第 40 課〈機率思維外溢〉把牌桌 EV 搬出牌桌,並指出它依賴的三個前提;今天進入階段三(職業)的第一課,回到牌桌內部,處理這個專欄從第 23 課起天天在用、卻一直沒有精確定義的詞:GTO。結論先講:GTO 的數學內核是納許均衡,在二人零和賽局裡它等價於「剝削度為零」,也就是無論對手怎麼回應,你的期望值都不會低於這個賽局本身的值 v。它保證的是下限,不是獲利,也不會自動懲罰對手的錯誤。今天用三個可以手算的小賽局把這個定義算出來:一個不對稱的剪刀石頭布(看均衡頻率為什麼不是各 1/3、怎麼量剝削度)、庫恩撲克(Kuhn poker,最小的非平凡撲克均衡,值是 −1/18,詐唬比例正好等於第 23 課的 s/(1+2s)),以及一道「剝削與暴露」的對價題(要有幾成把握才值得偏離均衡)。這裡全部是紙上推演與教學示意,台灣沒有合法的現金撲克賭場,內容定位是機率與決策訓練;所有賽局的收益是為了算術而設定的,不構成任何下注或投資建議。
📖 學
一、先把四個詞釘死
策略是在每一個決策點上給出各動作的機率(行為策略)。最佳回應(best response,簡稱 BR)是「已知對手的策略時,讓你自己期望值最大的策略」。納許均衡是一組策略,其中每個人的策略都是對其他人策略的最佳回應,也就是沒有人能單方面改策略而多賺。Nash 在 1950 年證明每一個有限賽局至少有一個這樣的均衡(可能需要混合策略,也就是以機率隨機選動作)。
單挑、不計抽水的撲克是二人零和:一個人贏的恰好是另一個人輸的。這種賽局有 von Neumann 在 1928 年證明的 minimax 定理:max min 等於 min max,那個共同的數字叫賽局的值(value),記作 v,以先行動者(下面叫 P1)的角度計。它帶來四個今天會反覆用到的性質:v 是唯一的;任何一個均衡策略都保證你至少拿到 v,不論對手怎麼打;不同均衡可以互換(你的任一均衡策略配對手的任一均衡策略,結果仍是均衡);而均衡策略的對手,即使用最佳回應也拿不到超過 v。
由此可以給 GTO 一個可計算的定義。對 P1 的任何策略 σ,令 w(σ) 是「對手挑最傷你的回應時,你的期望值」,這是 σ 的保底。剝削度(exploitability)定義為 e(σ) = v − w(σ) ≥ 0,也就是你相對於均衡少拿的、被最佳回應吃掉的那一塊。均衡策略就是 e = 0 的策略;「GTO 策略」只是它的別名。這個定義有兩個重點:它完全不問對手實際在做什麼,只問「最壞情況對手能做到什麼」;而且它的單位是期望值(籌碼、底池百分比),所以「不夠 GTO」是一個可以用數字量的差距,而不是風格。第 39 課提到求解器用 Nash distance 判斷收斂,講的是同一個量:一方若對當前策略做最佳回應,最多能多贏多少。
二、第一個完整計算:不對稱剪刀石頭布
標準剪刀石頭布的均衡各 1/3 太平凡,看不出機制。改一個收益:石頭贏剪刀拿 2,剪刀贏布拿 1,布贏石頭拿 1,平手 0。P1 的收益矩陣(對手在欄):
| P1 ＼ 對手 | 石頭 | 布 | 剪刀 |
|---|---|---|---|
| 石頭 | 0 | −1 | +2 |
| 布 | +1 | 0 | −1 |
| 剪刀 | −2 | +1 | 0 |
這個矩陣反對稱(兩人互換位置收益相反),所以 v = 0。要找均衡,設對手的混合策略是 (q石, q布, q剪),要求 P1 的三個動作期望值相等(都等於 0):
P1 出石頭:−q布 + 2·q剪 = 0 → q布 = 2·q剪
P1 出布 : q石 − q剪 = 0 → q石 = q剪
P1 出剪刀:−2·q石 + q布 = 0 → q布 = 2·q石 (與前兩式一致)
令 q石 = q剪 = t,則 q布 = 2t,總和 4t = 1,t = 0.25
均衡是 (石頭, 布, 剪刀) = (25%, 50%, 25%)。逐一驗算:P1 出石頭 −0.5 + 2 × 0.25 = 0;出布 0.25 − 0.25 = 0;出剪刀 −0.5 + 0.5 = 0。矩陣反對稱,所以對手的均衡策略相同。
注意兩件反直覺的事。第一,均衡不是各 1/3:布要出一半,因為「出剪刀」的收益被石頭的 2 倍獎勵拉走了,你得多出布去壓住對手的石頭。第二,這個 50% 是由對手的收益算出來的(令對手無差異),不是由你自己的收益算出來的。這個原則在第三節會接回撲克。
接著量剝削度。設 P1 的策略是 (r, p, s),對手三個欄的 P1 收益分別是:欄石頭 p − 2s、欄布 s − r、欄剪刀 2r − p。對手會選 P1 最差的那一欄,所以 e = −min(…) = max(2s − p, r − s, p − 2r)。代入幾個策略:
| P1 策略 (石, 布, 剪) | 2s − p | r − s | p − 2r | 剝削度 e |
|---|---|---|---|---|
| (0.25, 0.50, 0.25) | 0 | 0 | 0 | 0(均衡) |
| (1/3, 1/3, 1/3) | +0.333 | 0 | −0.333 | 0.333 |
| (0.30, 0.45, 0.25) | +0.05 | +0.05 | −0.15 | 0.05 |
| (0.40, 0.30, 0.30) | +0.30 | +0.10 | −0.50 | 0.30 |
| 永遠出布 (0, 1, 0) | −1 | 0 | +1 | 1 |
第二列是重點:「各 1/3 看起來最公平」的策略,每局被最佳回應(永遠出石頭)白白吃掉 0.333,等於每把輸三分之一個單位。第三列顯示另一件事:只偏離 5 個百分點,剝削度就是 0.05,剝削度對偏離量是線性的,每多偏一點就多付一個固定單價。這正是第 39 課與第 24 課的「每差 1 個百分點對手多賺固定的錢」。
再看均衡策略的另一面:假設對手永遠出石頭。均衡策略 (25%, 50%, 25%) 對上它的期望值是 p − 2s = 0.5 − 0.5 = 0,和對上均衡對手一樣;最佳回應(永遠出布)則拿 +1。均衡策略不會因為對手犯錯而多贏,它只保證下限。要多贏必須偏離,而偏離有代價:令 σλ = (1 − λ)·均衡 + λ·永遠出布,也就是把 λ 比例的頻率移到布。對永遠出石頭的對手,收益是 λ;但對一個會改出剪刀的對手(剪刀贏布),收益是 −λ(代入 2r − p = (1−λ)/2 − (1+λ)/2 = −λ)。設對手是「繼續出石頭」型的機率為 q,偏離的淨期望值是 λ·q − λ·(1 − q) = λ(2q − 1),只有 q 超過 1/2 才賺。這個「獲利對暴露」的算法,第六節會用在撲克上。
三、均衡頻率由「讓對手無差異」決定,以及它和第 23 課的接合
上一節的三條式子都是在問:我的對手手上的三個動作期望值要相等,才使他沒有任何偏好。這不是巧合,而是混合均衡的一般機制:你的混合頻率要使對手在他參與混合的那幾個動作之間無差異;反過來說,如果對手在兩個動作之間有明顯偏好,他就會 100% 選那個,你的頻率就被他利用了。
撲克裡最乾淨的例子就是第 23 課的詐唬比例。底池 P、你下注 s·P,對手面對下注要決定跟或蓋。若你的下注範圍中詐唬佔比是 b,對手跟注的期望值是 EV(跟) = b·P(1 + 2s) − s·P(單位:籌碼,跟注時贏下底池加你的下注、輸掉自己的跟注;蓋牌是 0)。令它等於 0,得 b = s/(1+2s)。s = 1/2(半池)時 b = 0.5 ÷ 2 = 25%;s = 1(滿池)時 b = 1/3。這個 b 完全由對手的賠率決定,和你自己的詐唬「想不想」無關。同一個機制反過來,就是第 24 課的最低防守頻率:對手的詐唬要在你蓋牌與跟注之間無差異,你才不可被剝削。
四、庫恩撲克:最小的真撲克均衡
Kuhn 在 1950 年提出一個簡化撲克:三張牌 J、Q、K(K 最大),兩人各先下 1 的前注,各發一張牌。P1 先行動,可以過牌或下注 1;若 P1 過牌,P2 也可以過牌(攤牌)或下注 1,P2 下注後 P1 要跟或蓋;若 P1 先下注,P2 要跟或蓋。蓋牌者輸掉已投入的 1,攤牌時大牌拿走底池,贏的淨收益是 1(都過牌)或 2(下注被跟)。這個遊戲有「私有資訊、詐唬、價值下注、抓詐唬」全部的元素,同時小到可以手算。
它的均衡不只一個,而是由參數 α(0 到 1/3)構成的一個家族(Wikipedia 的 Kuhn poker 條目有完整敘述)。取 α = 1/3,策略如下:
| 決策點 | 策略 |
|---|---|
| P1 先行動 | J 下注 1/3;Q 過牌;K 一律下注 |
| P1 過牌後面對 P2 的下注 | J 蓋;Q 跟 2/3;K 跟 |
| P2 面對 P1 的下注 | J 蓋;Q 跟 1/3;K 跟 |
| P2 面對 P1 的過牌 | J 下注 1/3(詐唬);Q 過牌;K 下注 |
以下所有 EV 都以前注為單位,是我用精確分數窮舉驗過的,現在逐一手算「無差異」。
P2 拿 Q、面對 P1 下注。 P1 的下注範圍裡,J 以 1/3 下注、K 一律下注。兩種牌被發到的機率相等,所以下注範圍中 J 與 K 的權重是 1/3 比 1,後驗是 J 25%、K 75%。跟注 EV = 0.25 × (+2) + 0.75 × (−2) = −1;蓋牌 EV = −1(輸掉前注)。兩者相等,P2 的 Q 因此可以任意混合跟與蓋,均衡取 1/3。這裡的 25% 詐唬比例正好是 b = s/(1+2s) 在 s = 1/2 的結果(開局底池 2,下注 1,s = 0.5)。
P1 拿 J、決定下注或過牌。 過牌:P2 拿 Q(一半)就過牌,攤牌輸 1;P2 拿 K(一半)就下注,P1 只能蓋,輸 1;EV(過牌) = −1。下注:P2 拿 Q 時以 1/3 跟注輸 2、以 2/3 蓋牌贏 1,得 1/3 × (−2) + 2/3 × 1 = 0;P2 拿 K 一律跟注,輸 2;EV(下注) = 0.5 × 0 + 0.5 × (−2) = −1。兩者相等,所以 J 可以混合,均衡取 1/3。
P1 拿 K。 過牌:P2 拿 J(一半)以 1/3 下注、被 P1 跟注贏 2,否則 2/3 過牌攤牌贏 1,得 1/3 × 2 + 2/3 × 1 = 4/3;P2 拿 Q(一半)過牌,攤牌贏 1;EV(過牌) = 0.5 × 4/3 + 0.5 × 1 = 7/6。下注:P2 拿 J 蓋,贏 1;P2 拿 Q 以 1/3 跟注贏 2,以 2/3 蓋牌贏 1,得 4/3;EV(下注) = 0.5 × 1 + 0.5 × 4/3 = 7/6。同樣相等,所以 α = 1/3 時 K 取下注。
P1 拿 Q。 過牌 EV = −1/3,下注 EV = −1/2,過牌較好且差 1/6,所以 Q 純過牌,不參與混合。把四個決策點的結果放在一起,每一個「被混合的動作」兩邊 EV 都相等,每一個純動作都嚴格較好,這就是均衡的完整檢驗,也是「純策略 vs 混合策略」的判準:混合的牌是邊界牌,純的牌不是。
最後算賽局的值。六種發牌各占 1/6,P1 的 EV 依序:J 對 Q 為 −2/3,J 對 K 為 −4/3,Q 對 J 為 +1,Q 對 K 為 −5/3,K 對 J 為 +1,K 對 Q 為 +4/3,總和 −1/3,平均 −1/18,約 −0.0556 個前注。也就是兩邊都完美時,先行動的 P1 每手平均輸 1/18,後行動的 P2 平均贏 1/18。均衡的值可以是負的:不可被剝削不等於賺錢,而是位置本身的價值。
五、量剝削度:P2 的 Q 跟注頻率偏離多少,會被吃掉多少
保持其他一切為均衡,只把 P2 拿 Q 時面對下注的跟注頻率 x 從 1/3 移開,看 P1 的最佳回應能多拿多少。P1 拿 J 時,下注比過牌多賺 (1 − 3x)/2(下注 EV 為 −1/2 − 3x/2,過牌仍是 −1);x 小於 1/3 時這個差為正,最佳回應是每次拿 J 都下注詐唬,J 的發牌機率 1/3,所以剝削度是 (1/3) × (1 − 3x)/2 = (1 − 3x)/6。x 大於 1/3 時,最佳回應是把 J 的詐唬全部停掉(原本均衡裡 J 以 1/3 的頻率詐唬),收益是 (1/3) × (1/3) × (3x − 1)/2 = (3x − 1)/18。分段整理成表:
| x(Q 的跟注頻率) | 剝削度 | 占開局底池 2 的比例 | 最佳回應怎麼做 |
|---|---|---|---|
| 0(從不抓) | 1/6 = 0.1667 | 8.33% | J 全部下注詐唬 |
| 1/6 | 1/12 = 0.0833 | 4.17% | J 全部下注詐唬 |
| 1/3(均衡) | 0 | 0 | 任何混合都一樣 |
| 1/2 | 1/36 = 0.0278 | 1.39% | J 停止詐唬 |
| 2/3 | 1/18 = 0.0556 | 2.78% | J 停止詐唬 |
| 1(全跟) | 1/9 = 0.1111 | 5.56% | J 停止詐唬 |
這張表有三個讀法。第一,剝削度是兩段線性,在 1/3 處折起來,符合第二節「偏離每一點付固定單價」的結論。第二,兩邊的單價不同:蓋太多(x 小於 1/3)的單價是每單位 x 付 1/2,跟太多的單價是每單位 x 付 1/6,差 3 倍。原因是蓋太多讓 P1 可以把所有 J 都變成詐唬牌(一個大動作),跟太多只是讓 P1 把原本 1/3 的詐唬收掉(一個小動作)。所以在這個賽局裡,抓詐唬不足比抓詐唬過多貴;這是這個小賽局的結果,不能直接推廣成所有撲克節點的規律。第三,對照第 39 課的收斂標準:x = 1/2 時剝削度是 1.39% 底池,按該課引用的 GTO Wizard 說法(低於 1% 底池才算開始收斂),這還算不上收斂的解。我沒有把兩者的計量口徑逐項對齊,所以只當量級參考。
接著是本課最重要的一個數字,用到的是 P1 自己的均衡策略。對任何 α 的均衡(我驗了 α = 0、1/6、1/3 三個),P1 對上 P2 的 Q 跟注頻率 x = 0 或 x = 1,期望值都精確等於 −1/18。原因:P2 的 Q 在均衡裡處於無差異,P1 的策略就是被設計成讓這個選擇不影響 P1 的 EV。也就是說,均衡策略對一個明顯過度蓋牌的對手,一分錢也不多贏,而最佳回應(J 全詐唬、Q 過牌、K 過牌跟注)對同一個對手拿到 +1/9,多贏 1/6。GTO 是保底,不是剝削。
六、剝削的對價:要有幾成把握才值得偏離
上面那個最佳回應的缺點,是它自己的剝削度很高。我用 P2 的 64 個純策略窮舉驗算:P1 用「J 全下注、Q 過牌後蓋、K 過牌跟注」時,P2 對它的最佳回應(J 過牌後下注詐唬、Q 與 K 面對下注都跟)能讓 P1 的 EV 掉到 −1/2,比均衡的 −1/18 低 4/9 = 0.444。也就是:猜對時多賺 G = 1/6,猜錯(對手立刻調整)時多虧 E = 4/9,兩者比是 8/3。令對手維持原狀的機率為 q,偏離的淨期望值是 q·G − (1 − q)·E,損益兩平的把握是:
q* = E ÷ (G + E) = (4/9) ÷ (1/6 + 4/9) = (4/9) ÷ (11/18) = 8/11 ≈ 72.7%
只偏離一半(σ 取均衡與最佳回應的中點),獲利與暴露都砍半(G = 1/12、E = 2/9),q* 仍是 8/11,因為兩邊都是線性的;偏離幅度決定賭注大小,不改變所需的把握。對照第二節的剪刀石頭布:G = E,q* = 1/2。所以不同賽局的偏離門檻可以差很多,要看最佳回應的反擊有多重。
兩個注意。第一,這裡的暴露 E 假設對手能做完美反擊,所以 q* 是保守門檻;真實對手只會部分調整,實際門檻會低一些。第二,q 本身是估計,而第 37 課已經算過讀數的誤差:q 的估計越不準,要求的把握就要越高。把這一課和第 37 課接起來,結論是:偏離均衡是一筆下注,要有賠率、要有把握、要控制注碼,和任何其他決策沒有區別。
七、常見誤解
- 「GTO 是最強的打法」:GTO 是保下限的打法,對上一個犯錯的對手,它拿到的錢和對上完美對手一樣多(第五節:−1/18 不動)。要賺對手的錯,得偏離。
- 「GTO 是一張固定的表」:均衡不唯一(Kuhn 有一整個 α 家族),而且在遊戲裡每個決策點的混合頻率是相互牽制的,不是各自獨立的百分比。
- 「對手不是 GTO,所以 GTO 沒用」:GTO 的第一個用途是量尺:拿來量自己的策略離「不可被剝削」有多遠(剝削度),第二個用途是對手模型未知時的預設值,第三個用途是作為偏離的基準點,算出每一次偏離的獲利與暴露。
- 「不可被剝削就是不會輸」:Kuhn 的 P1 在均衡下每手 −1/18。實務上位置、抽水與對手群體的強弱,決定你長期是賺還是賠;均衡策略本身不保證任何一項。
- 「混合頻率要掏骰子擲」:混合的目的是讓對手無法預測,你在邊界牌上選哪個動作對該手牌的 EV 沒差(第四節的 J 與 K),要守住的是整個範圍的比例,這與第 39 課的簡化原則一致。
- 資金管理:本課所有算式都不產生額外銀彈。把任何偏離當成一筆有獲利與暴露兩側的下注,銀彈建議 30 到 50 個買入起跳,而且偏離要小到最壞情況也不傷及決策品質。本課談的是定義與思考框架,不是獲利保證。
🧠 為什麼是這樣
「不可被剝削」背後的機制只有一句話:你的混合頻率讓對手的選擇對他自己沒有差別。 純策略總是可以被一個最佳回應完全針對(剪刀石頭布裡永遠出布會被剪刀拿走 1),所以必須隨機;而隨機的比例不是任意的,必須恰好使對手無差異,否則對手就有一個嚴格較好的動作,把你的比例變成他的獲利來源。這同時解釋了為什麼均衡不懲罰錯誤:對手偏離之後,他在「原本無差異的動作」之間改變選擇,而你的均衡策略正是被設計成讓這種改變對你的 EV 沒有影響。要從對手的錯誤賺到錢,你必須進入純策略或偏斜的頻率,而那就是第六節的獲利與暴露。
這個定義的邊界有四個。第一,它只在二人零和成立。三人以上的賽局沒有 minimax 定理,不同均衡的策略不能互換,均衡策略也不保證下限;Pluribus(Brown 與 Sandholm,Science,2019 年 7 月)在六人無限注德州撲克打贏職業牌手,Wikipedia 條目說這種「逼近納許均衡」的做法不適用於三人以上的賽局,Pluribus 用的方法缺乏強理論保證、但實證上有效,並不是靠「算出納許均衡」。所以「多人池有沒有 GTO」是個沒有乾淨答案的問題,第 30 課談的多人池調整,正是承認這個缺口。另外,有抽水時賽局就不是嚴格的零和(玩家合計是負的),純數學上的均衡需要重新定義,實務上只是近似。
第二,真實的 GTO 是近似解。德州撲克的樹遠超過可以手算的範圍,所以要靠迭代演算法逼近,並用剝削度判斷離均衡多遠。Cepheus(Alberta 大學,Science,2015 年 1 月)「基本上解開」了單挑固定限注德州撲克,它的策略被最佳反制只能每局贏 0.000986 個大盲,也就是約每 1,000 局 1 個大盲(Wikipedia 引用的說法是,一個人用一輩子對打也無法在統計上證明自己贏了它)。這是一個零剝削度的近似,但它是限注、單挑,比無限注簡單很多;我沒有查到無限注對應的剝削度數字,不下結論。重點是:現實的「GTO」永遠是 ε 均衡,ε 是可量化的。
第三,均衡的值可以是負的,也可以不唯一地實現。Kuhn 的 P1 每手 −1/18,現實裡位置、抽水與盲注結構都會讓某些位置的均衡值為負;而值唯一不代表策略唯一,所以任何「這是 GTO 的打法」的講法,都要問「是哪個均衡、解哪個賽局、輸入什麼範圍與尺度」。這和德州撲克專欄的平衡與 GTO那篇的結論一致:GTO 是防守性質,不是攻擊武器。
第四,對手怎麼反制。如果你一直留在均衡,對手不論怎麼偏離都不會讓你損失,但他也不會讓你賺;你一旦偏離,對手就有機會反向利用你的偏離,所以你的「剝削」必須同時算進他的調整速度。剝削性打法那一篇把這個選擇放進決策流程,而第 43 課(節點鎖定)會用求解器直接算出「對這個偏離的對手,最佳回應是什麼、暴露多少」。今天只要記住那個順序:先算保底(剝削度),再算偏離的獲利與暴露,最後才決定偏多少。
✍️ 今日練習
紙筆與計算機,15 到 20 分鐘。
- 卡 1(不對稱剪刀石頭布):把「石頭贏剪刀」的獎勵由 2 改成 3,其餘不變(剪刀贏布 1、布贏石頭 1)。寫出 P1 的收益矩陣,用「令對手無差異」的三條式子求均衡,並算 (1/3, 1/3, 1/3) 與 (0.30, 0.40, 0.30) 兩個策略的剝削度(提示:剝削度公式要把 2 換成 3)。
- 卡 2(庫恩撲克):沿用第四節的 α = 1/3 均衡,自己重算兩件事:P1 拿 Q 時,過牌 EV 與下注 EV(各自拆成 P2 拿 J 與拿 K 兩種情況);以及 P1 拿 K 時,下注 EV 隨 P2 的 Q 跟注頻率 x 變化的式子(答案形如 1 + x/2),並找出它等於過牌 EV 7/6 的 x。
- 卡 3(獲利對暴露):某個偏離的獲利是 0.10、暴露是 0.30(單位相同),算損益兩平的把握 q*;再算若你只有 60% 的把握,這個偏離應不應該做、期望值是多少。
- 卡 4(撲克尺度):底池 100、下注滿池(s = 1),算均衡詐唬佔比 b,以及詐唬佔比每偏離 1 個百分點,對手的跟注 EV 變動多少籌碼(用 P(1 + 2s) ÷ 100)。最後從第 39 課那個 s = 2/3 的例子,比較兩個單價。
- 回頭從你自己的複盤裡挑一手河牌下注,寫下「我當時的詐唬佔比大概多少、均衡該是多少、差幾個百分點、單價是多少」。
自我檢查
- 卡 1:均衡 (1/5, 3/5, 1/5);矩陣中石頭對剪刀為 +3、剪刀對石頭為 −3。(1/3, 1/3, 1/3) 的剝削度 = max(3s − p, r − s, p − 3r) = max(1 − 1/3, 0, 1/3 − 1) = 2/3;(0.30, 0.40, 0.30) 的剝削度 = max(0.9 − 0.4, 0, 0.4 − 0.9) = 0.5。我能說出為什麼均衡裡「布」的比例是 k ÷ (k + 2)(k 為獎勵倍數)。
- 卡 2:P1 拿 Q 時,過牌 EV = 0.5 × 1 + 0.5 × (−5/3) = −1/3,下注 EV = 0.5 × 1 + 0.5 × (−2) = −1/2,所以 Q 純過牌;K 的下注 EV = 1 + x/2,在 x = 1/3 等於 7/6,與過牌相等,x 大於 1/3 時下注較好。我能說出 K 為什麼在均衡裡也處於無差異。
- 卡 3 與卡 4:卡 3 的 q* = 0.30 ÷ (0.10 + 0.30) = 75%,只有 60% 把握時期望值 = 0.6 × 0.10 − 0.4 × 0.30 = −0.06,不該做。卡 4 的 b = 1 ÷ 3 = 33.3%,單價 = 100 × 3 ÷ 100 = 3 個籌碼 / 百分點;s = 2/3 時是 2.33 個籌碼 / 百分點,所以尺度越大,同樣的詐唬比例誤差越貴。
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · 平衡與 GTO:MDF、alpha、不可剝削性——GTO 是防守性質而非攻擊武器的完整說明,與本課第一節的定義互相對照。
- Wikipedia · Kuhn poker——規則、均衡家族(參數 α 介於 0 與 1/3)與賽局的值 −1/18,可以拿來核對第四節的表。
- Wikipedia · Cepheus (poker bot)——單挑固定限注德州撲克被「基本上解開」,剝削度 0.000986 個大盲每局,以及 CFR 這一類方法的出處。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 41 課:GTO 的真正定義,納許均衡與「不可被剝削」。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注建議):
- 我設計的二人零和小賽局(收益矩陣或規則):[例如 不對稱剪刀石頭布,石頭贏剪刀拿 3]
- 我算出的均衡策略:[...]
- 我選了一個非均衡策略來算剝削度:[...]
- 我想比較的一個偏離:猜對時多賺 G = [...],猜錯(對手完美反擊)時多虧 E = [...]
請依序回答:
1. 用「令對手無差異」的方法重新推導均衡,逐步給計算過程,並驗算每個動作的期望值是否都等於賽局的值 v。
2. 計算我那個策略的剝削度:列出對手每個純策略的收益,指出最佳回應是哪一個、我被多吃了多少。
3. 對手若採永遠一種做法(例如永遠出石頭),均衡策略對上他的期望值是多少?最佳回應是多少?差距有多大?
4. 用 q* = E ÷ (G + E) 算偏離的損益兩平把握,並說明這個公式的前提(對手能完美反擊、獲利與暴露都對偏離幅度線性)。
5. 說明這個賽局的哪些性質在三人以上、有抽水、或樹太大只能近似的真實撲克裡不成立。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」。