PCA 與 Nelson-Siegel——同一件事的無約束版與有約束版

把 PCA 放 A 級、Nelson-Siegel 放 D 級，是整張圖落差最大的一組相鄰判斷，而這兩者解的是同一個問題：殖利率曲線上幾十個高度相關的到期點，能不能壓成三個數字。 兩者連答案都一樣——水準、斜率、曲度。差別只在負載（loadings）是讓資料決定，還是事先指定。這個差別有真實的取捨，但不足以撐起四個等級。

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📖 PCA

給定共變異數矩陣 $\mathbf{\Sigma }$，做特徵分解：

$$\mathbf{\Sigma }=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{\top },\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n)$$

第 k 個主成分 ${\mathbf{q}}_k$ 解釋的變異比例為 ${\lambda }_k/{\sum }_i{\lambda }_i$。等價的最佳化陳述是：在所有 k 維線性投影中，前 k 個主成分保留的變異數最大（或說重建誤差最小）。

殖利率曲線的三因子

Litterman 與 Scheinkman（Journal of Fixed Income 1(1), 1991, 54–61）發現固定收益證券報酬的多數變異可以用三個因子解釋，並給了它們沿用至今的名字：

主成分	負載形狀	名稱	經濟意義
PC1	各到期日近乎一致	水準	整條曲線平行移動
PC2	短端與長端反向	斜率	曲線變陡或變平
PC3	中段與兩端反向	曲度	蝴蝶形變化

三個因子合計解釋的變異比例，二手來源給出的數字從「超過 95%」到「99%」不等——原論文的精確數字本篇未取得。無論何者，結論的實務意涵相同：債券組合的風險報表只需要三個敏感度，而不是每個到期點一個。

這直接改變了避險的做法：不再逐點中性化，而是對水準、斜率、曲度三個暴險各設限額。

後續複製結果不同

有研究以更長的美債日資料重做，得到與 1991 年原文不同的結果，並把差異歸因於金融市場與經濟條件的非定態性。三因子結構是穩健的，三因子的精確形狀與解釋比例不是。

PCA 的其他金融用途

用途	做法
風險模型建構	從大量資產報酬萃取統計因子，作為共變異數矩陣的低秩近似
相關矩陣去雜訊	隨機矩陣理論（Marchenko-Pastur）界定「純雜訊」特徵值的分布範圍，落在範圍內的成分視為雜訊濾掉
統計套利	把報酬對前 k 個主成分迴歸，交易殘差
多重共線性處理	主成分迴歸：先降維再迴歸

PCA 的五個限制

1. 正交是人為的。 主成分按構造互相正交，但真實的經濟驅動因子沒有理由正交。
2. 不具尺度不變性。 用共變異數矩陣與用相關矩陣會得到不同結果，對單位敏感。
3. 特徵值相近時特徵向量不穩定。 ${\lambda }_2\approx {\lambda }_3$ 時，PC2 與 PC3 會在樣本之間互相旋轉甚至交換，係數的時間序列會出現虛假的跳躍。
4. 符號不定。 ${\mathbf{q}}_k$ 與 $-{\mathbf{q}}_k$ 等價，跨期比較前必須固定符號慣例。
5. 變異大不等於報酬相關。 PC1 解釋最多變異，但未必解釋任何報酬橫斷面差異。降維的目標函數（重建誤差）與使用者的目標函數（預測報酬）不同——這是 PCA 在因子投資上最常見的誤用來源。

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📖 Nelson-Siegel（1987）

把殖利率直接寫成到期期限 $\tau$ 的參數化函數：

$$y(\tau )={\beta }_0+{\beta }_1\left(\frac{1-e^{-\lambda \tau }}{\lambda \tau }\right)+{\beta }_2\left(\frac{1-e^{-\lambda \tau }}{\lambda \tau }-e^{-\lambda \tau }\right)$$

三個負載的形狀決定了三個係數各自的意義：

• ${\beta }_0$ 的負載恆為 1：水準，也是 $\tau \to \infty$ 的極限殖利率。
• ${\beta }_1$ 的負載由 1 單調遞減到 0：只影響短端，即斜率。
• ${\beta }_2$ 的負載在兩端為 0、中段隆起：曲度，$\lambda$ 決定隆起的位置。

負載形狀與 PCA 解出來的三個主成分形狀幾乎相同——這不是巧合，是同一個經濟結構的兩種表示。

Svensson（1994）擴展加入第二個駝峰項，允許更複雜的曲線形狀，代價是校準更困難。

Diebold-Li：加上動態

Diebold 與 Li（Journal of Econometrics 130, 2006, 337–364）讓三個係數隨時間變動，成為潛在因子 ${\beta }_{0t},{\beta }_{1t},{\beta }_{2t}$，各自套 AR 模型，預測因子即可預測整條曲線。他們報告在長期預測上明顯優於多種標準基準。

他們自己說明了與 PCA 路線的差別：Litterman-Scheinkman 是無約束的因子分析，而 Nelson-Siegel 事先固定負載，這使得因子能被極精確地估計。

為什麼事先固定負載反而是優點

這是這篇的核心論點，有三個互相獨立的理由：

第一，它給的是函數不是向量。 PCA 的輸出只在資料網格上有定義；要知道 7.3 年期的殖利率，得另外插值。Nelson-Siegel 的輸出是一條定義在整個 $\tau$ 上的平滑曲線，可以在任意期限求值，也可以外插。這對定價任意到期日的現金流是硬需求。

第二，資料少的時候有約束才估得準。 實際市場上可能只有十幾檔流動公債，價格還帶雜訊。同時估負載與因子是一個不穩定的問題；固定負載之後，剩下的是一個三參數的（給定 $\lambda$ 則為線性）最小平方問題，非常穩定。

第三，係數有跨期可比性。 PCA 的特徵向量每次重估都會變，${\beta }_t$ 不會——它的時間序列可以直接拿來建模與預測，這正是 Diebold-Li 能成立的前提。

誰在用

BIS 的零息殖利率曲線技術文件（BIS Papers No. 25，2005）記載，多數提供資料的中央銀行採用 Nelson-Siegel 方法或其 Svensson 擴展。德國聯邦銀行每個營業日以 NSS 擬合殖利率。有研究進一步主張，中央銀行若把殖利率曲線用於貨幣政策判斷，應偏好彈性較低的 Nelson-Siegel 而非 Svensson，因為後者校準不穩。

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📖 取捨對照

	PCA	Nelson-Siegel
負載	由資料估計	事先指定（僅 $\lambda$ 待定）
樣本內擬合	在同維度下最優	略差
任意期限求值	不行，需另外插值	可以，輸出是函數
外插到樣本外期限	不行	可以（但需謹慎）
因子的跨期可比性	差（特徵向量會旋轉）	好
少量吵雜資料下的穩定性	差	好
適用範圍	任何高維相關資料	殖利率曲線（及類似的期限結構）

兩者不是競爭關係。PCA 回答「這批資料的主要變動方向是什麼」，適合探索與風險分解；Nelson-Siegel 回答「給我一條能在任意期限求值的曲線」，適合定價與每日曲線建置。

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📖 A 級與 D 級合不合理

PCA 在 A 級合理。 它通用、有封閉解、有明確的最優性陳述，但它是描述工具而非預測工具，S 級留給更基礎的東西是對的。

Nelson-Siegel 在 D 級不合理，而且我認為這是整張圖第二站不住腳的一格（第一是 Trees）。它每天被全球多數中央銀行用於生產官方殖利率曲線，是這張圖上實際生產部署最廣泛的模型之一。

它會落在 D 級，我推測原因是它不是一個「交易模型」——它不產生訊號、不定價衍生品、不預測報酬，只是把一堆債券價格變成一條乾淨的曲線。但「不產生 alpha」與「模型差」是兩回事。 用能不能賺錢當作單一評分軸，必然會把所有基礎設施型的模型打到底層，而這類模型恰恰是其他一切的前提。

延伸：非線性版本的降維見 Autoencoder——線性 autoencoder 在均方誤差下張出的子空間與 PCA 相同，這是理解它的最佳切入點。

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🔍 待解問題

• Litterman-Scheinkman 三因子的精確解釋變異比例，本篇只取得「95% 以上」與「99%」兩種二手說法，未核對 1991 年原文。
• BIS Papers No. 25 是 2005 年文件，國別方法清單很可能已過時；缺乏更新的逐國調查。
• 隨機矩陣理論去雜訊在實務風險模型中的採用程度，本篇未查證。

🔗 參考連結

• BIS Papers No. 25, Zero-coupon yield curves: technical documentation
• Diebold & Li, Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields（NBER w10048）
• Penn 工作論文版 Diebold-Li（02-026 PDF）
• R-bloggers, Understanding PCA 3 Factors of the Yield Curve

🕒 更新紀錄

• 2026-11-09：建立。