4×1/2×1/2＝1/16 |
「明筮」的相關句我讀到的是：「三少為九，是曰老陽」「三多為六，老陰」「一少兩多，少陽之七」，少陰那一句工具回傳的字亂掉了，我不引。第一變是五或九，第二、三變是四或八；用機率加總，「兩少一多」要把第一變是五（3/4）與是九（1/4）分開算：3/4×1/2＋1/4×1/4＝6/16＋1/16＝7/16，這個我手算與程式一致。
老陽與老陰是「變爻」，機率合計四分之一。老陽是老陰的三倍。因此一次占筮中，變爻有四分之三是由陽變陰。
《繫辭》自己的數字：216、144、11520
這套算法有一個外部驗證，在同一章的後半。經文說：「乾之策，二百一十有六；坤之策，百四十有四」，並說兩者相加是三百六十（「當期之日」），「二篇之策，萬有一千五百二十」。疏的句子是「乾老陽，一爻有三十六策，六爻凡有二百一十六策」（工具轉述的短引）。我自己核：老陽剩 36 策、老陰剩 24 策，六爻各乘六得 216 與 144，相加 360；《周易》上下經共 64 卦、384 爻，其中陽爻、陰爻各 192，所以 192×36＋192×24＝6912＋4608＝11520。三個數字都吻合。這說明至少在《繫辭》作者那一層，三變算出的剩餘策數 36 與 24（即九與六乘四）就是老陽、老陰的定義，與我算出的「少少少剩 36」一致。電子化計劃摘要沒有提到這些數字的任何異文，但我只讀到摘要。
為什麼是四十九：改一個數看會怎樣
這個設問是今天的主要工作。我用同一個理想模型（餘數均勻），把起始策數從四十八改到五十三，看三變之後的剩餘策數分布：
| 起始策數 | 第一變的掛扐 | 三變後剩餘策數的分布 | 對應爻值 |
|---|---|---|---|
| 48 | 4 或 8，各 1/2 | 24、28、32、36：1/8、3/8、3/8、1/8 | 6、7、8、9，且與三枚銅錢（老陰老陽各 1/8）相同 |
| 49 | 5（3/4）或 9（1/4） | 24、28、32、36：1/16、5/16、7/16、3/16 | 6、7、8、9，不對稱 |
| 50 | 恆為 6（機率 1） | 28、32、36：1/4、1/2、1/4 | 只有 7、8、9，不可能出現老陰 |
| 51–53 | 各自不同 | 28 到 40 | 出現 10，不是合法爻值 |
這張表的三件事是我自己算的，不是任何古注的說法。第一，用五十策並且仍然「掛一」，第一變必定是 6，一爻的三變裡只有兩次隨機；而且老陰（剩 24 策）完全不可能出現，因為第一變是固定的 6 時，最少也會剩 28 策。這與「六九」並用的設計正面衝突，而《繫辭》「乾之策」「坤之策」的 144 要靠老陰。第二，五十一以上的起始策數會產生剩餘 40（除以四是 10），不是六、七、八、九。所以在四十八到五十三之間，能出完整的四值的只有 48 與 49。第三，48 給出的分布是對稱的，與三枚銅錢一樣，老陽與老陰機率相同；49 才給出三比一的不對稱。
也就是說「虛一」不只是象徵上的留一，在這套算法裡，虛一加掛一使第一變的餘數類別從「4 或 8，對半」變成「5 或 9，三比一」，這才是老陽多於老陰的來源。
我要標清楚界線：這是對「大衍之數五十，其用四十有九」的算法層面的後設檢驗，不能反過來說古人是這樣設計的；京房、馬融等五家的理由全是象數與曆法的，疏沒有收到任何關於餘數的說法（至少我沒讀到）。
理想模型有多靠得住：分堆方式一改，數字就動
上面的 1/16、5/16、7/16、3/16 假設每次分堆之後，左堆除以四的餘數在一到四之間均勻。這是個假設，不是《繫辭》給的。我用兩種分堆方式各模擬 20 萬次一爻（隨機種子 1），並另外窮舉了第一種的精確值：
| 分堆方式 | 老陰 6 | 少陽 7 | 少陰 8 | 老陽 9 |
|---|---|---|---|---|
| 理想模型（手算） | 6.25% | 31.25% | 43.75% | 18.75% |
| 左堆在 1 到 n−1 均勻（精確） | 4.78% | 27.83% | 45.19% | 22.20% |
| 左堆取鐘形（模擬） | 6.20% | 31.40% | 43.61% | 18.79% |
均勻分堆的精確值，老陽比理想高 3.5 個百分點，老陰低 1.5 個百分點，老陽對老陰的比值從 3 變成約 4.6。偏離的來源有兩個：一是均勻分堆下，各堆數除以四的餘數不是剛好均勻（例如第二變 44 策時，餘零的組合有 10 種而其他餘數各 11 種），二是第一變時右堆只剩一策、掛一後變零的邊界情形，使掛扐為 5 的機率從 3/4 變成 37/48。鐘形分堆（接近人手實際會分的樣子，每堆約一半）則貼近理想。哪種更像人手，我沒有實驗資料，不能說；我只能說「1/16」是模型性質，不是定律。
變占：七種情況與它們的機率
《啟蒙通釋》頁面（摘要）的「考變占」給的是七種情況，以變爻數為準：「凡卦六爻皆不變，則占本卦彖辭，而以內卦為貞，外卦為悔」；「一爻變，則以本卦變爻辭占」；「二爻變，則以本卦二變爻辭占，仍以上爻為主」；「三爻變，則占本卦及之卦之彖辭，即以本卦為貞，之卦為悔」；「四爻變，則以之卦二不變爻占，仍以下爻為主」；「五爻變，則以之卦不變爻占」；「六爻變，則乾坤占二用，餘卦占之卦彖辭」。頁面沒有出現「七條」這個詞，七是我數的（零到六爻變共七種）。
每爻變的機率是 1/4（老陽加老陰，在理想模型下與分堆方式無關，因為 3/16＋1/16＝1/4，三枚銅錢是 1/8＋1/8，也是 1/4），所以變爻數是二項分布：
| 變爻數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 機率 | 17.8% | 35.6% | 29.7% | 13.2% | 3.3% | 0.44% | 0.024% |
三到六爻變合計 16.9%，也就是六次裡不到一次要用到之卦的文字；83.1% 只用本卦。這個結構意味著這七條規則不是等重的：用得最多的是一爻變與二爻變（合計 65.2%）。
蓍法與銅錢最大的差別在老陽與老陰的不對稱：蓍法的「之卦」每爻為陽的機率是少陽加老陰，5/16＋1/16＝3/8；銅錢是 3/8＋1/8＝1/2。本卦每爻為陽的機率兩種方法都是 1/2。所以蓍法的之卦平均偏陰：陽爻數的期望是 2.25，而本卦是 3。再看兩個極端：蓍法一次得到「乾之坤」（六爻都是老陽）的機率是 (3/16)⁶ ≈ 4.3×10⁻⁵，約兩萬三千分之一；反方向「坤之乾」是 (1/16)⁶ ≈ 6×10⁻⁸，約一千六百八十萬分之一，兩者比值正好 3⁶＝729。銅錢法兩者都是 (1/8)⁶＝1/262144。這解釋了《本義》「明筮」那句「乾占用九，坤占用六」在實務上的意義：六爻變只在乾坤特別處理，而乾卦用九遠比坤卦用六更常是「全變」。
以上都是機率計算，不涉及任何一卦的吉凶解讀，也不構成對任何事的預測。
🧠 記
「不五則九」是真的，而且比文字多說了三比一。 四十九策掛一後剩 48，兩堆餘數之和只能是 4 或 8，掛扐為 5 的機率 3/4、9 的機率 1/4；第二、三變是 4 或 8 各 1/2。
老陽 3/16、少陽 5/16、少陰 7/16、老陰 1/16，是餘數均勻模型下的值。 均勻分堆的精確值變成 22.2%、27.8%、45.2%、4.8%，鐘形分堆接近理想；模型性質，非定律。
《繫辭》的 216、144、360、11520 與三變算法互相咬合。 老陽剩 36 策、老陰剩 24 策；192 陽爻與 192 陰爻乘上去正好 11520。
起始策數是 49 才有完整四值且不對稱。 48 對稱（等於三枚銅錢），50 使第一變恆為 6、老陰不可能，51 起出現 10；「虛一」在算法上不是裝飾，這是我的驗算，不是古注的說法。
五家解大衍的算術都成立，材料各不相同。 孔疏的態度是「未知孰是」，之後採王弼。
變爻數七種情況：用到之卦文字的只有 16.9%。 一爻變與二爻變合計 65.2%；蓍法之卦平均偏陰。
邊界：《繫辭》原文是搜尋摘要與英文對照頁，個別字詞（「掛一」是否有「以」）未能核；五家的引文與孔疏的態度全是摘要工具的短引，沒有讀到疏的上下文；「明筮」的作者與少陰那句未能確認；《啟蒙通釋》的變占規則不是朱熹原書的核對本；《周易集解》頁面讀取失敗，完全沒用；《尚書正義·微子》「沒有明說」是摘要工具的陰性回報。
✍️ 實踐
做一次「手算驗證」，約三十到四十分鐘，用四十九顆豆子或硬幣，問題欄留空，不問任何事，純粹驗算法。
第一步，數出四十九顆，隨手分成兩堆，從右堆取一顆放一旁（掛一）。第二步，左堆四顆四顆數，餘數記下（餘零當四），右堆同樣數，餘數記下；掛一加兩堆餘數，就是這一變的掛扐數，把這些策放到旁邊，剩下的重新合起來。第三步，重複兩次，共三變。每一變記下掛扐數。
第四步，檢查：第一變的掛扐數必須是 5 或 9，第二、三變必須是 4 或 8，三變後剩下的必須是 36、32、28、24 其中之一。如果你得到 6、7、10 之類的數字，是數錯了，回頭重數；這個檢查本身就是對「不五則九」的驗證。
第五步，連做六爻（十八變），把每爻的剩餘策數除以四寫成 6、7、8、9，然後只做兩件事：一，數你有幾個變爻（六或九），對照上面七種情況的表，看你屬於第幾種；二，把本卦與之卦各畫成六根線，確認只有變爻那幾根不同。不要查卦爻辭，不要問吉凶。
第六步，把下面這支程式貼到終端機跑，與你的手算比較分布（單次手算只有六筆資料，大概只能看出範圍，看不出機率）。
import random
from collections import Counter
def one_change(n, left):
right = n - left - 1 # 掛一：從右堆取一策
rl = left % 4 or 4 # 揲四：餘數 0 當 4
rr = (right % 4 or 4) if right else 0
return 1 + rl + rr # 掛扐之數
def one_line(split):
n = 49 # 大衍五十，虛一，用四十九
for _ in range(3): # 三變成一爻
n -= one_change(n, split(n))
return n // 4 # 剩餘策數除以四，得 6/7/8/9
uniform = lambda n: random.randint(1, n - 1)
bell = lambda n: min(max(sum(random.random() < 0.5 for _ in range(n)), 1), n - 1)
random.seed(1)
for name, f in (("uniform", uniform), ("bell", bell)):
c = Counter(one_line(f) for _ in range(200000))
print(name, {k: round(c[k] / 200000, 4) for k in (6, 7, 8, 9)})我跑出來的輸出是 uniform：6 為 0.047、7 為 0.2796、8 為 0.4521、9 為 0.2213；bell：6 為 0.062、7 為 0.314、8 為 0.4361、9 為 0.1879。你的結果若與此一致，表示程式與我的環境行為相同；若不同，把亂數種子與 Python 版本記下來。
可證偽的預測：我預測明天核對孔疏在「歸奇於扐以象閏」與「五歲再閏」處，會有具體的月數或日數算式（我查過維基文庫頁面只讀到「歸殘聚餘，分而成閏也」這一句短引，其他沒讀到）。若疏整段完全沒有月日數字，預測錯，我會更正。附一個我自己算的對照：五年兩閏是 62 個月，若一個朔望月取 29.530589 日，平均一年 366.18 日，比回歸年（約 365.2422 日）多 0.94 日；十九年七閏是 235 個月，平均一年 365.2468 日，只差約 0.005 日。這個對照不是疏的內容，只是我想看疏有沒有講到「五歲再閏」並不精確。
🔗 延伸學習
- 周易正義/07.08｜維基文庫 — 繫辭上卷七之八，王弼注與京房、馬融、荀爽、鄭玄、姚信董遇對「其用四十有九」的各家說法在此；我只讀到摘要。
- 原本周易本義（四庫全書本）卷末上｜維基文庫 — 「明筮」四言韻文，「不五則九」「三少為九」在這一頁。
- 易學啟蒙通釋（四庫全書本）全覽｜維基文庫 — 「考變占第四」的七種變爻占法；注意是通釋本，不是朱熹原書的單行本。
- 繫辭上｜中國哲學書電子化計劃 — 第九章原文，頁面標示底本為《武英殿十三經注疏》本《周易正義》。
💬 問 AI
我在做《繫辭上》「大衍之數五十，其用四十有九」的算法驗證。請嚴格區分三類資訊：（A）我貼給你的內容明說的；（B）你能指出具體出處（書名＋卷次＋版本）、可以查證的；（C）你自己的推論。不確定就寫「不確定」，不要用推測補足引文。
我目前的算法理解（請檢驗，不要附和）：
1. 四十九策分二、掛一後剩 48，兩堆除以四的餘數（餘零當四）之和只能是 4 或 8，所以第一變的掛扐數是 5 的機率 3/4、9 的機率 1/4；第二、三變從 44 或 40 起，掛扐是 4 或 8 各 1/2。
2. 三變後剩 36/32/28/24 策，除以四得 9/8/7/6，機率是 3/16、7/16、5/16、1/16。
3. 起始策數用 50 且仍掛一，第一變恆為 6，老陰不可能出現；起始 48 則分布與三枚銅錢相同。
4. 一爻變的機率是 1/4，所以六爻中的變爻數是二項分布 B(6, 1/4)。
請回答：
1. 請檢查上面第 1 到 4 點的算術，指出任何錯誤，並用你自己的程式或手算驗證，貼出結果。
2. 歷代注家（除了京房、馬融、荀爽、鄭玄、姚信董遇）有沒有人注意到「49 而非 50 或 48」在餘數結構上的意義？請給書名與卷次，沒有就說沒有，不要編。
3. 朱熹《易學啟蒙》「考變占」的七種情況，在《啟蒙》原書（非通釋本）的措辭是什麼？「二爻變仍以上爻為主」「四爻變仍以下爻為主」的「仍」字是什麼意思？
4. 三枚銅錢法（六七八九機率 1/8、3/8、3/8、1/8）最早見於哪個時代的哪部文獻？請給出處，不確定就標不確定。
本題純屬算法與文獻考據學習，不涉及占卜或預測，也不要給任何吉凶或決策建議。