玩牌技術 · 第 61 課 複習循環 · 實戰手牌拆解用一手牌把前面的工具串起來,其中「權益 EV」與「路線 EV」差了 0.57 bb 這件事,正好指向第 1 課沒有處理的問題:EV 公式裡的機率是估計值,不是已知量。今天進入複習循環的第二種型態「舊課深化」,回到第 1 課 期望值思維,但不重講公式與那兩個算例,改從三個更深的角度重寫:EV 對勝率估計有多敏感、估計誤差到底值多少 bb、以及一個 +EV 的重複決策為什麼在注碼過大時反而長期負成長。先講自算結論(模型假設都在文內,不是求解器輸出,也沒有任何實測資料): 底池 60 bb、對手下注 40 bb 時,跟注需要 28.6% 權益,每多估 1 個百分點權益,EV 就多 1.4 bb;若估計 32% 且誤差標準差 5 個百分點,EV 是 +4.8 bb,但真實 EV 為負的機率約 25%,「事先知道真實勝率」的資訊價值約 1.0 bb。另一頭,勝率 55% 的平賠(1 賠 1)重複下注,凱利比例是 10%,下注比例拉到 20% 時,每注的算術 EV 翻倍,典型路徑的長期成長率卻已降到負值。本文是機率與決策訓練,不構成下注、買入或任何違規建議;台灣沒有合法的現金撲克賭場,線上賭博有法律風險。
📖 學
一、EV 是勝率的線性函數,斜率就是「輸贏差距」
第 1 課的跟注 EV 寫成兩個結局相加。把勝率 e 當變數,跟注的 EV 可以化簡成一條直線:設跟注前底池為 P、對手下注 B,贏的時候拿到 P + B,輸的時候賠 B,
EV(e) = e × (P + B) − (1 − e) × B = e × (P + 2B) − B
今天的數字用 P = 60 bb、B = 40 bb:EV(e) = 140e − 40。零 EV 的點是 e = 40 ÷ 140 = 28.57%,斜率 140 bb 是「全部贏法」與「全部輸法」的差距。對一個決策者最有用的是這個斜率:勝率估計每差 1 個百分點,EV 差 1.4 bb。 下表把幾個常見的估計放進去算:
| 我估計的權益 | EV(bb) | 決策 |
|---|---|---|
| 27% | 140 × 0.27 − 40 = −2.2 | 棄牌 |
| 28.57% | 0.0 | 無差異 |
| 30% | 140 × 0.30 − 40 = +2.0 | 跟注 |
| 32% | 140 × 0.32 − 40 = +4.8 | 跟注 |
| 37% | 140 × 0.37 − 40 = +11.8 | 跟注 |
從 27% 到 37% 只差 10 個百分點,EV 從 −2.2 到 +11.8,差 14 bb,比下注額 40 bb 的三分之一還多。實戰裡估計權益的誤差,通常比 10 個百分點小不到哪裡去:對手範圍猜錯一個類別,就可以有這個量級的誤差(第 61 課河牌的敏感度表,權益從 18.8% 到 26.0%,範圍就有 7.2 個百分點)。所以「算出 EV 是正的」要讀成「在我的假設下,EV 是正的」,下面兩節量化這件事。
二、估計誤差的代價:資訊價值
設我的權益估計是 32%,誤差用常態分布近似,標準差 5 個百分點(這是我的假設,不是量測)。那麼 EV 的分布是平均 +4.8 bb、標準差 140 × 0.05 = 7.0 bb。真實 EV 為負的機率 = Φ((0.2857 − 0.32) ÷ 0.05) = Φ(−0.69) ≈ 25%:四次裡有一次,我跟注的其實是 −EV。
這個誤差值多少錢,可以用「完美資訊的價值」衡量:假如決策前能知道真實勝率,我會只在 EV 為正時跟注,期望收益是 E[max(EV, 0)];沒有資訊時我照估計跟注,期望收益是 +4.8。兩者的差,就是不確定性每次決策的平均成本。我用解析式與 python3 驗算:
| 估計中心 | 誤差標準差 | 有完美資訊的期望收益 | 現在的期望收益 | 資訊價值(bb) |
|---|---|---|---|---|
| 32% | 2 個百分點 | 4.85 | 4.80 | 0.05 |
| 32% | 5 個百分點 | 5.82 | 4.80 | 1.02 |
| 32% | 8 個百分點 | 7.27 | 4.80 | 2.47 |
| 28.57%(打平點) | 5 個百分點 | 2.79 | 0 | 2.79 |
| 30% | 5 個百分點 | 3.91 | 2.00 | 1.91 |
| 35% | 5 個百分點 | 9.33 | 9.00 | 0.33 |
讀法有兩個。第一,誤差從 2 變成 8 個百分點,資訊價值從 0.05 漲到 2.47 bb,放大了約 49 倍,不是 4 倍:誤差小的時候幾乎不會翻轉決策,誤差大的時候翻轉的機率與幅度同時上升。第二,誤差固定時,估計越靠近打平點,資訊價值越高(28.57% 時 2.79,35% 時 0.33),意思是最值得花力氣精算的是邊緣決策,不是明顯的決策。EV +11.8 的跟注,估計差 5 個百分點也不會改變決定;EV 在零附近的節點,才值得拿求解器、更多牌譜或更仔細的範圍假設去驗證。這也解釋第 61 課為什麼把差距小於 2 bb 的替代線當雜訊。
還有一個副結論:兩個選項比較時,看的是 EV 的差,不是 EV 本身。跟注 +4.8 bb 與加注 +5.6 bb 的差 0.8 bb,比任何一個估計的誤差(標準差 7.0 bb)都小,這時「哪個比較好」是無法從估計中分辨的,選簡單、變異小、不容易犯錯的那一個,就是理性的選擇。
三、重複決策:EV 為正,成長率不一定為正
第 1 課的邊界一段說「可能賠光本金的注,即使 +EV 也不該押」。今天把這句話換成數字。設一個每次勝率 55%、平賠(贏了拿回與下注額相同的錢)的重複下注,每一注押目前資金的比例 f。算術 EV 是 (2 × 0.55 − 1) × f = 0.10f,隨著 f 線性增加。但資金是連乘的:贏一次乘 (1 + f),輸一次乘 (1 − f),所以長期的典型成長率要看對數:
g(f) = 0.55 × ln(1 + f) + 0.45 × ln(1 − f)
最大值在 f = 2p − 1 = 10%(凱利比例,在這個簡單的平賠模型成立)。我算出下表,最後一欄是 200 注後的「典型路徑」資金倍數 exp(200 × g),這是中位數附近的情形,不是保證:
| 下注比例 f | 每注算術 EV(占資金) | 每注對數成長率 g | 200 注後典型倍數 |
|---|---|---|---|
| 5% | 0.5% | +0.00375 | 2.12 |
| 10% | 1.0% | +0.00501 | 2.72 |
| 15% | 1.5% | +0.00374 | 2.11 |
| 20% | 2.0% | −0.00014 | 0.97 |
| 30% | 3.0% | −0.01620 | 0.04 |
f 從 10% 加到 30%,算術 EV 變成 3 倍,典型路徑卻從 2.72 倍掉到 0.04 倍,也就是只剩 4% 的資金;成長率變成零的點在 f ≈ 19.9%,約是凱利比例的兩倍。這張表的教訓是:EV 只回答「這個決策的平均損益是正還是負」,不回答「這個決策該押多大」。 後者要看資金會不會在 EV 兌現前被方差吃掉,這就是第 15 課、第 60 課的銀彈與停損規則在做的事。實務上沒有人知道自己真正的勝率,所以常見的保守做法是只押凱利比例的一部分(如半個凱利):f = 5% 時成長率仍有 0.00375,是最大值的 75%,卻留出容錯空間:我驗算過,真實勝率掉到 52% 時,f = 5% 的成長率仍是正的(+0.00075),而 f = 20% 在 55% 時就已經轉負。上表的 p = 0.55 是我設定的,真實的牌桌、投資或任何現實決策沒有人保證這個機率,所以今天的結論要當成結構性的觀念,不要當成任何下注比例的建議。
🧠 為什麼是這樣
底層原理是:EV 是一個條件期望,條件是「我對機率的信念」。 公式 EV = Σ(機率 × 損益) 的機率來自我的模型,所以 EV 同時繼承了模型誤差。第 1 課說單次輸贏不能評斷決策品質,今天補上對稱的另一半:算出來的 EV 為正,也不能單獨評斷決策品質,還要問這個正數在誤差下穩不穩。穩的判斷法很簡單:把關鍵機率往不利的方向移動 3 到 5 個百分點,看結論翻不翻;不翻,就是穩的決策,翻了,就是邊緣決策,值得驗證,也值得用較小的注碼。第 61 課的敏感度表,做的就是同一件事。
邊界與失效條件有三個。第一,常態誤差只是方便計算的近似,真實的估計誤差往往有偏(常見是高估自己的勝率),系統性偏高時,資訊價值的表會低估風險,因為不是對稱地翻在兩邊。第二,凱利成長率的結論假設每一注獨立、機率固定、可以任意比例下注;現實中勝率會漂移、有最小注碼、資金還要付生活費,所以整張表只能提供「過度下注會讓 +EV 變成負成長」這個結構,數字本身不能直接搬用。第三,對數成長只是一種風險偏好的選擇(它對破產極度厭惡),不是唯一正解;但「在資金有限、必須長期存活的前提下,不能把算術 EV 當成唯一目標」這件事,幾乎所有風險偏好都同意。
資金面的立場:EV 與成長率的分析是用來理解風險,不是找出該押多大。任何與錢有關的練習都只用輸得起、與生活費分開的錢,並且先訂停損與單次上限,再談 EV。台灣沒有合法的現金撲克賭場,線上賭博有法律風險,本文只作機率訓練。
✍️ 今日練習
10 到 20 分鐘,紙筆與計算機(或 python3),不必進賭場。數字和上面不同,答案在自我檢查。
- 算斜率與打平點。 底池(跟注前)90 bb,對手下注 45 bb,你要跟 45 bb。寫出 EV(e) 的直線式,算打平權益與斜率。
- 做敏感度。 你估計權益 28%,但誤差範圍是 24% 到 32%。算這個範圍的 EV 區間,並判斷:這個跟注是穩的還是邊緣決策?
- 算成長率。 平賠、勝率 60% 的重複下注。算凱利比例,再比較 f = 20% 與 f = 50% 的對數成長率 g(f) = 0.6 × ln(1 + f) + 0.4 × ln(1 − f),並算 100 注後的典型倍數 exp(100 × g)。
自我檢查
- 第 1 題:EV(e) = e × 135 − (1 − e) × 45 = 180e − 45;打平權益 45 ÷ 180 = 25%;斜率 180 bb,即每差 1 個百分點 EV 差 1.8 bb。
- 第 2 題:24% 時 180 × 0.24 − 45 = −1.8,32% 時 180 × 0.32 − 45 = +12.6,28% 時 +5.4。區間下端為負、跨過打平點 25%,所以是邊緣決策,不能只憑「+5.4」下結論。
- 第 3 題:凱利比例 2 × 0.6 − 1 = 20%;f = 20% 的 g = +0.02014,100 注後典型倍數 7.49;f = 50% 的 g = −0.03398,典型倍數 0.03;成長率轉負的點約在 f = 38.9%,同樣是凱利比例的接近兩倍。
🔗 延伸
- 賠率與期望值:pot odds、equity、outs 與 EV 計算——今天的打平點與直線式,可對照這一篇的完整賠率工具箱。
- 銀彈與心態——對應第三節:EV 為正之外,注碼大小如何決定資金存活。
站內可接續閱讀:玩牌技術 · 第 1 課 期望值思維（原課的公式與兩個算例,今天刻意不重複）,與第 61 課（同一套敏感度概念放在一手完整牌譜裡的實例）。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 62 課:複習循環 · 舊課深化(期望值思維)。這是教學練習,不是下注、買入或違規建議。
我的數字:
- 跟注前底池 [60] bb,對手下注 [40] bb,我要跟 [40] bb;我估計權益 [32%],誤差標準差 [5 個百分點]。
- 重複下注模型:勝率 [55%]、平賠,每注押資金比例 f。
請依序回答:
1. 寫出 EV(e) = e × (P + 2B) − B,算打平權益與斜率,檢查我的算式。
2. 假設估計誤差是常態分布,算出「真實 EV 為負的機率」與「完美資訊的價值」E[max(EV,0)] − max(E[EV],0),列出計算過程。
3. 說明估計越靠近打平點,資訊價值為什麼越高,以及什麼時候兩個選項的 EV 差小於誤差、可以選較簡單的那個。
4. 對重複下注,算凱利比例與 f = 10%、20%、30% 的對數成長率,說明算術 EV 與典型路徑成長率為什麼會背離。
5. 把「算的」「模型假設」「猜的」分開列,指出常態誤差、固定勝率、獨立下注這三個假設在現實中哪裡會失效。
不要給我下注、買入或違規建議,也不要編造研究、數據或連結。台灣沒有合法的現金撲克賭場,線上賭博有法律風險,法規請我自行諮詢專業。