第 47 課把超額下注的成立條件算清楚之後,留下一個執行層的問題:求解器給的是「這類牌 43% 下注、57% 過牌」這種混合頻率,人手上沒有骰子,到底要不要照做、做不到時要付多少錢。答案不是一個數字,而是取決於兩件事:對手會不會跟著你的偏差調整,以及你簡化的是「頻率」還是「選哪些牌」。 先講自算結論:在我寫的連續牌力模型(下注額等於底池)裡,均衡增益是 5.56% 底池;詐唬範圍從 11.1% 縮到 5%(偏離約 6 個百分點),對不調整的對手只損失 0.19% 底池(二次式),對完全調整的對手卻損失 3.15% 底池,吃掉均衡增益的 57%(線性);把門檻四捨五入到每 10 個百分位一格,只損失 1%;而「頻率正確、但詐唬牌選高了 5 個百分位」就損失 0.56% 底池,不論對手怎麼反應都要付,和頻率偏差 10.5 個百分點的代價相當。以下全是自擬模型與紙上推演,不是求解器輸出;台灣沒有合法的現金撲克賭場,本文定位是機率與決策訓練,不構成任何下注建議。
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一、兩個自擬模型
要談「偏離均衡損失多少」,需要先有能算出均衡的最小模型。我用兩個,各回答不同的問題。
模型甲(離散類別):底池 1,我先行動。我的範圍一半是堅果、一半是空氣(攤牌必輸);對手每手牌都是抓詐唬牌(贏空氣、輸堅果),只能跟或棄,沒有加注。我堅果一律下注 s 倍底池,空氣以頻率 β 詐唬;對手以頻率 c 跟注。相對過牌的增益是 G = 0.5·c·s + 0.5·β·(1 − c(1 + s))。第一項是堅果被跟注多賺的,第二項是詐唬:對手棄牌贏 1,被跟注輸 s。令詐唬無差異得 c* = 1/(1 + s);令對手跟注無差異(詐唬佔下注範圍 s/(1 + 2s))得 β* = s/(1 + s)。取 s = 0.75:β* = 3/7 = 42.86%、c* = 57.1%、詐唬佔下注範圍 30%,均衡增益 V = 0.5·s/(1 + s) = 21.43% 底池。這個版本把一整類空氣當成同一種牌,所以是離散的。
模型乙(連續牌力):沿用第 44、47 課的河牌均勻模型,我與對手的牌力都是 0 到 1 的均勻分布,下注 s = 1。均衡是:牌力在 0 到 1/9 的最弱牌詐唬,牌力 7/9 以上的強牌價值下注,對手牌力高於 5/9 才跟注,增益 V = 1/18 = 5.556% 底池(我用 2,000 檔格點與 5/9 的閉式驗算過,與第 44 課 G(1) 一致)。這個模型有一個關鍵性質:詐唬牌下注的 EV 是常數 1/9(對手棄牌的機率 5/9 乘 1,加上被跟注 4/9 乘 −1),與這手牌的牌力無關;過牌的 EV 卻是牌力 x 本身。 所以牌力恰好 1/9 的牌下注與過牌一樣好,比它弱的牌去詐唬賺,比它強的牌留著攤牌賺。混合頻率的「無差異」就長在這個交點上。
二、一階為零:偏離的損失到底多大,要看對手是誰
把詐唬門檻 b 從均衡的 1/9 移開(強牌門檻不動),分別算對手兩種反應:一是他固定在均衡策略(5/9 以上才跟);二是他完全調整成最佳回應。單位是「每手牌在整個範圍上的平均損失」,以底池百分比計。
| 詐唬門檻 b | 偏離 δ | 對不調整的對手 | 對最佳回應的對手 |
|---|---|---|---|
| 0%(不詐唬) | −11.1 | 0.62 | 6.38 |
| 5% | −6.1 | 0.19 | 3.15 |
| 8% | −3.1 | 0.05 | 1.49 |
| 11.1%(均衡) | 0 | 0 | 0 |
| 14% | +2.9 | 0.04 | 2.51 |
| 20% | +8.9 | 0.40 | 7.25 |
| 25% | +13.9 | 0.97 | 10.75 |
| 33.3% | +22.2 | 2.48 | 15.65 |
左邊那欄有一個漂亮的規律:損失就是 δ² 的二分之一(δ = 0.0611 得 0.186%,δ = 0.139 得 0.966%,係數都是 50 個百分點每單位平方)。原因可以直接畫出來:對 δ 範圍內多出來(或少掉)的詐唬牌,下注 EV 是常數 1/9,過牌 EV 是 x,每手牌的差距隨它離門檻的距離 u 線性增長,斜率是 1;把 u 從 0 加到 δ,得到三角形面積 δ²/2,與下注尺度 s 無關。強牌那一側的邊際牌,下注 EV 對 x 的斜率是 1 + 2s,過牌是 1,斜率差 2s,所以損失是 s·δ²(自算驗證:強牌門檻 0.8,偏離 2.2 個百分點,損失 0.0495%,以底池計正好等於 δ²)。這就是「一階為零」:均衡門檻上的那手牌下注與過牌無差異,往外挪一點的邊際牌幾乎沒有損失,損失只長在離門檻愈遠的牌上。 求解器策略裡大量的混合頻率,多半落在這種邊際牌上,所以忽略它們很便宜。
模型甲更極端:若對手不調整,損失恰好為零,因為整類空氣在詐唬與過牌之間處處無差異,β 取任何值都一樣,這是無差異條件的字面意義。
但右邊那欄是另一個世界:損失線性成長,每偏離 1 個百分點約 0.5 個百分點底池(3.1 個百分點偏離就是 1.49%,比不調整時大 30 倍)。原因是均衡時對手在 5/9 到 7/9 之間的所有牌都無差異,一旦你的詐唬少一點,他對整段中間牌就有嚴格偏好,最佳回應從 5/9 一跳到 0.80,是一個斷點而不是平滑移動。模型甲給出封閉式:對手完全調整時,詐唬過多的損失是 0.5·s·δ,過少是 0.5·|δ|(s = 0.75 時每偏離 1 個百分點分別是 0.375 與 0.5 個百分點底池)。若對手只往最佳回應走一部分 λ,損失按 λ 縮放;以 λ = 25% 為例,下表第三欄是我拿 s = 0.75 算的:
| 我實際的詐唬頻率 β | 偏離 | 對完全調整 | 保留均衡增益 | 對 λ = 25% |
|---|---|---|---|---|
| 0(從不詐唬) | −42.9 | 21.43 | 0% | 5.36 |
| 1/3 | −9.5 | 4.76 | 77.8% | 1.19 |
| 3/7(均衡) | 0 | 0 | 100% | 0 |
| 1/2 | +7.1 | 2.68 | 87.5% | 0.67 |
| 1(全部詐唬) | +57.1 | 21.43 | 0% | 5.36 |
從這張表可以讀出一條取捨規則:小尺度(s < 1)時多詐唬比少詐唬便宜(每點 0.375 對 0.5),大尺度(s > 1)時方向反過來(s = 2 時每點 1 對 0.5)。 所以當你只能用 1/2、1/3 這類粗頻率逼近 3/7,四捨五入的方向應該朝「對手最佳回應比較不痛」的那邊偏。這個規則只在模型甲成立,是否適用真實牌局我沒有驗證。
三、簡化到什麼粗細才划算
第 45 課處理過翻牌前的「五句規則卡」,今天換成河牌的門檻:把 1/9 與 7/9 這兩個門檻四捨五入到格點。結果分三種對手:
| 格點 | 詐唬門檻 / 強牌門檻 | 對不調整的對手(保留均衡增益) | 對最佳回應(增益,%池) |
|---|---|---|---|
| 5 個百分位 | 10% / 80% | 99.0% | 5.50 |
| 10 個百分位 | 10% / 80% | 99.0% | 5.50 |
| 20 個百分位 | 20% / 80% | 92.0% | −2.67 |
| 25 個百分位 | 0% / 75% | 87.5% | −1.04 |
| 33 個百分位 | 0% / 67% | 66.6% | −1.85 |
這裡的 10 個百分位格點剛好把 11.1% 取成 10%、77.8% 取成 80%,所以只損失 1%,但這是這組數字的巧合,格點對齊到均衡值才會這麼便宜;換成另一個下注尺度,結果會不同。真正要記的是兩件事。第一,對不調整的對手,連粗到 1/3 格點也只損失三分之一的增益,仍然賺錢。第二,對會最佳回應的對手,太粗的格點直接變成負值,比整手都過牌還差(我另外驗證過:不詐唬時即使把強牌門檻調到最佳,對最佳回應的增益也只剩 0,等於整段不下注)。所以決定性的問題從來不是「數學上該不該混」,而是「我面對的是會偵測、會調整的對手,還是不會」。
四、頻率對、選牌錯:這個錯誤付的是確定的錢
保持詐唬的總量剛好 1/9,但把詐唬區間從 [0, 1/9] 上移到 [t, t + 1/9],也就是詐唬牌拿的是有一點攤牌價值的牌:
| 上移 t | 詐唬牌的百分位 | 損失(%池) | 占均衡增益 |
|---|---|---|---|
| 0.05 | 5 到 16 | 0.56 | 10% |
| 0.10 | 10 到 21 | 1.11 | 20% |
| 0.20 | 20 到 31 | 2.22 | 40% |
| 0.30 | 30 到 41 | 3.33 | 60% |
損失就是 t × 1/9,線性,而且對不調整與完全調整的對手數字一樣,因為你的詐唬總量沒變,對手中間那一段牌仍然無差異,他找不到可以多賺的調整,但你已經把有攤牌價值的牌拿去詐唬、白白丟掉過牌的價值。對照第二節:要讓不調整的對手造成 0.56% 的損失,頻率得偏差 10.5 個百分點(δ²/2 = 0.0056);但對完全調整的對手,只要偏差約 1.1 個百分點就有同樣損失(0.56 ÷ 約 50)。換句話說:頻率偏差的代價由對手的反應決定,選牌錯誤的代價則是你自己先付掉的。 簡化時最先要保住的是「誰當詐唬、誰當價值」(阻斷牌與最弱的牌),頻率反而可以粗一點。
五、隨機化裝置:怎麼把 3/7 做出來
實戰要執行 43% 下注的混合,常見做法與誤差如下。目標頻率 3/7 = 42.86%,誤差換算成模型甲 s = 0.75、對完全調整對手的損失(%池與占 V 的比例)。
| 裝置 | 規則 | 實際頻率 | 誤差 | 損失(%池) | 占 V |
|---|---|---|---|---|---|
| 秒針 | 0 到 25 秒下注(26 個整秒) | 43.3% | +0.5 | 0.18 | 0.8% |
| 52 張牌 | 22 張定為下注 | 42.3% | −0.5 | 0.27 | 1.3% |
| 13 種點數 | 6 種點數下注 | 46.2% | +3.3 | 1.24 | 5.8% |
| 13 種點數 | 5 種點數下注 | 38.5% | −4.4 | 2.20 | 10.3% |
| 兩種花色 | 紅色下注 | 50% | +7.1 | 2.68 | 12.5% |
| 一種花色 | 黑桃下注 | 25% | −17.9 | 8.93 | 41.7% |
用 60 秒的秒針是最細的裝置,第 42 課已經用過(17/60 = 28.3% 對 2/7);它也有一個優點是對手看不到你在看什麼。幾條使用上的規則:裝置必須在看牌之後、與手牌強弱無關;只在「確實無差異」的那一類牌上用,不要把它拿去決定價值牌與明顯的棄牌;用手牌本身當裝置的缺點是攤牌會洩漏:如果你只在紅色牌時詐唬,攤牌看過幾次之後對手就能解碼;用花色時還要確認牌面沒有同花相關,否則花色與阻斷牌價值纏在一起,就不再是獨立的裝置。另外,同一手牌(例如 7♣2♦)每次的花色與點數都一樣,以「手牌內容」決定的規則其實是把某幾手牌固定成詐唬、另幾手固定成過牌,也就是把混合頻率「分配」到不同牌上,而不是每次擲骰;這也是合法的做法,條件是你分配的那幾手牌之間確實等價。
六、對手看得出來嗎:變異與偵測
先看自己這一邊。就算你有完美的隨機化裝置,30 次詐唬機會裡實際詐唬的比例標準差是 √(3/7 × 4/7 ÷ 30) = 9.0 個百分點;100 次是 4.9 個百分點。這是變異,不是偏差:模型甲的結論是任何 β 對不調整的對手都沒差,模型乙是邊際牌處處接近無差異,所以不必在單一場次裡「補頻率」,把一場的實際比例拉回 3/7 反而是追著雜訊跑。
再看對手這一邊。他要看出你的詐唬占下注範圍的比例不是 30%,需要多少次攤牌?用最簡單的二項檢定近似(雙尾 5%、檢定力 80%,假設他看得到每一次下注的真實牌面,這是偏樂觀的):
| 你實際的做法 | 詐唬占下注範圍 | 對手需要的下注攤牌數(約) |
|---|---|---|
| 全詐唬(β = 1) | 50% | 43 |
| β = 1/2 | 33.3% | 1,507 |
| β = 1/3 | 25% | 637 |
| 從不詐唬(β = 0) | 0% | 13 次全是價值牌的機率 0.7¹³ = 1% |
結論是:粗到 1/3 或 1/2 的頻率,對一般對手幾乎偵測不到,從不詐唬或全詐唬則在一個晚上就會被看穿。 但線上高量資料庫(每個對手累積上千手攤牌)與有追蹤軟體的對手,是例外:偏差 3 到 5 個百分點對他們就是第二節右欄那種線性損失。
七、把三個結論合成一套取捨順序
把前六節壓成可以在紙上走一遍的順序。先看假想情境:s = 0.75 的河牌下注,你的範圍裡有 14 組這類空氣牌,均衡要你約 6 組(14 × 3/7)詐唬、8 組過牌。第一步是決定哪 6 組:在模型乙的邏輯裡,應該是最沒有攤牌價值的,在真實牌局裡還要加上阻斷牌(擋住對手跟注牌的牌,組合與阻斷牌),這一步錯 5 個百分位就要付均衡增益的 10%。第二步才是決定頻率:6 組對 14 組是 42.9%,整組固定打法(這 6 組永遠詐唬、另 8 組永遠過牌)的好處是不需要擲骰,壞處是對手若記下你攤牌的牌,能推出「這個牌型你一定下注」。若你覺得對手會做這件事,就把其中 2 到 3 組改成用秒針決定;若對手不太可能追蹤到這個精細度,固定打法的損失在模型裡是二次或零。第三步是檢查方向:尺度小於 1 時寧可多詐唬一組,尺度大於 1 時寧可少一組。
這個順序背後是一個預算概念:注意力與紀律是有限的資源,應該優先分給損失一定會發生的項目(選牌),其次是對手一旦調整就會爆開的項目(頻率的下限與上限,例如不要掉到從不詐唬或全詐唬),最後才是一階為零的邊際精細度(把 43% 做成 42.3% 或 46%)。這與第 44 課「五個尺度砍成兩個」的邏輯一致:每一次簡化都在問「這一步省下的認知負擔,值不值得它的損失」,今天只是把「損失」換成有二次式、線性兩種長相的東西。
要提醒的反例:如果你面對的是高量、有追蹤工具的常客,或者你自己的資料會被整批賣給對手,所謂「不調整的對手」這個前提就失效,簡化的成本要用第二節右欄計算,而不是左欄;反過來,如果你只是在家用牌練習機率感,這些數字只是用來建立「損失有兩種長相」的直覺,不必也不應該追求 0.1 個百分點的精確。
🧠 為什麼是這樣
混合策略的目的是讓對手的選擇無差異,所以只要你守住這個無差異,執行的細節在「對手不調整」時一階無損(模型甲是零,模型乙是 δ²/2);一旦對手調整,無差異被打破,他的最佳回應是斷點式的,損失變成一階。兩個結論並不矛盾,它們是同一個結構在不同對手下的兩面。用日常的話說:均衡策略像一條平的地板,你在地板上走歪幾步,只要對手沒有拿著尺去量,你的高度不變;對手一旦開始量,地板就變成斜坡,你每歪一步就往下滑一格。簡化的真正代價,是你願意賭「對手沒有在量」多久,以及賭輸時滑多遠(第二節右欄就是滑多遠)。
邊界要老實說。第一,兩個模型都是單一街、對手只能跟或棄、牌力均勻或二分,沒有加注、沒有多條街的頻率相互牽制,也沒有抽水;本文所有數字只能比較大小與量級,不能直接拿去當實戰損失。第二,我只驗證了單一節點的偏差;整個策略樹上很多節點的簡化誤差若方向一致,會不會累加成大損失,我沒有算。第三,「對手 λ 比例調整」只是一個示意參數,不是對真實對手的估計,我沒有任何資料可以說某類對手的 λ 是多少。第四,隨機化裝置的誤差表假設你真的守紀律照裝置做;現實中的主要誤差是忘記、直覺覆蓋與情緒,這些我無法建模。
對手怎麼反制:他可以把你攤牌的牌記下來解碼你的裝置(所以優先用秒針類與牌無關的裝置)、可以累積大量樣本偵測你的比例(線上尤其)、也可以在你明顯的粗頻率上刻意偏離。你的對策是細到足以避免被解碼、粗到仍然能執行:決定性的選牌(誰當詐唬)要精,頻率可以用 1/3、1/2 這類粗值,且定期用求解器節點鎖定(第 43 課)重新檢查。站內GTO 與平衡說「人類不需要執行混合策略」,今天的數字把它量化成:對不調整的對手成立,對會調整的對手不成立,而且代價大多出在選牌而不是頻率。剝削性打法則是反方向:你知道對手不調整時,就可以大方簡化,把省下的注意力放在讀對手。
資金面:不管簡化或執行混頻,都不應該用真錢驗證。把任何規則帶上桌之前,先當驗證樣本,依資金管理與心態的立場,銀彈 30 到 50 個買入起跳,用小到最壞情形也不影響決策品質的注碼;研究目的是提高決策品質,不是預測收益,不保證任何一段期間的結果。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,一副撲克牌、有秒針的錶(或手機碼表)、紙筆與計算機,不必進賭場,不需要求解器。
- 模型甲取 s = 2:算 β*、c*、詐唬占下注範圍的比例、均衡增益 V(%池)。
- 設計裝置,目標頻率 2/3:用 52 張牌要定幾張為「詐唬」,實際頻率與誤差各是多少?再寫出用秒針的規則。
- 洗牌後抽一張、記錄是否屬於你定的詐唬牌、放回再洗,共 40 次。算觀察頻率,與標準誤 √(p(1 − p) ÷ 40) 比較,並寫一句話說明為什麼這個落差不應該讓你修正策略。
- 簡化:β 取 1/2、3/4、1、0,各算對完全調整的對手損失多少%池、保留多少均衡增益。
- 模型乙:詐唬門檻偏離 0.06,對不調整的對手損失多少?詐唬牌上移 t = 0.15 損失多少?要用頻率偏差達到同樣損失,δ 要多大?
- 寫三行執行規則卡:何時用秒針、何時用牌、哪些牌面不能用花色當裝置,各寫一個讓它失效的情境。
自我檢查
- 步驟 1、2:β* = 2/3、c* = 1/3、詐唬占下注範圍 40%、V = 33.3% 池;52 張牌取 35 張為 67.3%(誤差 +0.6 個百分點),秒針取 0 到 39 秒(40 秒)恰為 2/3。
- 步驟 3、4:40 次的標準誤約 7.5 個百分點;β = 1/2 與 3/4 各損失 8.33% 池(保留 75%),β = 1 與 β = 0 各損失 33.3% 池(保留 0%)。
- 步驟 5:0.5 × 0.06² = 0.18% 池;t = 0.15 損失 0.15 ÷ 9 = 1.67% 池;對不調整的對手需要 δ = √(2 × 0.0167) ≈ 18.3 個百分點才同樣。
🔗 延伸
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 48 課:混合策略要不要執行:人類簡化的代價。
請用下面的資料檢查我的算法(只是教學練習,不是下注建議):
- 模型甲:我範圍一半堅果、一半空氣,對手全是抓詐唬牌,只能跟或棄,沒有加注;底池 1,我下注 s 倍底池
- 我選的尺度:[s = 2]
- 我算出的:β* [...]、c* [...]、詐唬占下注範圍 [...]、均衡增益 V [...]
- 我的簡化:詐唬頻率取 [1/2],對完全調整的對手損失 [...],保留均衡增益 [...]
- 模型乙(牌力均勻、下注 1 倍底池,均衡詐唬門檻 1/9):詐唬門檻偏離 [0.06],對不調整的對手損失 [...]
- 詐唬牌上移 [0.15] 個百分位,損失 [...]
- 隨機化裝置:[秒針 40 秒 / 52 張取 35 張],40 次實測 [...] 次
請依序回答:
1. 重算我的 β*、c*、V,指出算錯的地方。
2. 解釋為什麼對不調整的對手,頻率偏離的損失是零或二次式;對完全調整的對手為什麼變成線性。
3. 解釋為什麼「頻率正確、選牌錯誤」的損失與對手是否調整無關。
4. 我的隨機化裝置有沒有與手牌強弱不獨立的風險(例如攤牌洩漏、花色與阻斷牌)。
5. 這兩個模型不成立的情況(加注、多街、多節點誤差累加、抽水、對手偵測能力)。
請標明「你算出來的」「你的假設」「你不確定的」,不要給我下注或買入建議,也不要編造連結或數據。