第 52 課把抽水與銀彈寫成一組可以代入的算式,但算式只在你照著它做決策時才有用,而人在輸錢之後做決策,最常被三個偏誤拖離算式:用結果評價決策(結果導向)、用已經花掉的錢決定下一步(沉沒成本)、相信輸多了下一把會補回來(賭徒謬誤)。先講自算結論: 一個勝率 82% 的全下(100 bb 對 100 bb,EV +64 bb),20 次裡至少輸 4 次的機率是 49.7%,連單次「輸」都不能拿來判它是壞決策;一個需要 25% 勝率、實際 32% 的河牌跟注(每次 EV +16.8 bb),打 10 次合計反而是虧的機率有 33.1%;沉沒成本在任何一手牌的跟注門檻裡都會抵銷,已投入的 40 bb 不改變 27.3% 的門檻;賭徒謬誤方面,口袋對子翻出暗三條的機率恆為 11.76%,連續 30 手沒中的人,第 31 手還是 11.76%(30 手全沒中本身有 2.3% 機率,不代表下一手欠一次)。偏誤的代價用第 52 課的數字接回銀彈:若有 10% 的手牌打在「追損模式」、每 100 手額外漏 10 bb(我設的假設),平均淨勝率從 2.83 掉到 1.83 bb/100,3000 bb 銀彈的破產風險從 12.3% 升到 25.8%。以上全是紙上模型,沒有對照任何真人對局資料;台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
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零、先對帳:昨天的數字重算
第 52 課的「待驗」項(底池分佈、rakeback 比例、σ = 90 bb/100)都是自設或憑記憶的假設,沒有外部資料可驗,判定為「不能判」。能驗的是算術,今天用 B = ln(20) × σ² ÷ (2μ) 重算:μ = 2.83 時 B = 2.9957 × 8100 ÷ 5.66 = 4,287 bb(昨天文中寫 4,282,是分母取 5.67 的捨入差),約 43 個買入結論不變;μ = 4.38 時 2,770 bb(昨天 2,768);提領 1.0 bb 後 μ = 1.83、3000 bb 的破產風險 exp(−2 × 1.83 × 3000 ÷ 8100) = exp(−1.356) = 25.8%(昨天寫 25.7%)。三處差異都在捨入,沒有實質錯誤。
一、結果導向:決策的好壞在下注那一刻就固定了
結果導向(resulting,也常見「outcome bias」的說法)是用結果倒推決策品質:贏了就是對的、輸了就是錯的。德撲的決策品質是由「當下的資訊與機率」決定,結果只是從分佈裡抽出的一個樣本。
第一個例子:100 bb 有效籌碼翻牌前全下,對手的範圍讓我有約 82% 勝率(這是 AA 對 KK 一類的常見數字,記憶值,沒有今天重新量測;盲注忽略不計)。
贏:+100 bb(機率 0.82) 輸:−100 bb(機率 0.18)
EV = 0.82 × 100 − 0.18 × 100 = +64 bb
單次標準差 = 200 × √(0.82 × 0.18) = 76.8 bb
這個決策沒有可挑剔之處,但輸的機率有 18%。多做幾次,看「至少輸一次」:
| 全下次數 | 至少輸 1 次 | 至少輸 4 次 |
|---|---|---|
| 1 | 18.0% | — |
| 10 | 86.3% | — |
| 20 | 98.1% | 49.7% |
| 50 | 99.995% | — |
計算:至少輸 1 次 = 1 − 0.82ⁿ,n = 10 時 1 − 0.137 = 86.3%;20 次裡輸 4 次以上用二項分佈 1 − Σₖ₌₀³ C(20,k) × 0.18ᵏ × 0.82²⁰⁻ᵏ = 49.7%。所以一個好決策被「結果」打臉不是例外,是常態。
第二個例子是同一個決策、不同結果的 EV 對照,用河牌跟注:底池 120,對手下注 60,我跟 60 贏 180(120 + 60)。需要勝率 = 60 ÷ (120 + 60 + 60) = 25%。假設我讀出自己有 32% 勝率:
EV(跟) = 0.32 × 180 − 0.68 × 60 = 57.6 − 40.8 = +16.8 bb
EV(蓋) = 0
這個跟注 68% 的時候會輸 60 bb。把它做 10 次,期望 +168 bb;但損益兩平要贏 180w − 60(10 − w) > 0,即 w ≥ 3 次,而 10 次裡只贏 0 到 2 次的機率 = 0.68¹⁰ + 10 × 0.32 × 0.68⁹ + 45 × 0.32² × 0.68⁸ = 0.0211 + 0.0993 + 0.2109 = 33.1%。一個 EV +16.8 的跟注,連做 10 次,合計是虧的機率有三分之一。 反過來看鏡像的壞決策:勝率只有 18% 的同一個跟注,EV = 0.18 × 180 − 0.82 × 60 = −16.8 bb,10 次裡贏 3 次以上因而合計賺錢的機率是 26.3%。壞決策有四分之一以上的機率在 10 次後帳面是賺的,這就是結果導向會把壞習慣養成「有效」的原因。
結果能提供多少「你的決策好不好」的資訊,可以用貝氏算:假設我事前不確定自己這個跟注的勝率是 32%(好讀牌)還是 18%(壞讀牌),各占 50%。看到贏了,「好讀牌」的後驗 = 0.32 ÷ (0.32 + 0.18) = 64%;看到輸了,= 0.68 ÷ (0.68 + 0.82) = 45.3%。一次結果只把我對決策品質的判斷從 50% 推到 64% 或 45%,幾乎等於沒說話。 要判斷決策品質,看的是「當下的機率估計與推理過程」,而且要在知道結果之前就記下來。
必須標明:上面的 32% 與 18% 是我設的兩種自我評估,現實裡你的勝率估計本身就有誤差,這正是需要賽後用範圍與求解器(第 42、43 課)覆核推理、而不是用結果覆核的原因。
二、沉沒成本:只看邊際,已投入的錢在算式裡會抵銷
沉沒成本(sunk cost)是已經付出、無法收回的成本。理性的規則只有一條:下一個決策的好壞只取決於未來的成本與收益。 在德撲裡它最常以「我已經投了這麼多」的形式出現。
例子:轉牌圈底池 100,其中 40 bb 是我投的;對手下注 60,我要付 60 贏 160(100 + 60)。需要勝率 = 60 ÷ (160 + 60) = 27.3%。我估計勝率 20%:
邊際算法:EV(跟) = 0.20 × 160 − 0.80 × 60 = 32 − 48 = −16 bb;EV(蓋) = 0 → 蓋
總帳算法:我總共投入 40 + 60 = 100
蓋:−40
跟贏:220 − 100 = +120 跟輸:−100
EV(跟) = 0.20 × 120 − 0.80 × 100 = 24 − 80 = −56
EV(跟) − EV(蓋) = −56 − (−40) = −16
兩種算法答案相同:已投入的 40 bb 同時出現在「蓋」與「跟」兩邊,相減後消失。如果那 40 bb 是別人投的,門檻還是 27.3%。沉沒成本偏誤的運作方式,是把「蓋」那一欄的 −40 當成「痛苦」單獨看待:Tversky 與 Kahneman 的前景理論估計損失的心理重量約為同額獲利的 2.25 倍(這是我記憶中的文獻數字,不同研究與樣本有差異),所以「蓋 = 確認虧 40」比「跟 = 有機會不虧」更難下手,即使後者的期望值更差。
同一個偏誤也在牌桌之外出現:一場 session 輸了 3 個買入(300 bb),「再打一下回本」是把已輸的錢當成目標。用第 52 課的條件(淨勝率 2 bb/100、σ = 90 bb/100,都是自設值)算:再打 500 手,期望 +10 bb,標準差 90 × √5 = 201 bb;回到 +300 的機率 = 1 − Φ((300 − 10) ÷ 201) = 1 − Φ(1.44) = 7.5%,再輸 300 bb 以上的機率 = Φ((−300 − 10) ÷ 201) = Φ(−1.54) = 6.2%。追損下的路徑,是兩邊尾巴幾乎一樣厚的高變異賭局,而期望值只有 +10 bb。 要靠 2 bb/100 的淨勝率補回 300 bb 需要 300 ÷ 2 × 100 = 15,000 手,而這 15,000 手帶來的是同樣的決策規則,不是「欠你的」。是否繼續打下一個小時,只該取決於桌子好不好、我的狀態好不好(第 51 課的桌選、第 14 號專欄的心態),與今天已經輸了多少無關。
三、賭徒謬誤:獨立事件沒有記憶,有限樣本不會被補償
賭徒謬誤(gambler’s fallacy)是相信獨立事件的過去會改變未來:「連輸這麼多次,下一次該贏了」。核心事實一句話:每手牌洗牌後重新發,之前的結果對下一手沒有任何影響。
用口袋對子翻出暗三條(翻牌圈 3 張裡至少一張是我那對剩下 2 張之一)做例子。
P(沒中) = C(48,3) ÷ C(50,3) = (48 × 47 × 46) ÷ (50 × 49 × 48) = 2162 ÷ 2450 = 0.8824
P(中) = 1 − 0.8824 = 11.76%
連續 30 手對子都沒中:0.8824³⁰ = 2.35%
30 手都沒中是 2.3% 的小機率事件,但發生了之後,第 31 手中的機率仍是 11.76%,不是 25% 也不是 50%。「沒中的次數」不會被存起來。有人會問大數法則不是說最後會回到平均嗎?它說的是比例回到平均,不是差距被補回。拋公平硬幣 100 次,前 20 次出現 14 次正面(比期望多 4 次),之後 80 次期望 40 次正面:
100 次:14 + 40 = 54 次正面 = 54.0%
1000 次(前 20 次 14 正面,之後 980 次期望 490 正面):504 次 = 50.4%
差距 +4 從頭到尾都在,只是被越來越大的分母稀釋,比例才看起來回到 50%。
另一個容易被低估的事實是「連串」本身的頻繁程度。用動態規劃算連串機率:拋公平硬幣 100 次,出現至少一段連續 5 次同面的機率是 81.0%;在 18% 輸率的全下裡,50 次中至少出現一段連輸 3 次的機率是 20.9%;在上面「勝率 32% 的跟注」,連做 30 次,至少出現一段連輸 5 次的機率是 83.8%,至少一段連輸 8 次也有 33.9%。連串是獨立事件的正常產物,不是「該反轉」的訊號。 同一個謬誤的鏡像(熱手謬誤,hot hand)認為連贏的人手感正在發熱,同樣把獨立當成有因果;而有關籃球投籃是否真有熱手的學術爭論,我只知道有文獻存在,沒有逐篇核對,不引用結論。
必須畫出邊界,否則會誤用:不放回抽樣的事件確實不獨立。 二十一點的算牌之所以有效,就是因為一副牌發出去的牌不會放回。單副牌 52 張含 4 張 A,若前 20 張發出時沒有出現 A:
開局:P(下一張是 A) = 4 ÷ 52 = 7.69%
發出 20 張都不是 A:P(下一張是 A) = 4 ÷ 32 = 12.5%
這條規則適用的前提是「同一副牌、不重洗」。德撲每手重洗,所以上一手的結果不能預測下一手。對手的行為則不是獨立的: 你連續詐唬被抓之後,對手對你的下注會多跟一點,這是對手模型的更新,不是牌運的補償,必須和「牌的運氣」分開想(第 43 課的樣本與 Beta 後驗就是處理這件事)。
四、偏誤的帳:接回第 52 課的銀彈
三個偏誤合起來的作用是讓你在輸錢後「打得更鬆、更大、更久」。用第 52 課的條件(毛勝率 8、扣抽水後淨勝率 2.83 bb/100、σ = 90、3000 bb 銀彈)估算它的價格:假設有 10% 的手牌打在追損模式,這些手牌每 100 手額外漏 10 bb(這是我設的假設,沒有任何實測),平均每 100 手漏 0.1 × 10 = 1.0 bb。
淨勝率:2.83 → 1.83 bb/100
5% 破產銀彈:2.9957 × 8100 ÷ (2 × 1.83) = 6,630 bb ≈ 66 個買入(原本約 43 個)
3000 bb 的破產風險:exp(−2 × 1.83 × 3000 ÷ 8100) = 25.8%(原本 12.3%)
漏 1 bb/100 看起來不多,卻吃掉 35% 的淨勝率(1.0 ÷ 2.83),破產風險翻倍,這是第 52 課「淨勝率每少 1,銀彈就明顯變厚」的一個具體例子。情緒性的決策不會只出現在輸的那一手,它會出現在輸了之後的好幾十手。
🧠 為什麼是這樣
三個偏誤有同一個根:人用「已經發生的事」當作決策的輸入,而最佳決策只需要「現在的資訊與機率」。結果導向把結果當成決策品質的證據,證據力極弱(上面算出 64% 對 45%);沉沒成本把過去的支出當成未來的成本,但在邊際算式裡它在兩邊抵銷;賭徒謬誤把過去的樣本當成未來的負債,但獨立事件沒有記憶。三者都在輸錢之後放大,因為損失帶來的情緒讓「做點什麼來扳回」比「按算式行動」更有吸引力。
這些觀念的邊界要說清楚。第一,「只看邊際」成立的前提是未來的成本與收益真的和過去無關;現實中有例外,例如你的籌碼深度與錢包大小會被過去的損益改變,破產風險是路徑相依的,所以銀彈會隨損益調整是合理的,那是風險管理,不是沉沒成本。第二,結果並非完全沒有資訊:長樣本的結果可以用來估計你的真實勝率(第 52 課:2.83 bb/100 的玩家 10 萬手後仍有 16% 機率帳面為負,這就是要多少樣本的問題),它不適用於判斷單一手牌;而且在沒有牌譜覆核的情況下,結果也能暴露「你的讀牌系統性偏差」。第三,上面的數字(82%、32% 與 18%、2.25 倍、追損的 10% 與 10 bb)是設定值或文獻記憶值,不是對你的量測;偏誤的真正代價因人而異,你得用自己的牌譜與決策日誌去量。
對手與環境會利用你的偏誤:輸錢後鬆跟注的人被價值下注吃,連輸之後想「該我贏了」而加注的人被抓詐唬。資金面的立場:偏誤管理不是靠意志力,而是靠事前寫好的規則:單場停損與停手條件要在冷靜時寫下,內容與「輸多少」無關,而與「我的決策品質是不是下降」有關(疲勞、情緒、遊戲品質);停損是為了保護後面的決策不被扭曲,不是為了鎖定損失,也不是為了回本。賭金一律用輸得起的錢,輸掉就是輸掉,不存在「欠回來」。台灣沒有合法的現金撲克賭場,實體牌局與網路平台的合法性請自行確認,本文是機率與決策訓練,不構成下注或買入建議。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆與計算機即可,不必進任何賭場。
- 結果導向:河牌底池 90,對手下注 45,我跟 45 贏 135。算需要勝率;若我估計勝率 30%,算 EV;再算做 8 次後「合計虧損」要贏幾次以下,以及這個機率(二項分佈,p = 0.3)。
- 沉沒成本:底池 90 裡我投入 30,對手下注 45(跟注 45 贏 135)。若我的勝率 22%,先用邊際算法求 EV(跟),再用總帳算法(我總投入 30 + 45 = 75,贏則拿 180)驗證兩種算法的差是否相同。
- 賭徒謬誤:口袋對子連續 30 手沒中暗三條的機率是多少?第 31 手中的機率是多少?再算單副牌發出 20 張都不是 A 後,下一張是 A 的機率,並寫出為什麼這件事和德撲不同。
- 決策日誌:找一份你自己或自擬的 3 手牌,在「不看結果」的狀況下,寫下當時的勝率估計、需要勝率、EV 與一句理由,之後才寫結果,並標記「決策好壞」與「結果好壞」兩欄,共 4 種組合。
- 停損規則:在紙上寫一條事前規則,內容包含觸發條件(例如連續兩次發現自己違反了決策日誌)與停手動作,並說明它為什麼不是「輸到某個金額才停」那種被結果驅動的規則。
自我檢查
- 步驟 1:需要勝率 45 ÷ (90 + 45 + 45) = 25%;EV = 0.3 × 135 − 0.7 × 45 = 40.5 − 31.5 = +9 bb;8 次要贏 135w − 45(8 − w) > 0,即 w ≥ 3,贏 0 到 2 次的機率 = 0.7⁸ + 8 × 0.3 × 0.7⁷ + 28 × 0.09 × 0.7⁶ = 0.0576 + 0.1977 + 0.2965 = 55.2%(正 EV 的跟注,8 次後虧的機率超過一半,原因是勝率 30% 遠低於 50%)。
- 步驟 2、3:邊際 EV = 0.22 × 135 − 0.78 × 45 = 29.7 − 35.1 = −5.4;總帳 EV(跟) = 0.22 × 105 − 0.78 × 75 = 23.1 − 58.5 = −35.4,EV(蓋) = −30,差 −5.4,兩者相同;30 手沒中 0.8824³⁰ = 2.35%,第 31 手仍是 11.76%;單副牌 4 ÷ 32 = 12.5%,因為牌不放回,而德撲每手重洗。
- 步驟 4、5:日誌的勝率與 EV 在知道結果之前就寫下;4 種組合(好決策好結果、好決策壞結果、壞決策好結果、壞決策壞結果)都有標記,並寫出至少一個「好決策壞結果」不需要調整;停損規則的觸發條件與停手動作可執行,且不是以「輸多少錢」為觸發。
🔗 延伸
- C game 與 inchworm——情緒偏誤在牌桌上的形態與對策。
- 第 52 課 · 抽水與職業級銀彈——今天沿用的淨勝率、σ 與銀彈公式。
- 賭徒謬誤(Wikipedia)——定義與歷史案例,細節以原文為準。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 53 課:認知偏誤:結果導向、沉沒成本、賭徒謬誤。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注或買入建議):
- 河牌底池 90,對手下注 45,我跟 45 贏 135;需要勝率、勝率 30% 時的 EV、做 8 次合計虧損的機率:[...]
- 底池 90 我投入 30,對手下注 45,勝率 22%;邊際算法與總帳算法的 EV:[...]
- 口袋對子連續 30 手沒中暗三條的機率、第 31 手中的機率:[...]
- 單副牌發出 20 張都不是 A 後下一張是 A 的機率:[...]
- 淨勝率 2.83 bb/100、σ = 90、3000 bb 銀彈,若有 10% 手牌每 100 手額外漏 10 bb,新的淨勝率與破產風險:[...]
請依序回答:
1. 逐步重算我的數字,指出算錯的地方。
2. 說明「結果導向」和「長樣本用結果估計勝率」的差別,什麼條件下結果才能當證據。
3. 說明沉沒成本與「銀彈隨損益調整」(路徑相依的風險管理)的界線。
4. 說明賭徒謬誤成立與不成立的條件(放回與不放回、洗牌與不洗牌),以及對手行為為什麼不屬於獨立事件。
5. 幫我設計一張決策日誌欄位與一條不以輸贏金額為觸發的停手規則。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,不要給我下注、買入或注級建議,也不要編造研究、連結或數據。