揚雄《太玄》把《周易》的二進位換成三進位：四重三分得 81 首，每首 9 贊，共 729 贊，兩贊一晝夜，合 364.5 日。太初曆的歲實是 365又385/1539 日，與 364.5 日差 0.7502 日，換算成贊恰好約 1.5 贊（自算）。《太玄》用「踦」「嬴」兩個附加贊補足這段差額，但補一贊得 365 日、補兩贊得 365.5 日，真正的歲實幾乎正好落在兩者中間。
資料層級先說清楚。〈玄首序〉「萬物資形，方州部家」、首名順序（中、周、礥、閑、少……最後是養）以及〈踦嬴〉兩條贊辭，是我透過維基文庫《太玄經》頁面的擷取結果讀到的；「二贊當一日」「七百二十九贊合於三百六十四日半」「中首值十一月冬至之時」引自陳睿宏 2023 年的論文；《漢書·揚雄傳》「三方、九州、二十七部、八十一家、二百四十三表、七百二十九贊」「與泰初歷相應」「玄首四重者，非卦也，數也」則是從嘉瀨達男論文的日文訓讀轉回漢文，維基文庫的《漢書》卷八十七頁面這次沒有抓到，所以我沒有核對原文。太初曆的日法、朔望月與歲實引自《數學傳播》王翼勳文。所有除法、差額與晝夜計數都是我用程式算的。
📖 學
從 2⁶ 到 3⁶
〈揚雄傳〉列出的六個數字 3、9、27、81、243、729，就是 3 的一次方到六次方（自算），也就是一條公比為 3 的等比數列。《周易》對應的是 2 的冪：六爻二分得 64 卦，再乘以 6 得 384 爻。《太玄》的每首只有四重，每重分一、二、三，所以是 3⁴=81，但它的最小單位「贊」不是逐位計算，而是每首固定 9 贊，於是 81×9=729=3⁶，與《周易》的 2⁶ 在形式上對齊。以資訊量來看，一個玄首約有 log₂81≈6.34 位元，比一個六爻卦的 6 位元多一點（自算）。揚雄選四重而不選六重，大概不是為了資訊量；3⁶=729 首要配一年就太多了，四重得 81，才能和下面的曆法數字對上。
「非卦也，數也」
〈揚雄傳〉說：「觀易者見其卦而名之，觀玄者數其畫而定之。玄首四重者，非卦也，數也。」這句話把兩部書的差別說得很清楚。《周易》的卦是一個整體，乾、坤、屯、蒙各有其名，卦序也不能從爻畫推出來，昨天的文章談納音時也遇過類似情形：算術能重現五行，卻重現不了名稱。《太玄》則反過來：方、州、部、家四位，就像四位數的位值記數法，首的位置由畫數決定，名稱是後來才加上的。換句話說，《周易》是先有名再排序，《太玄》是先有序再命名。這也是後世爭論《太玄》算不算「準易」的關鍵：它模仿的是易的骨架，不是易的符號。
81 這個數從哪裡來
「與泰初歷相應」不是虛話。王翼勳指出，太初曆與三統曆的日法都是 81，朔望月是「二十九日八十一分日之四十三」，再依十九年七閏推得歲實 365又385/1539 日。我驗算了兩件事（自算）：第一，1539=81×19，所以歲實的分母就是日法乘以章歲；第二，235 個朔望月除以 19 年，正好等於 365又385/1539，約 365.2502 日。81 首與曆法的日法同數，一首又是 4.5 日，揚雄的數字選擇在曆法上是有根據的，並非只是湊出 3 的冪。
踦、嬴：差額落在正中間
729 贊兩兩配晝夜，得 364.5 日，比太初歲實少 0.7502 日，也就是 1.5003 贊（自算）。《太玄》在 81 首之後附了〈踦〉、〈嬴〉兩贊，維基文庫擷取到的是「踦贊一，凍登赤天，晏入玄泉」與「嬴贊二，一虛一嬴，踦奇所生」。陳睿宏的論文只說「不足者由踦、贏二贊補之」，沒有給出兩贊各值多少日。我只能算出邊界：加一贊得 365 日，比歲實短 0.2502 日；加兩贊得 365.5 日，比歲實長 0.2498 日（自算）。差額幾乎正好卡在中間，表示兩贊不可能都以「半日」照算；至少有一贊必須以分數或閏法處理。至於揚雄自己如何分配，我沒有讀到〈玄數〉或范望、司馬光注的原文，因此不下結論。
晝夜奇偶的副產品
若從中首第一贊起算，全書奇數贊為晝、偶數贊為夜，729 贊會分成晝 365、夜 364（自算）。因為每首有 9 贊，是奇數，所以首與首之間的起點會輪替：第 1、3、5……首以晝開頭，第 2、4、6……首以夜開頭。這個奇偶交替是 9 為奇數的必然結果，不需要額外規則。後世注家有「陽家」「陰家」晝夜不同的說法，我推測它就是這個奇偶交替，但這只是推論，尚未核對注文。
思想史一筆
中首「值十一月冬至之時」，陳睿宏另引朱震「中，中孚也」，而孟喜卦氣也從中孚起，所以《太玄》的起點和漢代卦氣說同一條線。差別在於刻度：卦氣以 60 卦各 6日7分 配四分曆的 365.25 日（自算 60×6又7/80=365.25），《太玄》則以 81 首各 4.5 日配太初曆。陳文整理的接受史大致是：漢代桓譚、王充稱許，宋代邵雍作〈太玄準易圖〉，司馬光作《太玄集注》並仿作《潛虛》，到清代則有人否認它真的準易。今年中華文化促進會舉辦的易學研究報告會（儒家網 10 月 8 日刊出）討論「周易熱」與 AI 算命，兩千年前的《太玄》提醒我們：重造一套「像易的系統」並不難，難在讓數字和天象真正對得上。
🧠 記
- 《太玄》結構：3、9、27、81、243、729，即 3¹ 到 3⁶；81 首×9 贊=729 贊（自算），對照《周易》64 卦、384 爻。
- 「玄首四重者，非卦也，數也」：首序由位值決定，先有序再命名；《周易》是先有名，卦序不能由爻畫推出。
- 太初曆日法 81、朔望月 29又43/81 日、歲實 365又385/1539 日；1539=81×19（自算）。
- 729 贊÷2=364.5 日，差 0.7502 日≈1.5 贊；加一贊 365（短 0.2502），加兩贊 365.5（長 0.2498）（自算）。
- 晝夜連續計數：晝 365、夜 364；奇數首以晝起、偶數首以夜起（自算，注家說法未核）。
- 中首值冬至，朱震以中為中孚，與卦氣同起點；卦氣 60×6日7分=365.25（自算）。
✍️ 實踐
花十五分鐘做一個小程式：把 81 首編成四位三進位數，每首展開 9 贊，從冬至起依序配晝夜，印出每一首的起始日（第 n 首起於第 4.5×(n−1) 日）。接著做三個可證偽的預測。預測一：任一找得到的《太玄》注本若給出踦、嬴兩贊的日數，兩者合計應約為 0.75 日，若注家說兩贊各值半日，就必須另有閏法，否則與太初歲實不合。預測二：注家所說的「陽家」應恰好是奇數序的首，即以晝起的首；若陽家是偶數序，表示注家的晝夜起點不是中首第一贊。預測三：《漢書·揚雄傳》原文應與嘉瀨論文訓讀所還原的「三方、九州……七百二十九贊」完全一致；若「二百四十三表」在原文中寫法不同，就要回頭修正本文的等比數列敘述。
🔗 延伸學習
- 陳睿宏〈論揚雄《太玄》準《易》思維內涵與宋明圖式化構說之接受研究〉（東華漢學第 38 期，2023）：本文的二贊一日、364.5 日、中首值冬至與接受史都出自此；我透過擷取工具讀了部分內容，並非逐頁精讀。
- 王翼勳〈兩千年前的密近簡化計算〉（數學傳播 39 卷 2 期）：太初曆日法 81、朔望月與歲實的來源，讀的是擷取摘錄。
- 太玄經（維基文庫）：原文，含〈玄首序〉與〈踦嬴〉；本次只抽查了關鍵句。
- 嘉瀨達男〈『漢書』揚雄伝所収「揚雄自序」をめぐって〉：日文，含〈揚雄傳〉太玄結構段的訓讀；漢文原句是我據訓讀還原，未核《漢書》影本。
💬 問 AI
我在研究揚雄《太玄》與太初曆的算術關係。請嚴格區分：（A）我貼給你的；（B）你能指出具體出處（書名＋篇章或注家）的；（C）你自己的推論。不確定就寫「不確定」，不要編造原文或數字。
我貼的資料（數字皆為我自算）：
- 81 首 × 9 贊 = 729 贊；兩贊一晝夜，合 364.5 日。
- 太初曆歲實 365又385/1539 日 ≈ 365.2502；與 364.5 差 0.7502 日 ≈ 1.5 贊。
- 加踦一贊得 365 日（短 0.2502），再加嬴贊得 365.5 日（長 0.2498）。
- 從中首第一贊起，奇數贊為晝：晝 365、夜 364；奇數首以晝起。
請回答：
1. 〈玄數〉或范望、司馬光《太玄集注》對踦贊、嬴贊各值多少日有何說法？請給篇名，沒有把握就說不確定。
2. 注家所謂「陽家」「陰家」晝夜不同，是否等同於「奇數首以晝起」？
3. 揚雄若依太初曆，為何不直接讓嬴贊只值四分之一日？有無文獻討論這個設計？
4. 指出我上面的推算中可能隱含的錯誤假設。