昨天的手寫字留下的第一項待辦今天做完:Devauchelle、Josserand 與 Zaleski 的〈Forced dewetting on porous media〉(arXiv cond-mat/0509349,2005 年 9 月的投稿版,我讀到全文)。結論有三個。第一,零接觸角的多孔板確實有臨界毛細數,而且不屬於 θ_r³ 那一族:論文的數值擬合是 Ca_c ≈ 0.3936 θ^1.4998,漸近匹配給 0.4063 θ*^(3/2),換回有因次的量就是 Ca_c ≈ 0.4 (θλ)^(3/2),其中 θ 是板面對水面的傾角、λ = √k / l_c,和接觸角無關,和滲透率 k 的 3/4 次方成正比。第二,把 09-30 的三個 K_L 代進去,臨界速度是每秒 0.002 到 0.5 公分,九格全部低於每秒 1 公分,其中六格不到 0.06;書寫速度是每秒 1 到 12 公分,所以在這個模型裡,毛筆寫字時永遠在「留下液膜」那一側,臨界值本身分不出飛白。第三,09-06 的「更正 2」(飛白是動態潤濕失效、不是筆裡沒墨)必須撤回,飛白回到供墨與覆蓋率。今天另外補了飛白的古典定義(《書斷》),並把「墨膜厚度隨速度怎麼變」設計成一個用 0.01 公克秤就能做的實驗,預測速度每快四倍,每公尺的沉積量約多 2.5 倍。
📖 學
一、論文做了什麼:孔隙不是「吸墨」,是拿掉接觸線的奇異性
昨天我只讀到摘要,問的是「孔隙吸液如何改變 θ→0 的極限」。全文給的答案和我當時的想像不同:模型裡的多孔板已經飽和,孔隙不吸液,它做了兩件事。其一,依 Beavers–Joseph 與 Neale & Nader(1974)的 Brinkman 分析,板面不再是無滑移,而是滑移量正比於剪應力,滑移長度是 √k / α(α 是量級為 1 的係數,文獻上 0.1 到 4,論文取 1);板內另有 Darcy 流。其二,這個滑移與體流讓接觸線附近的壓力不再發散(論文附錄 A 證明:非多孔板即使加了 Navier 滑移,毛細壓力在接觸線仍發散,多孔板則 h 在接觸線附近是三次多項式,壓力有限),所以不需要再塞一個 1 奈米量級的微觀截斷長度。代價是接觸角得另外規定:論文「主張」飽和多孔體被液膜完全潤濕,故取微觀接觸角 θ_0 = 0,這一步是論證(沿用 Raphaël & de Gennes 1999),不是實驗量到的,我沒讀到那篇。
控制方程(論文式 2.6)是潤滑近似下的薄膜方程,長度用毛細長度 l_c = √(γ/ρg) 無因次化:h‴ − h′ + θ = Ca / (h²/3 + h λ/α + λ²),λ = √k / l_c。代 α = 1 並令 h* = h/λ,方程只剩兩個參數(式 2.10):θ* = θ/λ 與 Ca* = Ca/λ³。論文給的對照值是 λ 在 Daerr 等人 2003 的顆粒床實驗約 10⁻²,一般固體板約 10⁻⁶。我用論文的兩個滲透率(10⁻¹² 與 9×10⁻¹⁰ m²)與 l_c = 2.8 mm 驗算:λ 分別是 3.6×10⁻⁴ 與 1.07×10⁻²,所以「10⁻²」對應的是較大的那個 k。
數值結果:θ* = 1 時,打靶法求得的接觸線解在 Ca_c ≈ 1.0247 消失(曲率 h″(0) 趨近 0,論文判為鞍結分岔);超過它,找得到零通量的 Landau–Levich–Derjaguin 液膜解。論文還報告了遲滯:膜解與接觸線解可在同一組參數下並存(第二個臨界值 Ca_{c,2} 低於 Ca_c)。θ 大時,Ca_c 對 θ 的擬合是 0.3936 θ*^1.4998(式 4.3);作者再把接觸線區的 Tanner 問題(Airy 函數解)與彎月面匹配,得到(式 5.4)Ca_c ~ θ^(3/2) / [(2a)^(3/2) · 3^(1/4)],a ≈ 0.758947。我驗算:2a = 1.5179,^1.5 = 1.870,3^(1/4) = 1.316,倒數 0.4063,與論文印的 0.40631 吻合,與數值擬合 0.3936 差 3%。
二、換回有因次量:Ca_c ≈ 0.4 (θλ)^(3/2)
Ca_c = λ³ · Ca*_c = λ³ × 0.4 × (θ/λ)^(3/2) = 0.4 θ^(3/2) λ^(3/2),再把 λ = √k / l_c 展開,Ca_c ∝ θ^(3/2) k^(3/4) / l_c^(3/2)。這個式子和昨天的非多孔式 Ca_c ≈ θ_r³ / [9 ln(…)] 有三處不同:θ 的意思(傾角,不是微觀接觸角)、冪次(3/2,不是 3)、以及出現了滲透率。k 的敏感度是 3/4 次方:09-30 的 φ 從 0.3 變 0.5,K_L 差 7.6 倍,Ca_c 差 4.6 倍;10-02 的聚束使 K_L 升 1.67 到 3.87 倍,Ca_c 對應升 1.47 到 2.76 倍。密實的筆(k 小)門檻低,疏鬆或聚束的筆門檻高。
三、代進毛束:九格全部低於書寫速度
沿用墨 γ = 0.04 N/m、μ = 0.01 Pa·s(黏度是假設)、ρ = 1000,l_c = 2.02 mm,γ/μ = 4 m/s;K_L 取 09-30 的三個值(r = 42.5 微米的六角排列),傾角 θ 取潤滑近似還撐得住的 0.1、0.2、0.3 rad(5.7°、11.5°、17.2°)。Ca_c 用數值擬合式,U_c = 4 × Ca_c。
| φ | K_L(m²) | λ | θ(rad) | θ* | Ca_c | U_c(cm/s) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 1.99×10⁻⁸ | 0.070 | 0.1 | 1.4 | 2.3×10⁻⁴ | 0.092 |
| 0.1 | 1.99×10⁻⁸ | 0.070 | 0.2 | 2.9 | 6.5×10⁻⁴ | 0.26 |
| 0.1 | 1.99×10⁻⁸ | 0.070 | 0.3 | 4.3 | 1.2×10⁻³ | 0.48 |
| 0.3 | 1.04×10⁻⁹ | 0.016 | 0.1 | 6.3 | 2.5×10⁻⁵ | 0.010 |
| 0.3 | 1.04×10⁻⁹ | 0.016 | 0.2 | 12.5 | 7.1×10⁻⁵ | 0.028 |
| 0.3 | 1.04×10⁻⁹ | 0.016 | 0.3 | 18.8 | 1.3×10⁻⁴ | 0.052 |
| 0.5 | 1.36×10⁻¹⁰ | 0.0058 | 0.1 | 17.3 | 5.5×10⁻⁶ | 0.0022 |
| 0.5 | 1.36×10⁻¹⁰ | 0.0058 | 0.2 | 34.6 | 1.5×10⁻⁵ | 0.0062 |
| 0.5 | 1.36×10⁻¹⁰ | 0.0058 | 0.3 | 51.9 | 2.8×10⁻⁵ | 0.011 |
和昨天對照:θ_r = 10° 的非多孔式給 0.022 cm/s,這裡 φ = 0.3、θ = 0.1 rad 給 0.010 cm/s,同一個量級。兩套完全不同的物理(一個靠微觀接觸角,一個靠滲透率)都把門檻放在每秒千分之一到十分之一公分,離書寫速度差一個數量級以上,這個結論比任何單一數字都穩。
這張表有四個要降級的地方。其一,θ 太小*:漸近式針對 θ* 大,論文的圖 7 插圖範圍我讀到的是 10² 以上;表中只有 φ = 0.5 的 θ* 到 17 至 52,其餘都更小。θ* = 1 時真值 1.0247 對擬合式 0.394,差 2.6 倍,中間值我沒有數據,所以 φ = 0.1 那三格最多可能差到這個程度(若真如此,0.48 會變成約 1.2 cm/s,進到慢速書寫的範圍)。其二,幾何不是筆與紙:模型是平板以傾角 θ 從水槽往外拉、零淨通量、穩態。這個幾何裡留在板上的膜被重力排液,厚度 h_f ≈ √3 · l_c · √(Ca/θ)(我由論文表 1 在 Ca* 遠大於 θ* 的極限推出,並用力平衡 Uh = ρgθh³/(3η) 反驗,兩邊一致);μ = 6 mPa·s、U = 3 cm/s、θ = 0.2 時是約 0.5 毫米,比 09-06 的 Landau–Levich 膜(約 20 微米)厚 25 倍。所以筆在平紙上的膜不能拿這個式子算,只能借它的門檻標度。其三,θ 與 k 對應筆的哪個量是我的映射:沒有文獻針對毛筆,K_L 是沿纖維軸向的滲透率,論文的 k 是各向同性假設。其四,論文自己標明只處理穩態與零通量膜,暫態與有淨通量的情形(Hocking 2001 的方向)留待後續。
四、飛白的古典定義:本來就是「不滿」
昨天的待辦(二)要重寫 09-06 對飛白的說法,先看古人怎麼定義。我讀到的是識典古籍網站〈飛白書〉頁面摘出的太平御覽引文(未對照紙本),標為《書斷》者寫:「飛白書者,後漢左中郎蔡邕所作也。王隱、王愔並云:飛白,變楷制也。本是宮殿題署,勢既勁大,字宜輕微不滿,名為飛白。王僧虔云:飛白,八分之輕者。」同書記創制經過:漢靈帝嘉平年,詔蔡邕作《聖皇篇》,篇成詣鴻都門上,時方修飾鴻都門,伯喈待詔門下,「見役人以堊帚成字,心有悅焉,歸而為飛白之書」。同頁另引《法書要錄》:「飛白,本是宮殿八分之輕者,全用揩法。」
幾個事實可以直接取用:飛白的起點是大字(宮殿題署、勢勁大),要求筆畫不滿;啟發它的工具是堊帚,一把寬而粗、蘸的是石灰漿的刷子。這描述的是寬筆面、粗纖維、單位長度供液量不足的書寫,物理上就是覆蓋率小於 1,不是「接觸線被扯斷」。據此,我把 09-06 的「更正 2」整段撤回:它主張飛白的成因是 Ca 超過 Ca_cr,而前面三節(加上昨天)的結論是臨界值遠低於書寫速度、方向還標反,這條因果鏈已無依據。飛白改回這個說法:筆面上每道纖維縫隙能不能被墨橋接,取決於供給量與紙面吸收量的對比,這正是 09-29 到 10-03 的供給/需求模型一直在算的,那條線從頭到尾沒有用到 Ca_cr。
五、可檢驗的預測:每公尺沉積量對速度
既然落點回到供給與沉積,最直接可量的是每公尺筆畫從筆上帶走多少墨,記為 δ。在「單次蘸墨、筆寬與筆壓固定」的簡化下,四種機制各給一個對速度 V 的標度:
| 假說 | δ 對 V | V 變 4 倍時 δ 的比值 | 來源層級 |
|---|---|---|---|
| H1 Landau–Levich 膜(需求限制) | δ ∝ V^(2/3) | 2.52 | 09-06 的 h = 1.34R·Ca^(2/3),比值是我算的 |
| H2 膜厚由幾何固定(纖維縫隙、粗糙) | δ ∝ V⁰ | 1.00 | 我的推論 |
| H3 紙吸墨(Washburn,接觸時間 ∝ 1/V) | δ ∝ V^(−1/2) | 0.50 | 09-05 的 √t 律,代換是我做的 |
| H4 供給限制(流量 Q_s 與 V 無關) | δ = Q_s/V ∝ V^(−1) | 0.25 | 09-29 起的供給模型 |
10-03 把 φ = 0.5 的基準 V* 修到約 14 cm/s,10-02 的聚束再把它往上推,所以每秒 3 到 12 公分都在 V* 之下,現行模型預測此區是 H1(供給充足,膜厚由需求決定)。這是今天的可證偽預測:在不吸墨的表面上,δ 應隨速度增加,四倍速對應約 2.5 倍。若量到比值低於 1.3,現行模型在這個速度範圍的需求側就錯了。
🧠 記
**一、多孔板的臨界毛細數是 Ca_c ≈ 0.4 (θλ)^(3/2),λ = √k / l_c,θ 是板傾角,不是接觸角。它對 k 的依賴是 3/4 次方,對 θ 是 3/2 次方;θ_0 = 0 是論證出來的假設。式子在 θ 大時才準,θ = 1 時低估 2.6 倍。
**二、代入毛束,九格的 U_c 都在每秒 0.002 到 0.5 公分,和昨天非多孔式的量級一致。**書寫速度每秒 1 到 12 公分遠高於它,臨界毛細數分不出飛白。09-06 的「更正 2」撤回。
**三、飛白在《書斷》裡是「勢既勁大,字宜輕微不滿」,啟發自堊帚;物理上是覆蓋率不足,回到供給與沉積。**可量的檢驗量是每公尺沉積量 δ:四倍速時 H1 預測 2.52 倍、H4 預測 0.25 倍,中間隔著十倍。
**邊界:**這個模型是平板、小傾角、飽和、零淨通量、穩態,筆在平紙上都不是;h_f 在它的幾何裡比 Landau–Levich 膜厚 25 倍,所以只借門檻的標度,不借膜厚。θ 與 k 對應筆哪個量是我的映射,沒有針對毛筆的文獻。θ_0 = 0 的依據(Raphaël & de Gennes 1999)我沒讀到。《書斷》引文只讀到網頁摘錄,沒有對照紙本與版本。四個假說的標度都建立在「單次蘸墨、筆寬與筆壓固定」,真實的筆是它們的混合,所以實驗結果多半落在兩個假說之間,而不是整齊的某一條。
✍️ 實踐
用 45 分鐘量每公尺沉積量對速度的關係,檢驗 H1 到 H4。器材:毛筆一支(筆頭觸紙寬約 3 毫米);0.01 公克精度的珠寶秤(0.1 公克的廚房秤解析度不夠);小塑膠托盤;PET 投影片或透明資料夾片,以及影印紙;尺;手機慢動作錄影。液體:水與甘油各半(甘油在藥局或烘焙行買)加食用色素與一滴洗碗精,黏度約 6 mPa·s(表面張力與黏度我都沒量,是估計),洗碗精的作用是讓液體在 PET 上鋪開、不縮成珠。
第一步,把托盤放在秤上歸零。筆浸入液體 5 秒,筆頭在杯口內側刮一下同一面,平放在托盤上,讀數 m0(穩定後 5 秒內讀)。滴落的液體掉在托盤上,仍算在總重裡,所以質量的減少只代表被紙面帶走的。
第二步,在 PET 上畫 10 道 25 公分的直線,每道一個方向、不回頭、筆壓固定到觸紙寬約 3 毫米,用慢動作回放量每道耗時:3、6、12 公分每秒分別是 8.3、4.2、2.1 秒,實際速度超出目標 ±15% 的那道不算,補寫。畫完把筆放回托盤,讀 m1。
第三步,蒸發對照:筆同樣浸滿後不碰片子,放在秤上等和慢速組同樣長的時間,記質量掉多少,從 m0 − m1 扣除。
第四步,三個速度各做 3 組,次序打散(6、12、3、12、3、6、3、6、12),每組重新蘸墨。算有效膜厚 h = (m0 − m1 − 蒸發) ÷ (ρ × 線寬 × 10 × 0.25 m),ρ 取 1100 kg/m³,線寬用手機拍的線拍照後量。若一組寫完質量減少超過筆濕重的 40%(筆快被抽乾,會混進供給限制),把每組道數減半,並記下道數。
第五步,換影印紙重做一次(B 組),看紙吸墨使結果往哪邊偏。
預期的絕對值先算一次:09-06 取 R = 0.5 mm,3 cm/s 時 Ca = 0.0051,h ≈ 20 微米、δ ≈ 0.066 g/m,10 道共約 0.16 公克;12 cm/s 時 h ≈ 50 微米、δ ≈ 0.17 g/m,10 道約 0.41 公克。這些絕對值依賴 R 與筆寬的假設,真正用來判斷的只有比值 R = h(12) ÷ h(3):
| PET 組的 R | 判讀 |
|---|---|
| 1.9 到 3.5(對數斜率 0.46 到 0.90) | 支持 H1,現行模型在此範圍成立 |
| 1.3 到 1.9 | 不確定,多半是 H1 與別的機制混合,擴大樣本 |
| 0.7 到 1.3 | 近似 H2,膜厚由幾何決定 |
| 低於 0.7 | H3 或 H4;PET 不吸墨,所以偏向 H4(供給限制),模型的 V* 太高 |
B 組(影印紙)的 R 若比 PET 組低 30% 以上,差額就是紙吸墨的貢獻。限制:這是一支筆、一種紙、三個速度,兩次讀數各有 ±0.01 公克的誤差,慢速組的 δ 誤差約 6% 到 12%;PET 上的 H1 不等於宣紙上的行為,宣紙會更接近 H3。
明天接:(一)把今天的實驗做完,回填 R 與判讀;(二)去找 Raphaël & de Gennes 1999 與 Eggers 2004 的原文,看 θ_0 = 0 的論證在毛束(不是顆粒床)上站不站得住;(三)Um & Lee 1997 與 Yang & Jin 2014:今天又搜一次,Yang & Jin 2014 仍找不到可靠條目,搜尋只回傳 Wang、Meng、Liu 與 Jiang 的《Nano Research》2015 與 Wang 等人 2014 年《Advanced Materials》談毛筆錐形毛的論文,我只讀到標題與摘要,而且不確定它們是不是當初那個 Yang & Jin,這兩項今天起從待辦清單撤下,有人給出確切書目再回頭。
🔗 延伸學習
- arXiv cond-mat/0509349:Devauchelle, Josserand & Zaleski, Forced dewetting on porous media — 今天的核心來源,式 2.6、2.10、4.3、5.4 與表 1 都在這裡,讀到全文;注意它是 2005 年的投稿版,正式刊本可能有出入。
- 識典古籍:〈飛白書〉(太平御覽) — 《書斷》「勢既勁大,字宜輕微不滿」與蔡邕見堊帚的引文出處,我讀到的是網頁摘出的文字。
- Wang、Meng、Liu & Jiang, Chinese brushes: From controllable liquid manipulation to template-free printing microlines(Nano Research 8(1):97–105, 2015) — 講毛筆新生毛的各向異性多尺度結構如何控制液體傳輸;我只讀到搜尋結果的摘要。
- Wang 等人, Chinese Brushes: Controllable Liquid Transfer in Ratchet Conical Hairs(Advanced Materials, 2014) — 只看到標題與搜尋結果,沒讀到內容,列在這裡是下一步要查的對象。
💬 問 AI
我在做毛筆書寫的流體力學模型,請逐項回答,並嚴格區分三類:(一)原文明確寫了的、(二)你能查證或憑訓練資料確定的、(三)純屬推論的,每項標明把握程度(高/中/低);不確定或查不到就直說,不要編造文獻、公式或數字。這是學習與實驗設計,不涉及任何買賣或投資建議。
【A 組:Devauchelle 等人 2005 的多孔板臨界毛細數】
1. 我讀 arXiv cond-mat/0509349:式 4.3 的擬合 Ca*_c ≈ 0.3936 θ*^1.4998,式 5.4 的漸近 1/((2a)^(3/2) 3^(1/4)) θ*^(3/2) ≈ 0.4063 θ*^(3/2),a ≈ 0.758947,Ca* = Ca/λ³、θ* = θ/λ、λ = √k/l_c。請核對我換成有因次量的 Ca_c ≈ 0.4 (θλ)^(3/2),並說明 θ 在這篇的幾何裡是什麼角度。
2. 這篇取微觀接觸角 θ_0 = 0,理由是飽和多孔體被液膜完全潤濕。這個論證依賴什麼假設?有沒有後續文獻用實驗支持或反駁?Raphaël & de Gennes 1999 的原始論證是什麼?
3. θ* = 1 時數值 Ca*_c ≈ 1.0247,漸近式給 0.394。θ* 在 1 到 100 之間,誤差大概怎麼變?有沒有更精確的完整曲線?
【B 組:映射到毛筆】
4. 我把 K_L(Gebart 縱向滲透率,φ = 0.1、0.3、0.5)當成論文的 k,傾角 θ 取 0.1 到 0.3 rad,算得臨界速度每秒 0.002 到 0.5 公分。這個映射在物理上站得住嗎?毛束沿軸向的 K_L 與論文假設的各向同性 k 差別會造成多大的偏差?筆在平紙上對應論文中的哪個「傾角」?
5. 論文的零通量膜在重力排液下厚度約 h_f ≈ √3 l_c √(Ca/θ),我推導是 0.5 毫米量級,比 Landau–Levich 膜厚 25 倍。請檢查這個推導,並說明為什麼這個幾何不適用於筆在平紙上的書寫。
【C 組:飛白】
6. 《書斷》說飛白「本是宮殿題署,勢既勁大,字宜輕微不滿」,並記蔡邕見役人以堊帚成字。請查證這段文字在《書斷》與《法書要錄》的版本、有沒有異文,並告訴我文獻中關於飛白的其他古典定義。
7. 我設計實驗量每公尺沉積量 δ 對速度的關係,四種假說的標度是:Landau–Levich 膜 δ ∝ V^(2/3)、膜厚由幾何固定 δ ∝ V⁰、紙吸墨 δ ∝ V^(−1/2)、供給限制 δ ∝ V^(−1)。請檢查這四個推導是否站得住,並指出我漏了哪個機制。
8. 這個實驗用的珠寶秤精度是 0.01 公克,10 道 25 公分的線預期 0.16 到 0.41 公克。誤差預算夠嗎?最可能破壞比值判讀的兩個系統性誤差是什麼?
【D 組】
9. 請把所有存疑項目分成三堆:(一)憑訓練資料就能判斷的、(二)必須查一手文獻的(請列出先查哪幾篇)、(三)必須用毛筆實驗才能回答的。