第 39 課〈求解器的正確用法:抓原則,不背解〉教的是怎樣把一個解壓縮成帶得走的比例與門檻;今天是階段二的最後一課,要問的是這套壓縮出來的思維能不能離開牌桌。答案是一半能、一半不能,而分界線很具體:牌桌 EV 裡「分布、尺度、下檔」三個東西可以原封不動搬走,但牌桌有三個前提在現實裡不成立(機率已知、可重複、輸了不會出局),搬的時候必須逐一補償。今天會用 Kelly 公式、破產機率、決策日誌與一個換工作的 EV 表,把這個分界線算出來。這裡全部是紙上推演與教學示意,不是投資建議,也不構成任何買賣標的的推薦;所有數字是為了算術而自擬的假設,實際決策請依自己的財務狀況與專業意見。
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一、先修正一件事:EV 是平均,不是你會經歷的那條路
牌桌上我們習慣把 EV 當成決策準則:EV 為正就做。這個準則成立有兩個隱含條件:賭局可以重複夠多次(讓平均數會出現),而且你的銀彈厚到不會在平均數出現之前就出局。條件不成立時,正 EV 的決定也可能是壞決定。
用一個最乾淨的例子:公平硬幣,正面本金乘 1.5,反面本金乘 0.6,每回合把全部資金押進去。單回合 EV 是 0.5 × 1.5 + 0.5 × 0.6 = 1.05,也就是每回合期望多 5%,算術上是漂亮的正 EV。但把它連玩 10 回合,「大家平均」會是 100 × 1.05^10 = 162.9,而「一個人典型的路徑」是 5 勝 5 負,100 × 1.5^5 × 0.6^5 = 100 × 0.9^5 = 59.05。這兩個數字之間的差異是整個問題所在:每回合的實際成長因子是 √(1.5 × 0.6) = √0.9 = 0.9487,也就是典型玩家每回合損失 5.13%。10 回合結束時,資金高於 100 的機率只有 6 勝以上的機率,C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10) = 210+120+45+10+1 = 386,除以 1,024 得 37.7%;玩 50 回合,25 勝 25 負的人只剩 100 × 0.9^25 = 7.2,而「期望值」仍高達 100 × 1.05^50 = 1,146,這 1,146 是由極少數極端好運的人撐起來的。
這就是**非遍歷性(non-ergodicity)**的白話版:一群人的平均(集合平均),和同一個人沿時間走下去的結果(時間平均),在乘法式的過程裡不是同一件事。你不是一群平行宇宙的平均值,你只有一條路。牌桌上有買入制、有 30 到 50 個買入的銀彈,等於把乘法過程硬切成可重複的小單元;現實裡的職涯、房貸、創業與全倉部位,常常沒有這個切割。
二、Kelly 公式:正 EV 之後,第二個問題是押多少
既然全押不行,那押多少最好?Kelly 的答案是:選擇每回合押資金比例 f,使長期對數資金成長率最大。對賠率 b 倍(贏了拿 b 倍賭注,輸了賠賭注)、勝率 p、輸率 q = 1 − p 的賭局:
f* = (b × p − q) ÷ b
成長率 g(f) = p × ln(1 + b×f) + q × ln(1 − f)
用 b = 1(平賠)、p = 0.60 為例:f* = (0.60 − 0.40) ÷ 1 = 0.20。算成長率:g(0.20) = 0.6 × ln 1.2 + 0.4 × ln 0.8 = 0.6 × 0.18232 − 0.4 × 0.22314 = 0.10939 − 0.08926 = 0.02014,每回合約 +2.03%(e^0.02014 − 1)。幾個關鍵對照:押一半(f = 0.10)是 g = 0.6 × 0.09531 − 0.4 × 0.10536 = 0.01504,保留了最大成長率的 74.7%;押 f = 0.30 是 0.01475,還在附近;但押兩倍 Kelly(f = 0.40)是 0.6 × ln 1.4 + 0.4 × ln 0.6 = 0.20188 − 0.20433 = −0.00245,成長率轉為負。這條曲線的形狀很重要:在最佳點左邊緩慢下降,右邊急速下墜,而且在 2 倍 Kelly 附近跨過零線。意思是,「押少了」只是少賺,「押多了」會讓一個明明有優勢的賭局變成虧錢機器。
更大的問題是 p 本身是估計。同一個賭局,假設你估勝率 55%、平賠,Kelly 比例是 (0.55 − 0.45) = 0.10,g(0.10) = 0.55 × ln 1.1 + 0.45 × ln 0.9 = 0.05242 − 0.04741 = +0.00501。但若真實勝率只有 51%,真正的 Kelly 是 0.02,而你照著 0.10 押,相當於押了 5 倍 Kelly,成長率是 0.51 × 0.09531 − 0.49 × 0.10536 = 0.04861 − 0.05163 = −0.00302,每回合 −0.30%。也就是:優勢只高估 4 個百分點,就把一個「看起來該押 10%」的決定變成長期虧損。所以實務上幾乎沒人押全 Kelly,而是押半 Kelly 或更少,把它當作「估計誤差的保險費」。
連續近似下有一個好記的結果:押 c 倍 Kelly 時,資金「曾經跌到起始值 x 倍」的機率約是 x 的 (2/c − 1) 次方。全 Kelly(c = 1)跌到一半的機率是 0.5^1 = 50%;半 Kelly(c = 0.5)是 0.5^3 = 12.5%;四分之一 Kelly 是 0.5^7 = 0.78%。這是連續極限的近似,離散賭局只會更差,但量級可信:你要買的是「回撤的可承受度」,不是最後那一點成長率。
三、破產機率:銀彈到底要幾個買入
固定賭注(不隨資金調整)時,破產機率有一個常用近似:RoR ≈ exp(−2 × μ × B ÷ σ²),μ 是每單位時間的期望值,σ 是同單位的標準差,B 是銀彈。拿牌桌常見的假設:勝率 5bb/100 手、標準差 80bb/100 手(σ² = 6,400),銀彈 B 以 bb 計:
| 銀彈 | 約等於買入數 | 勝率 5bb/100 的 RoR | 勝率 2bb/100 的 RoR |
|---|---|---|---|
| 1,000bb | 10 | 20.96% | 53.53% |
| 2,000bb | 20 | 4.39% | 28.65% |
| 3,000bb | 30 | 0.92% | 15.34% |
| 5,000bb | 50 | 0.04% | 4.39% |
兩欄的差異是今天的第二個重點:如果你以為自己的勝率是 5,真實是 2,那 30 個買入的破產機率不是 0.92%,而是 15.34%,差 16.7 倍。5bb/100 在多數人身上本來就是樂觀估計。把「估計誤差」換成銀彈就是這張表的用途:你不知道自己真正的勝率,所以銀彈要照最壞可信的 μ 準備,而不是照最好的。這也是為什麼德州撲克專欄的銀彈管理建議從 30 到 50 個買入起跳,不是迷信數字,是對 μ 估計誤差的緩衝。
四、回到現實的第一種搬法:部位大小由下檔決定,不由 EV 決定
把上面的結論搬到投資組合時,可以變成一條不依賴機率估計的規則:先決定「單一決策最多可以讓我損失多少」,再反推部位大小。一個常見的框架是:可承受單一部位損失 = 可投資資金 × 1% 到 2%,部位 = 可承受損失 ÷ 該部位的最壞情境跌幅。假設可投資資金 100 萬元、單一部位可承受損失設為 2%(2 萬元),某資產最壞情境(不是平均,是你能想像的壞情境)可能下跌 40%,則部位上限是 2 ÷ 0.40 = 5 萬元,占可投資資金 5%。若最壞情境是 80%(小型股、單一題材),上限就只有 2.5 萬元。注意這個算法完全沒用到「我覺得會漲多少」,那正是它的優點:上行的估計誤差很大,下檔的界線通常比較容易畫。這是「牌桌買入制」的直接對應:一手牌最多輸一個買入,而不是「我看起來贏面很大所以多下點」。
下跌的算術不對稱也要放在腦中:跌 10% 需漲 11.1% 回本,跌 20% 需漲 25%,跌 33.3% 需漲 50%,跌 50% 需漲 100%,跌 80% 需漲 400%。這是乘法過程的本質,也是為什麼「少虧」比「多賺」更接近成長的關鍵。
五、結果導向偏誤:要多少次決策才分得出運氣與技術
牌桌上最典型的例子是這樣:你以 80% 的勝率全下,輸了,於是覺得那手打錯了。實際上,連續 5 次這種 80% 全下,全部贏的機率是 0.8^5 = 32.77%,至少輸一次的機率是 67.23%;連續 10 次則至少輸一次的機率是 1 − 0.8^10 = 89.26%。這代表「做對決定卻看到壞結果」是常態,不是例外。
反過來,多少次決策才夠評估自己?假設你想分辨一個 55% 勝率的決策者和 50% 勝率的人,二項分布的標準誤是 √(0.25 ÷ n)。要讓 5 個百分點的差距大約等於 2 個標準誤:0.05 = 2 × 0.5 ÷ √n,得 n = 400。也就是約 400 次獨立、同質的決策,才能在大約 2 個標準差的信心下看出 5 個百分點的優勢。生活決策(換工作、買房、搬家)一輩子可能只有十幾二十次,而且彼此不同質,所以無法靠結果評價自己。唯一可行的路是評價「過程」:當時的機率估計合不合理、有沒有考慮下檔、有沒有事先寫下退出條件。這個想法在德州撲克的複盤裡早就有,見心理與傾斜管理。
把決策與結果拆成四格:好決策、好結果(值得);好決策、壞結果(運氣,不要改);壞決策、好結果(僥倖,最危險,因為會被強化);壞決策、壞結果(該改)。只有「好決策、壞結果」那一格最容易被錯誤修正,而「壞決策、好結果」那一格最容易被錯誤複製。
六、決策日誌與事前機率標註
為了在沒有大樣本時仍能學習,做法是把「估計」寫在事前。日誌每筆至少有七欄:日期與決策、替代方案、各情境的機率與幅度(EV 表)、部位大小的理由(依第四節)、最壞情境與事前退出條件、當下的情緒與資訊狀態、事後才填的「結果」與「過程評分」兩欄分開。
機率標註的校準可以用 Brier 分數檢查:Brier = 平均 (預測機率 − 實際結果)²,結果發生記 1、未發生記 0,越小越好。假設你做了 10 個 yes/no 預測,機率與結果如下:
| 預測機率 | 90% | 90% | 80% | 80% | 70% | 70% | 70% | 60% | 60% | 60% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 結果 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
平方誤差依序是 0.01、0.01、0.64、0.04、0.09、0.09、0.49、0.36、0.16、0.16,總和 2.05,Brier = 0.205。作為對照,永遠回答 50% 的得分是 0.25,而這 10 題實際命中率是 70%,若永遠回答 70% 得 0.7 × 0.09 + 0.3 × 0.49 = 0.21。你的 0.205 只比後者好 0.005,而 10 題的樣本不足以區分「有技術」與「運氣」,分桶看更明顯:標 90% 的兩題全中、標 80% 的兩題中 1(50%)、標 70% 的三題中 2(67%)、標 60% 的三題中 2(67%),樣本太小,桶內的命中率只能當線索。因此規則是:累積到至少 30 到 50 題再看校準曲線,在那之前只確認一件事,就是有沒有把機率寫下來。
七、搬到生活決策:一個換工作的 EV 表
下面是自擬的教學數字,單位為萬元/年,不是任何公司的資料。選項 A:穩定工作,年總收入 120。選項 B:新創,底薪 100,另加選擇權價值依情境而異:失敗(公司撐不過兩年)選擇權價值 0;普通(存活但沒有出場)等值 30;成功(有出場)等值 300。假設機率:普通 35%、成功 10%、失敗 55%。
第一版只看選擇權的期望:EV(B) = 100 + 0.35 × 30 + 0.10 × 300 + 0.55 × 0 = 100 + 10.5 + 30 = 140.5,比 A 多 20.5,看起來大勝。但這個結論有三個問題。
第一,分布:55% 的情境(也是最可能的單一情境)收入是 100,低於 A 的 120;平均值是被 10% 的成功情境撐起的,30 的貢獻就占了 EV 增量的絕大部分。若成功機率只有 3%,EV(B) = 100 + 10.5 + 9 = 119.5,低於 A。翻轉門檻:100 + 10.5 + 300p = 120,p = 3.17%。這就是第 37 課「無差異頻率即翻轉門檻」的同一個算法,只是變數變成成功機率,而成功機率正是你最不可能估準的東西。
第二,下檔沒進 EV 表:失敗情境不只是選擇權為 0,還有空窗期與求職成本。假設失敗時平均損失 40(約四個月的收入加上換工作的摩擦成本),則 EV(B) = 100 + 10.5 + 30 − 0.55 × 40 = 118.5,比 A 低 1.5,結論翻面。若把失敗成本寫成成功機率的函數(失敗率 = 0.65 − p),EV(B) = 84.5 + 340p,要等於 120 需要 p = 35.5 ÷ 340 = 10.44%,也就是成功機率要不低於約一成,這個選擇在算術上才不吃虧。
第三,尺度與非遍歷性:這個決定的重點不是 EV 差的那 1.5 萬,而是你的緩衝。如果你的預備金能撐 12 個月、沒有大額固定支出,失敗的 40 是可承受的一次小注;如果你的預備金只有 3 個月、有房貸,失敗情境可能觸發連鎖(貸款延滯、被迫接下較差的工作)。後者的下檔遠大於 40,而且是不可逆的。牌桌上的對應是「一手牌最多輸一個買入」與「不用自己無法承受的錢打」。結論不是「別換工作」,而是:你要先確認出局條件,再比較 EV。
八、可逆決策與選擇權:小注試探,保留大注
牌桌上跟注一街去看下一張牌,付出的是一個小的、有上限的成本,換來資訊與選擇權(隱含賠率與反隱含賠率,見賠率與 EV 專欄)。生活裡的對應是:可逆決定(租房前先短租、轉職前先做兼職或內部轉調、投資前先小額建立部位)用小注取得資訊,不可逆決定(簽長約、全倉、辭職創業)必須先過下檔檢查。一個實用的分類問題是:這個決定如果錯了,我最快多久可以回到原點?回答是幾天就是可逆,幾年或回不去就是不可逆,對不可逆決定要求的證據門檻應該遠高於可逆的。
九、常見誤解
- 「EV 為正就該做」:EV 為正只是必要條件之一,另外還要過下檔、銀彈與估計誤差三關,尤其是估計誤差(第二、三節兩次示範)。
- 「Kelly 說可以押 20% 所以我押 20%」:Kelly 是以真實機率計算的上限,而你只有估計值。實務上以半 Kelly 以下為上限,並且只在能重複大量次的賭局使用;單一一次的人生決定不適用「長期」。
- 「我已經連虧了,下一把一定要贏回來」:每次獨立決策的 EV 與前面無關,想「贏回來」是把沉沒成本當 EV 的一部分,也是傾斜的起手式。
- 「機率寫下來就是客觀的」:寫下來的是你的主觀估計,價值在於可以事後檢驗,不在於它本身準確。
- 資金管理:本課所有算式都不產生額外的銀彈。投資市場的報酬與波動沒有牌桌那麼穩定的假設,實際決策要考慮稅、交易成本、流動性與自己的心理承受力。本課談的是思考框架,不是獲利保證,也不是買賣建議。
🧠 為什麼是這樣
Kelly 與破產機率的底層是同一件事:乘法過程的成長由對數決定,而 EV 是算術平均。當波動大到一定程度,算術平均與對數平均會分開,差距約為 σ²/2(連續近似),也就是前面那個 +50%/−40% 的例子:算術 +5%,對數 −5.13%,中間的 10 個百分點差距就是波動稅。理解這一點之後,「降低波動」不再是保守,而是直接在提高長期成長率;同時你也知道為什麼牌桌的銀彈規則和投資的部位規則是同一種東西,它們都是把乘法過程拉回可重複的範圍。
這個搬法的失效條件有四個。第一,牌桌的機率是已知的(52 張牌、組合數可數),現實的機率是估計出來的,甚至「機率」這個概念本身都有爭議(你不知道自己不知道什麼),所以任何以估計機率為輸入的公式都要用敏感度分析當保險:把機率往壞處移 30% 再看結論是否翻面,如第七節那樣算出翻轉門檻。第二,牌桌對手是玩家,市場的對手是所有其他人與資訊:你的每一筆交易,另一邊有人願意當對手,所以要先問「為什麼他願意以這個價格賣給我」,也就是逆向選擇。若你的優勢只是公開資訊,通常已經反映在價格裡;這跟主張與證據的態度一致:先問證據,再問結論。第三,現實有交易成本、稅與流動性,等於牌桌上的抽水,會讓小優勢直接歸零:優勢 0.5% 的策略碰到 0.6% 的往返成本就是負的。第四,人有情緒:損失厭惡、過度自信與事後諸葛,會讓你的機率標註系統性偏高,所以校準要用 Brier 或命中率桶來檢驗,不能只憑感覺。
對手(在這裡是市場與你自己的偏誤)的反制是這樣運作的:你的 EV 越明顯,越多人會做同一件事,把優勢套利掉;你的自信越高,越容易把估計當成事實並押得過大。預設值因此是:優勢假設從保守端取,部位大小由下檔決定,重大決定先寫日誌,並且用 30 到 50 次以上的紀錄(而非一兩次的結果)來修正自己的估計。
✍️ 今日練習
紙筆與計算機,15 到 20 分鐘。
- 卡 1(Kelly):平賠賭局,勝率 p = 0.60。算 f*、g(f*)、g(0.5f*)(押一半)、g(2f*)(押兩倍),並判斷哪一個押法成長率為負。
- 卡 2(結果導向):你做了 10 次勝率 80% 的決定。算「全贏」的機率,以及「至少輸一次」的機率,並說明當你輸了一次,該不該修改決策流程。
- 卡 3(EV 表):挑一個你近期真實面對的決定(換工作、買東西、投資一個小部位、搬家都行),列出三個情境(好、中、壞)、各自的機率與幅度,算 EV;再加上壞情境的額外成本,重算一次;最後算翻轉門檻:好情境的機率要多高,選項 B 才不輸選項 A。
- 卡 4(決策日誌):用第六節的七欄格式,把卡 3 寫成一筆日誌,並在事前寫下退出條件與「我最可能錯在哪裡」。
- 回頭挑一個過去的重大決定,把它放進四格表(好或壞決策、好或壞結果),寫下你當初用的是結果導向還是過程導向。
自我檢查
- 卡 1:f* = 0.20;g(0.20) = +0.02014(約 +2.03%/回合);g(0.10) = +0.01504(約最大值的 74.7%);g(0.40) = −0.00245,成長率轉負。我能說出為什麼押多了比押少了更危險。
- 卡 2:全贏 = 0.8^10 = 10.74%,至少輸一次 = 89.26%;輸一次不該改流程,因為 10 次中至少輸一次本來就近九成。我能說出需要約 400 次才能分辨 5 個百分點的優勢。
- 卡 3:我的 EV 表有分布(最可能的情境不是平均)、有壞情境的額外成本、有翻轉門檻;如果用本課例子驗算,加入失敗成本 40 後 EV(B) = 84.5 + 340p,翻轉門檻 p = 10.44%。我能指出我的決定中最不可估準的那個機率,並寫出若它偏差 30% 結論是否翻面。
🔗 延伸
- 德州撲克專欄 · 銀彈管理與心態——30 到 50 個買入的來源,以及為什麼銀彈是對勝率估計誤差的緩衝。
- 德州撲克專欄 · 心理與傾斜管理——結果導向偏誤、傾斜與複盤的牌桌版,是決策日誌的前身。
- Wikipedia · Kelly criterion——Kelly 公式的推導、賠率與勝率的一般式,以及分數 Kelly 的討論。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 40 課:機率思維外溢,牌桌 EV 用在投資與生活決策。
請用下面的資料幫我檢查我的算法(只是教學練習,不是投資建議,請不要推薦任何買賣標的):
- 我面對的決定:[例如 換工作 / 一個小額投資部位 / 搬家]
- 選項 A(基準):[描述與年化或總價值]
- 選項 B:好、中、壞三個情境各自的機率與幅度:[...]
- 壞情境的額外成本(空窗、交易成本、時間):[...]
- 我的緩衝:[預備金可撐幾個月、固定支出、負債]
請依序回答:
1. 算出選項 B 的 EV;再加入壞情境的額外成本重算,並算出好情境機率的翻轉門檻,請給計算過程。
2. 最可能的單一情境(眾數)是什麼?它比 A 好還是差?EV 與眾數落差大時,代表這個決定高度依賴哪一個難以估準的機率?
3. 如果把我最沒把握的那個機率往壞處移 30%,結論會不會翻面?
4. 這個決定是可逆還是不可逆?如果錯了,我最快多久能回到原點?請用我的緩衝判斷壞情境會不會觸發連鎖。
5. 幫我設計一筆決策日誌(七欄:決策、替代方案、情境機率、部位大小理由、最壞情境與退出條件、情緒與資訊狀態、事後評分),並提醒我結果與過程要分開評。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,也請提醒我哪些假設超出牌桌機率已知、可重複、不會出局這三個前提。