第 70 課把 169 格起手牌的權益量成了數字,今天換成測驗:10 題快問快答,德州撲克 7 題、廿一點與機率 3 題,涵蓋期望值、底池賠率、outs 與 2/4 法則、combos、最低防守頻率、變異數與銀彈管理、隱含賠率、廿一點基本策略。每題都要先自己寫出答案再看詳解,目的是檢查哪些觀念還停在「看過」、哪些已經能在 30 秒內算出來。所有數字都附計算過程;本文是機率訓練,不構成下注建議,台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,只能當成紙上練習。
📖 學
先列題目,答案在後面。建議拿紙筆,每題限時 1 分鐘。
第 1 題(EV):一個決策有 45% 機率淨賺 150、55% 機率淨虧 100。期望值是多少?若你的可用資金只有 1000,這筆算不算好決策?
第 2 題(底池賠率):翻牌圈底池 90,對手全押 60,你持有同花聽牌(翻牌後四張同花色,共 9 張 outs),跟注會把你全押,不再有後續下注。需要多少勝率才夠?實際勝率多少?跟注的 EV 是多少?
第 3 題(outs 與 2/4 法則):翻牌圈你持有同花聽牌加兩頭順子聽牌,共 15 張 outs(已扣除重複計算的牌)。用「乘 4」估計到河牌的勝率是多少?精確值又是多少?
第 4 題(combos):翻牌是 K♠ 7♦ 2♣,你手上有 A♣。對手範圍裡的 AK 有幾個 combos?77 有幾個 combos?
第 5 題(MDF):你在河牌下注 75,底池原本 100。對手的最低防守頻率是多少?你的純詐唬至少要多少比例被棄牌才不虧?
第 6 題(變異數與銀彈):某玩家長期勝率 5 bb/100 手,標準差 80 bb/100 手。打 10,000 手後,結果為負的機率約多少?這對銀彈要多少個買入才安全有什麼啟示?
第 7 題(隱含賠率):你持 44,跟注 20 去看翻牌,想中暗三條。中三條的機率是多少?至少要在中牌時多贏多少,跟注才不虧?
第 8 題(廿一點基本策略):你是硬 12 點,莊家明牌 6。要補牌還是停牌?補牌爆牌機率多少?
第 9 題(廿一點保險):莊家明牌 A,你要不要買保險(賠率 2 比 1)?以一副牌剛發完、沒有其他資訊算 EV。
第 10 題(機率):單副牌下,玩家一發牌就拿到 Blackjack 的機率是多少?若賭場把 3 比 2 的賠率改成 6 比 5,每手期望值少多少?
詳解
第 1 題:EV = 0.45 × 150 + 0.55 × (−100) = 67.5 − 55 = +12.5,正期望值。但「好決策」還要看銀彈:單次最多虧 100,占 1000 的 10%,連輸 3 次(機率 0.55³ ≈ 16.6%)就是 30%,已經是過大的單次風險,實務上建議單一決策風險控制在可用資金的 1% 到 2%。EV 為正只是必要條件,不是充分條件。
第 2 題:跟注 60 之後底池變 90 + 60 + 60 = 210,贏的時候淨賺 150(底池 90 加對手那 60)。所需勝率 = 60 ÷ 210 = 28.57%。實際勝率:未知牌 47 張,兩張牌都沒補到的機率 = (38/47) × (37/46) = 1406/2162 = 0.6503,所以補到至少一張 = 1 − 0.6503 = 34.97%,高於門檻。EV = 0.3497 × 150 − 0.6503 × 60 = 52.46 − 39.02 = +13.4,可以跟。注意這個算法假設全押、之後不再下注;若還有後續街,要另外考慮隱含賠率與反向隱含賠率。
第 3 題:乘 4 = 15 × 4 = 60%。精確值:兩張牌都沒補到的機率 = (32/47) × (31/46) = 992/2162 = 0.4588,所以補到 = 54.1%。2/4 法則在 outs 超過 8 張時會高估,常用修正是「乘 4 再減(outs − 8)」:60 − 7 = 53%,很接近 54.1%。高估的原因是乘 4 近似了「第二張補到」的機率,但 outs 越多,兩次補到重複計算的部分越大。
第 4 題:AK 需要 A 與 K 各一張:場上 K♠ 已出,K 剩 3 張;A 四張你拿走 A♣,剩 3 張。combos = 3 × 3 = 9(沒有阻擋時是 4 × 3 = 12)。77:7♦ 已出,剩 3 張,C(3,2) = 3。結論:你持 A 讓對手持 AK 的組合少了四分之一,這是阻擋牌效應,對決定要不要抓詐唬或詐唬很重要。
第 5 題:MDF = 底池 ÷(底池 + 下注)= 100 ÷ 175 = 57.14%,代表對手要防守超過 57% 的範圍,你的詐唬才不能無腦獲利。純詐唬的損益兩平棄牌率 = 下注 ÷(底池 + 下注)= 75 ÷ 175 = 42.86%:對手棄牌超過這個比例,詐唬就賺。這兩個數字互補(57.14 + 42.86 = 100),所以一邊是「你要防多少」、另一邊是「對手要棄多少你才賺」。
第 6 題:10,000 手 = 100 個「百手」。期望 = 5 × 100 = 500 bb;標準差 = 80 × √100 = 800 bb。結果為負的 z 值 = (0 − 500) ÷ 800 = −0.625,查常態分布得機率約 26.6%。也就是說,明明是長期贏家,打一萬手仍有約四分之一的機率是輸的。實務啟示:一般建議現金桌至少備 30 個買入(每個 100 bb 即 3000 bb)以上,且只動用輸得起、與生活費分開的錢,不借錢、不加槓桿。
第 7 題:場上剩 50 張未知牌,其中 2 張 4,翻牌三張都不是 4 的機率 = C(48,3) ÷ C(50,3) = 17296 ÷ 19600 = 0.8824,所以中暗三條 = 11.76%(約 7.5 比 1)。損益兩平:0.1176 × X ≥ 20,X ≥ 170。也就是中牌時平均至少要多贏 170(約 8.5 倍跟注額),且不計沒中牌時偶爾靠詐唬贏回的部分。對手籌碼深度不夠、位置在你前面、你很難被讀牌,這三項才讓這個門檻現實;否則小對子在淺籌碼下不值得跟。
第 8 題:硬 12 對 6 要停牌。補牌時只有 10 點牌(10、J、Q、K,共 16/52)會爆:16/52 = 30.8%。但停牌的理由不是你怕爆,而是莊家明牌 6 是最弱的明牌,莊家爆牌率約 42%,你停牌讓莊家替你爆牌的價值大於你多拿一張牌的收益。基本策略本質是 EV 比較,不是「怕不怕爆」。
第 9 題:莊家暗牌是 10 點牌的機率 = 16/52 = 30.77%(約 4/13)。買保險:贏賠 2、輸賠 1,EV = 2 × 0.3077 − 1 × 0.6923 = 0.6154 − 0.6923 = −0.077,即每 1 元保險約虧 7.7 分。結論:不買。只有在算牌的真數夠高(10 點牌比例超過三分之一)時才有正 EV,一般基本策略玩家一律不買。
第 10 題:Blackjack = 一張 A + 一張 10 點牌。機率 = 2 × (4/52) × (16/51) = 128/2652 = 4.83%(多副牌略低,約 4.75%)。3 比 2 改 6 比 5,每次 Blackjack 少賺 1.5 − 1.2 = 0.3 單位,所以每手期望值少 0.3 × 0.0483 = 約 1.45% 單位。基本策略下的莊家優勢大約只有 0.5%,這個改動等於讓莊家優勢變成三倍以上。這是選桌時最容易踩的隱形成本。
🧠 為什麼是這樣
這 10 題幾乎都落在同一個結構:先算「需要多少」,再算「實際有多少」,最後比較。底池賠率(第 2 題)、隱含賠率(第 7 題)、MDF 與詐唬損益兩平(第 5 題)、保險(第 9 題)都是同一個比較:門檻 vs 實際機率。EV(第 1 題)是把這種比較推廣到有多種結果的情形。如果你能先寫出門檻,決策就從「感覺」變成「算術」。
這套算術也有明確的邊界。第一,2/4 法則(第 3 題)是近似,outs 超過 8 張要修正,而且 outs 本身常含「不乾淨」的牌(補到卻輸給更大的同花或葫蘆),實戰要打折。第二,MDF(第 5 題)假設對手只看賠率,真實對手的範圍有強弱結構,所以 MDF 是「下限」而非要照做的頻率。第三,隱含賠率(第 7 題)的 170 是門檻,不是預測;對手是否真的願意在你中牌時付那麼多,取決於他的範圍與籌碼深度。第四,廿一點的保險與 3 比 2 賠率(第 9、10 題)是規則依賴的:規則變了,整張策略表的 EV 都會移動。
銀彈立場:第 1 題與第 6 題提醒的是同一件事,正 EV 不保證你撐得到長期。第 6 題顯示一個長期贏家打一萬手仍有約 26.6% 機率是輸的,所以只用輸得起、與生活費分開的錢;不借錢、不加槓桿;單次風險控制在可用資金的 1% 到 2%;台灣沒有合法的現金撲克賭場,不鼓勵到任何非法場合真金白銀實戰,本課全是紙上演練。
✍️ 今日練習
20 分鐘,紙筆即可。
- 不看詳解,把第 1 到 10 題重做一次,每題寫下「門檻」「實際」「結論」三行;計時,超過 1 分鐘的題目圈起來。
- 把第 3 題改成:翻牌圈 12 張 outs,算乘 4 估值、修正估值(乘 4 減(12 − 8))與精確值 1 − (35/47)(34/46),比較哪個誤差最小(精確值應為 1 − 1190/2162 = 44.96%)。
- 把第 5 題的下注改成底池 2/3(100 池下注約 67)和 1.5 倍底池(下注 150),重算 MDF 與詐唬損益兩平棄牌率,觀察尺度越大 MDF 越低、損益兩平棄牌率越高。
- 針對第 6 題,算勝率 3 bb/100、標準差 90 bb/100,打 20,000 手後結果為負的機率(提示:期望 = 3 × 200 = 600,標準差 = 90 × √200 ≈ 1273,z ≈ −0.47)。
自我檢查
- 我能在不看筆記的情況下,寫出底池賠率、MDF、詐唬損益兩平棄牌率三個公式。
- 我能說明 2/4 法則在 outs 超過 8 張時為何高估,並給出一個修正方式。
- 我能用「EV 為正,但銀彈不夠」解釋為什麼單次風險要控制在可用資金的 1% 到 2%。
🔗 延伸
本課以自算與公式為主,外部連結從略;若要查證廿一點規則差異(3 比 2 與 6 比 5、莊家 17 點是否補牌),請以實際賭場或遊戲的公告規則為準。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 71 課:複習循環 · 混合測驗(EV、底池賠率、outs 與 2/4 法則、combos、MDF、變異數與銀彈、隱含賠率、廿一點基本策略與機率)。這是教學練習,不是下注建議。
我的答案與計算:
- 第 2 題:底池 90、對手全押 60、9 張 outs;門檻 60/210 = 28.57%,實際 1 − (38/47)(37/46) = 34.97%,EV 約 +13.4
- 第 3 題:15 張 outs,乘 4 為 60%,精確值 54.1%
- 第 5 題:下注 75 進底池 100,MDF 57.14%,詐唬損益兩平棄牌率 42.86%
- 第 6 題:5 bb/100、標準差 80 bb/100,一萬手後為負的機率約 26.6%
- 第 9 題:莊家 A 明牌買保險 EV 約 −0.077
請:
1. 逐題檢查我的算式與結論,把「公式或定義」「我的計算」「你的推論」分開列出;如果我算錯,指出錯在哪一步。
2. 針對 2/4 法則與 MDF 各舉一個它「失效」的情境,說明原因。
3. 再出 5 題同類型的快問快答(附答案與計算過程),不要編造研究、數據或連結。
4. 提醒我:台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,資金只用輸得起的錢,不借錢、不加槓桿。