上一課把位置量化成權益實現率與 SPR,算出有位置比沒位置多拿多少。今天回到混合測驗:10 題全新情境,專挑近期少考的工具(ICM、阻斷牌、超池下注的 MDF、抽水、M 值、桌選、Hi-Lo 真數、凱利),德州撲克 7 題、廿一點與機率 3 題,每題先自己算,再看逐題詳解。自算結論先講(全是紙上計算,沒有求解器輸出): 10 題答案依序是 57.4%、SPR 1.93、36 種組合、40%、52.6%、M 值 6.0、4.8 對 4.32 bb/小時、真數 +4.4、凱利過度下注 -0.10%、10.9%。本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議;台灣沒有合法的現金撲克賭場,線上賭博有法律風險,所有題目都當紙上練習。
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作答規則:紙筆、每題限時 60 秒,先寫答案再看詳解;答錯的題把「錯在哪一步」寫下來。題目數字都是我設定的情境,真實牌桌不會剛好長這樣。這 10 題刻意避開 11 月 8 日與 11 月 3 日已出過的題型(基本底池賠率、同花聽牌、一般 MDF、保險、Blackjack 機率等)。
德州撲克 7 題
第 1 題(ICM)。 錦標賽剩 3 人,籌碼 5000、3000、2000,獎金 50%、30%、20%(三人都有錢)。你是 2000 的短碼,對手 5000 的大碼全下 2000 有效籌碼,你跟注就是對賭。你的 ICM 權益多少?要多少勝率才該跟?(忽略盲注與前注)
詳解:先算你現在的 ICM 權益。總籌碼 10000。你拿第一的機率 = 2000 ÷ 10000 = 0.2。拿第二:大碼先贏 0.5 後你在剩下兩人(5000 + 2000)中贏 2000 ÷ 5000 = 0.4,得 0.2;中碼先贏 0.3 後你贏 2000 ÷ 7000 = 0.2857,得 0.0857;合計 0.2857。拿第三 = 1 − 0.2 − 0.2857 = 0.5143。權益 = 0.5 × 0.2 + 0.3 × 0.2857 + 0.2 × 0.5143 = 0.1 + 0.0857 + 0.1029 = 28.86%(籌碼占比只有 20%)。跟注贏了:你 4000、其他兩人各 3000,第一 0.4,第二 0.3 × 4000 ÷ 7000 × 2 = 0.3429,第三 0.2571,權益 = 0.2 + 0.1029 + 0.0514 = 35.43%。跟注輸了:你出局拿第三名 20%。損益兩平勝率 x:20% + x × (35.43% − 20%) = 28.86%,x = 8.86 ÷ 15.43 = 57.4%。純籌碼 EV 只要 50%,多出的 7.4 個百分點就是 ICM 稅。結論:籌碼的價值是凹函數,保命的價值大於等額的籌碼。
第 2 題(4-bet 底池 SPR)。 100 bb 有效籌碼。你在槍口位開 2.5 bb,按鈕 3-bet 到 8 bb,你 4-bet 到 20 bb,按鈕跟注,盲注都棄牌。翻牌圈 SPR 多少?如果你只是跟 3-bet,SPR 又是多少?
詳解:4-bet 後底池 = 20 + 20 + 1.5(小盲 0.5 + 大盲 1)= 41.5 bb,後手 100 − 20 = 80 bb,SPR = 80 ÷ 41.5 = 1.93。若只跟注 3-bet:底池 = 8 + 8 + 1.5 = 17.5 bb,後手 92 bb,SPR = 92 ÷ 17.5 = 5.26。SPR 低於 2 代表一個三分之二池的下注就把你推到幾乎全下,頂對以上的牌基本上就是「翻牌圈承諾」,所以 4-bet 的範圍要先想好「被跟注後我願意把整個底池輸贏綁在哪些牌上」,而不是翻牌後才想。
第 3 題(阻斷牌)。 河牌 K♥ 9♥ 4♥ 7♠ 2♦。你持 A♥ J♣,沒有成牌,底池 60 bb,你考慮下注 30 bb 詐唬。對手若持同花就必跟。他的同花組合有幾種?有你那張 A♥ 與沒有的差別?
詳解:紅心共 13 張,公共牌占 3 張,你手上占 1 張,對手可用的紅心剩 13 − 3 − 1 = 9 張,同花組合 = C(9,2) = 36 種。沒有阻斷時是 C(10,2) = 45 種。你少了 9 種,而且堅果同花(A♥ 搭另一張紅心)整個消失。假設他其他強牌 60 種組合一定跟,弱牌 120 種一定棄,損益兩平棄牌率 = 30 ÷ (60 + 30) = 33.3%。有阻斷:弱牌比例 = 120 ÷ (36 + 60 + 120) = 55.6%;沒阻斷:120 ÷ (45 + 60 + 120) = 53.3%。兩者都遠高於 33.3%,阻斷讓棄牌率多 2.3 個百分點。阻斷牌只是微調,不是創造詐唬的理由;真正決定詐唬能不能賺的是對手範圍裡有多少弱牌。
第 4 題(超池下注的 MDF)。 河牌底池 80 bb,對手下注 120 bb(1.5 倍底池)。你的最低防守頻率多少?他的下注範圍裡,純詐唬占多少比例才讓你跟或不跟都一樣?
詳解:MDF = 80 ÷ (80 + 120) = 40%。詐唬比例 = 120 ÷ (80 + 2 × 120) = 120 ÷ 320 = 37.5%。驗算:你跟注的所需權益 = 120 ÷ (80 + 120 + 120) = 37.5%,與詐唬比例一致。若他的下注範圍有 40 種組合,價值 25、詐唬 15,15 ÷ 40 = 37.5%。注意方向:下注越大,你防守得越少(40%),但他能帶的詐唬比例也越高;所以面對超池下注,棄牌是正常的,多數時候該棄的牌占 60%。
第 5 題(抽水)。 現金桌抽水 5%、每手上限 2 bb,你在 50 bb 的底池(各出 25 bb)裡與對手勝率各 50%。一次抽水後,這手的 EV 是多少?你要多少勝率才打平?
詳解:50 bb 的 5% = 2.5 bb,超過上限,所以抽水 = 2 bb。贏的人拿 48 bb。EV = 0.5 × 48 − 25 = −1 bb。打平勝率 = 25 ÷ 48 = 52.1%(無抽水時是 50%)。這筆 2 bb 的稅,在 100 手的樣本裡若有 8 個這樣的底池,就吃掉 8 × 1 = 8 bb,足以讓一個勝率 +5 bb/100 手的玩家變成虧損。抽水是長期勝率的固定扣款,所以「邊際」玩法在有抽水的桌子上是負的。
第 6 題(M 值)。 9 人桌,盲注 400/800,每人前注 100,你有 12600 籌碼。M 值多少?落在哪一區?
詳解:每圈成本 = 400 + 800 + 9 × 100 = 2100。M = 12600 ÷ 2100 = 6.0。以 Harrington 的分區,M 在 6 到 10 之間是橘區:已經不適合花時間做小底池,範圍要偏向「全下或棄牌」的二選一,尤其是前面沒人進池時。M 值比 bb 數更準,因為它把前注算進去;同樣 15 bb,前注重的桌子 M 值更低。
第 7 題(桌選與開桌數)。 線上現金桌,每桌每小時 60 手。你有兩種安排:專心開 4 桌,並做桌選,平均勝率 2.0 bb/100 手;開 8 桌,桌選與專注力下降,平均勝率 0.9 bb/100 手。哪一種每小時期望較高?
詳解:4 桌:4 × 60 × 0.02 = 4.8 bb/小時。8 桌:8 × 60 × 0.009 = 4.32 bb/小時。少開桌反而高,而且變異也較小。原因是每桌勝率下降得比桌數增加得快。這個結論的前提是「勝率下降幅度」是我設定的,你要自己記帳量出每個桌數的實際勝率。銀彈立場:桌數翻倍,每小時的標準差跟著變大,銀彈要用更高的買入數。
廿一點與機率 3 題
第 8 題(Hi-Lo 真數)。 6 副牌的牌靴,已經發出約 3.5 副,流水計數(running count)為 +11。真數多少?用常見經驗法則,玩家優勢約多少?若剩牌估計誤差 ±0.5 副,真數範圍是多少?
詳解:剩牌 = 6 − 3.5 = 2.5 副。真數 = 11 ÷ 2.5 = +4.4。經驗法則:玩家優勢 ≈ −0.5% + 0.5% × 真數 = −0.5% + 2.2% = 約 +1.7%(只是粗估,實際依規則而異,如賠率與是否可投降)。剩牌若是 3 副,真數 = 11 ÷ 3 = 3.67;剩 2 副,真數 = 11 ÷ 2 = 5.5。所以估牌誤差比算術本身更重要。這個優勢要靠大量手數才會顯現,且多半被賭場反制(洗牌、禁止入場)。
第 9 題(凱利過度下注)。 你認為一個賠率 1 比 1 的賭局贏的機率是 55%,依凱利公式下注 f = 2p − 1 = 10% 的銀彈。但真實勝率其實是 52%。長期每次下注的資金對數成長率是多少?如果改下 4% 呢?
詳解:成長率 g(f) = p × ln(1 + f) + (1 − p) × ln(1 − f)。p = 0.52、f = 0.10:0.52 × ln 1.1 + 0.48 × ln 0.9 = 0.52 × 0.09531 + 0.48 × (−0.10536) = 0.04956 − 0.05057 = −0.10%。真實凱利比例是 2 × 0.52 − 1 = 4%,下 4% 時 g = 0.52 × ln 1.04 + 0.48 × ln 0.96 = 0.52 × 0.03922 + 0.48 × (−0.04082) = 0.02040 − 0.01960 = +0.08%。勝率其實是正的(52%),但把它高估成 55% 而下 10%,資金長期是萎縮的。 結論:你對優勢的估計一定有誤差,所以實務上用半凱利或更小。
第 10 題(機率)。 你拿同花色的起手牌(如 K♣Q♣)。翻牌圈剛好中兩張同花(同花聽牌)的機率,以及剛好三張都同花(直接成同花)的機率?
詳解:剩牌 50 張,該花色還剩 11 張,其餘 39 張。剛好兩張同花 = C(11,2) × 39 ÷ C(50,3) = 55 × 39 ÷ 19600 = 2145 ÷ 19600 = 10.9%。三張同花 = C(11,3) ÷ 19600 = 165 ÷ 19600 = 0.84%。所以約每 9 次有 1 次翻牌拿到同花聽牌,每 119 次有 1 次直接成同花。這是進場前估算同花牌價值的基礎,不能高估。
🧠 為什麼是這樣
這 10 題的底層其實只有五種結構:第 1、5 題是「對自己的錢的價值函數不是線性的」(ICM 與抽水都在扭曲純 EV);第 2、6 題是「用比例而不是絕對數字做決策」(SPR 與 M 值把底池與盲注大小標準化);第 3、10 題是組合計數;第 4 題是賠率的對偶(下注者與跟注者看同一個數字);第 7、8、9 題是估計誤差與資金管理(桌數的勝率估計、剩牌估計、勝率估計),三題的共同教訓是輸入有誤差,結論就要保守。
失效條件:第 1 題假設對手可以被 ICM 模型簡化(忽略盲注、前注與位置);第 3 題假設對手對各類牌的行為是我設定的固定頻率,實戰的範圍更模糊;第 6 題的分區是經驗法則;第 8 題的優勢公式只是粗估;第 9 題的 52% 是我設定的「真實」,你在實戰中永遠不知道真實勝率。
資金立場:任何與錢有關的練習只用輸得起、與生活費分開的錢,先訂單次上限與停損。第 5、9 題都顯示,小錯誤(2 bb 抽水、3 個百分點的勝率高估)在長期都會累積成大虧損。台灣沒有合法現金撲克賭場,本文只做機率訓練。
✍️ 今日練習
用 15 到 20 分鐘,紙筆與計算機,不看詳解:
- 第 1 題改成籌碼 4000、4000、2000,獎金一樣 50/30/20,算 2000 短碼的 ICM 權益。
- 第 5 題的底池與抽水比例不變,把每手上限改為 1 bb,重算打平勝率。
- 第 6 題改成盲注 300/600、前注 75、9 人桌、籌碼 7875,算 M 值。
- 第 9 題改成真實勝率 53%,算凱利比例,並算下 12% 的成長率(近似值即可)。
自我檢查
- 第 1 題:第一名機率 0.2,第二名 = 0.4 × (2000 ÷ 6000) × 2 = 0.2667,第三名 0.5333,權益 = 0.1 + 0.08 + 0.1067 = 28.67%(高於籌碼占比 20%)。
- 第 2 題:上限 1 bb:打平勝率 = 25 ÷ 49 = 51.0%。
- 第 3 題:每圈成本 = 300 + 600 + 9 × 75 = 1575,M = 7875 ÷ 1575 = 5.0。
- 第 4 題:凱利 = 2 × 0.53 − 1 = 6%;下 12%(兩倍凱利)的成長率約 0(−0.002%),也就是「兩倍凱利」讓成長率歸零,但波動大增。
🔗 延伸
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 75 課:複習循環 · 混合測驗。這是教學練習,不是下注、買入或違規建議。
我的數字:
- 剩 3 人,籌碼 [5000 / 3000 / 2000],獎金 [50% / 30% / 20%],我是 [2000]。
- 河牌底池 [80] bb,對手下注 [120] bb。
- 6 副牌,流水計數 [+11],剩牌 [2.5] 副。
請依序回答:
1. 用 Malmuth-Harville 算我的 ICM 權益,以及全下對賭的損益兩平勝率,列出過程。
2. 算 MDF 與無差異詐唬比例。
3. 算真數與粗估的玩家優勢,說明剩牌估計誤差的影響。
4. 把「算的」「模型假設」「猜的」分開列。
不要給我下注、買入或違規建議,也不要編造研究、數據或連結。台灣沒有合法的現金撲克賭場,線上賭博有法律風險,法規請我自行諮詢專業。