昨天設計的吸墨實驗,預測值全部建立在接觸角 θ = 0(cosθ = 1)的上界假設上,但這個假設比我昨天承認的更脆弱:角蛋白纖維的前進接觸角(液體往乾纖維上爬時量到的角度)文獻上落在 70° 到 120°,只有後退接觸角(液體從濕纖維上退開時)才接近 0。今天把 cosθ 乘進去重算:吸墨擴散係數 D 與 cosθ 成正比,θ = 70° 時乾筆吸墨慢到 0.34 倍,前緣爬 16 毫米要 7.3 秒而不是 2.5 秒;θ 超過 87° 時昨天訂的「慢超過二十倍就代表模型壞掉」門檻會被觸發,而這時其實是接觸角的問題,不是 K 或 P_c 的問題;θ 超過 90° 時乾筆根本不會自己吸墨。這同時給「開筆要先泡開」一個可計算的解釋。昨天留的另一個待辦(查 Um & Lee 1997 與 Yang & Jin 2014 原文)今天仍沒拿到,只確認了書目。
📖 學
一、昨天的待辦:兩篇原文還是沒讀到
Um & Lee 1997 的書目,我今天搜尋到的是:Um, M.K. and Lee, W.I., “A Study on Permeability of Unidirectional Fiber Beds”, Journal of Reinforced Plastics and Composites 第 16 卷第 17 期,第 1575 至 1590 頁。搜尋結果只有書目,沒有摘要,所以這篇「軸向滲透率隨不均勻而上升」的內容我仍然只在 Larson & Zok 的引言裡看過。Yang & Jin 2014 則連書目都沒搜到可靠條目(搜尋回傳的都是 Shou, Ye & Fan 2015 與其他無關文章),我不確定它的正確篇名與期刊,不在這裡寫。這兩項改列「第三次仍未解」,不再每天都背著,下面的接觸角才是今天的主題。
二、接觸角不是 0:前進角與後退角差很多
羊毫是羊毛的一種,表面的角質鱗片(cuticle)外層有一層共價鍵結的脂肪酸,主要是 18-甲基二十烷酸(18-MEA),使纖維表面疏水。我找到的直接數據來自 Tokunaga、Tanamachi 與 Ishikawa 2019 年發表在 Cosmetics 第 6 卷第 2 期的〈Degradation of Hair Surface: Importance of 18-MEA and Epicuticle〉。以下數字來自搜尋工具回傳的摘要,MDPI 原頁與 ResearchGate 頁我這邊都回 403,全文沒讀到:研究對象是人類頭髮(中國人、金髮、棕髮三種),把 18-MEA 逐步移除,前進接觸角由約 120° 降到約 100°,18-MEA 降到零之後(表層的 epicuticle 持續被破壞)再由約 100° 降到約 70°。也就是連把最外層的脂質幾乎都除掉之後,前進角仍然有 70° 上下。
另一組搜尋摘要指出,水溶液對纖維的後退接觸角通常是零或接近零,不管纖維表面是什麼;前進角則強烈依賴表面。這兩者的差,就是接觸角遲滯(contact angle hysteresis)。我沒有在手上的資料裡找到這句話的原始出處,把它當成教科書層級的說法,方向我有把握,量值我沒有。
這些數字有三個不能直接搬給羊毫的理由。第一,測的是人類頭髮,不是羊毛,更不是處理過的毛筆毛;羊毛與人髮同屬 α-角蛋白,表面都有 18-MEA,但鱗片形態不同。第二,毛筆用毛經過製筆工序的浸泡、脫脂與整理,表面脂質被動過,實際角度不明。我另外搜到 2025 年 npj Heritage Science 的〈Analyzing the intrinsic connection between Chinese calligraphy creation and brush properties from a micro perspective〉(期刊頁):依搜尋摘要,它指出兔毛、羊毛都有鱗片狀階層結構,草食動物毛的脂質比較少,並討論吸墨性能。這篇我這邊會被導去 cookie 驗證頁,讀不到內文,所以沒有任何接觸角數字可引。第三,墨汁含膠與界面活性成分,對纖維的接觸角與水不同,我沒查到墨汁在羊毛上的實測值。
三、把 cosθ 乘進昨天的預測
昨天的達西吸入式是 x² = D t,D = 2κP_c/(με),其中 P_c 正比於 γcosθ,所以整個 D 正比於 cosθ。以 φ = 0.5 為基準(昨天算出 cosθ = 1 時 D = 1.02×10⁻⁴ 平方公尺/秒;κ = 1.36×10⁻¹⁰ m²、P_c = 1882 Pa),只改 θ:
| 前進接觸角 θ | cosθ | D(m²/s) | 前緣到 5 mm | 前緣到 16 mm |
|---|---|---|---|---|
| 0°(昨天的上界) | 1 | 1.02×10⁻⁴ | 0.24 秒 | 2.5 秒 |
| 30° | 0.866 | 8.9×10⁻⁵ | 0.28 秒 | 2.9 秒 |
| 60° | 0.5 | 5.1×10⁻⁵ | 0.49 秒 | 5.0 秒 |
| 70° | 0.342 | 3.5×10⁻⁵ | 0.71 秒 | 7.3 秒 |
| 80° | 0.174 | 1.8×10⁻⁵ | 1.4 秒 | 14 秒 |
| 87.1° | 0.0506 | 5.2×10⁻⁶ | 4.8 秒 | 49 秒 |
| 90° 以上 | 0 或負 | 0 或不存在 | 不會自己吸入 | 不會自己吸入 |
(時間算法:t = x²/D,例如 70° 時 (0.016)² ÷ 3.5×10⁻⁵ = 2.56×10⁻⁴ ÷ 3.5×10⁻⁵ = 7.3 秒。)
87.1° 這一列是怎麼來的:昨天說「實測 D 比預測小超過二十倍,代表 K_L 或 P_c 錯得離譜」,二十倍對應 cosθ = 1/20 = 0.05,θ = arccos 0.05 = 87.1°。換句話說,昨天的判準其實分不出「模型離譜」與「θ 剛好超過 87°」。如果實驗結果慢了二十倍,我該先懷疑的是接觸角,而不是 K_L。這是對昨天寫法的修正。
四、θ 超過 90° 時要多大壓力才擠得進去
θ > 90° 時 cosθ 為負,P_c 變成阻力,墨需要外力才會進入乾的纖維束。這個臨界壓力就是 |P_c|,用同一條式子算:
| 前進角 | φ = 0.3 | φ = 0.5 |
|---|---|---|
| 100°(cosθ = −0.174) | 140 Pa(約 1.4 公分水柱) | 327 Pa(約 3.3 公分水柱) |
| 120°(cosθ = −0.5) | 404 Pa(約 4.1 公分水柱) | 941 Pa(約 9.6 公分水柱) |
水柱換算取墨密度 1000 公斤/立方公尺、重力加速度 9.81。這些壓力很小,筆尖壓到紙上時,紙的纖維間孔隙的吸力大得多:假設紙內孔隙半徑 5 微米、γ = 0.04 N/m、完全潤濕,2γ/r = 16 千帕(這個孔徑是我假設的,不是量測值),比上表的 327 Pa 高約 50 倍。所以對寫字來說,乾筆尖進不了墨不構成障礙,紙會把墨拉過去;受影響的是蘸墨與開筆:筆從墨池裡拿起時,墨要先進入乾毛才能被儲存。
五、前進角與後退角分開:泡開的物理
前進角大、後退角小,表示同一支筆有兩種完全不同的狀態。乾毛要吸水時,面對的是 70° 至 120° 的前進角,吸力為零甚至為負;一旦毛被水或墨濕透,液體退開時面對的是接近 0 的後退角,毛細吸力回到 cosθ ≈ 1 的值,也就是昨天算的 1882 Pa 量級(φ = 0.5),這時墨會被牢牢吸在毛束內不外流。
這個對應傳統的開筆步驟:新筆先以清水泡開、泡透。我在搜尋到的生活類說明裡看到的是「以清水將筆毫浸濕,吸乾水後掛起,約 7 到 10 分鐘後筆毫充分吸水才開始寫字」,出處是一篇山水畫家的部落格(梁震明部落格),時間是經驗值,不是量測。我的推論:泡開的作用是讓毛從「前進態」(乾、吸力小或為負)進入「後退態」(濕、吸力大),一旦進入就不再回到前進態,除非寫到墨乾或筆被晾乾。這也預測一個可檢驗的現象:用乾的老筆直接蘸墨,與先泡水再蘸墨,第一筆的出墨量會不同。
六、對 V* 的影響:取決於用哪個角度
昨天校正後 φ = 0.5 的 V* = 14.0 公分/秒,V* ∝ (K ΔP)^(3/5),ΔP 正比於 cosθ。如果供墨過程用的是前進角 70°(cosθ = 0.342),V* 變成 14.0 × 0.342^0.6 = 14.0 × 0.525 = 7.4 公分/秒,幾乎少一半。但供墨的是濕透的蓄墨區,我推論它走的是後退角,cosθ 接近 1,V* 不變。哪一個對,取決於筆尖那一小段(最後一毫米)的墨是處在「正在向前潤濕」還是「液面向後退」的狀態,我沒有查到文獻回答這點。目前只能說:V 的修正區間是 7 到 14 公分/秒(φ = 0.5,前進角 70° 到後退角 0°),所以前天的「十幾到三十幾」要再加一個向下的不確定度*,其中一端有文獻依據(人髮 70° 以上的前進角),另一端沒有直接證據。
🧠 記
**一、吸墨 D 正比於 cosθ,昨天預測是 cosθ = 1 的上界。**θ = 70° 時慢 2.9 倍,80° 時慢 5.7 倍,87.1° 時慢二十倍;θ > 90° 乾毛不會自己吸墨,需要至少 |P_c| 的外加壓力(φ = 0.5、θ = 100° 時 327 Pa)。
**二、角蛋白纖維的前進角約 70° 到 120°,後退角接近 0。**數字來自人類頭髮(Tokunaga et al. 2019 的搜尋摘要,全文未讀),不能直接當成羊毫的值;墨汁含膠與界面活性成分,實際角度不明。
**三、昨天「實測慢超過二十倍代表 K 或 P_c 錯得離譜」的判準要改:先懷疑 θ。*開筆泡開的作用,是推論上把毛從前進態轉成後退態。V 的不確定度再加一層:前進角 70° 時 7.4,後退角 0° 時 14.0 公分/秒。
✍️ 實踐
昨天的單支筆實驗分不開 cosθ 與 K,今天改成可以把 cosθ 單獨抓出來的對照。核心想法:D 正比於 γcosθ/μ,若用同一支筆、同樣的乾燥程度,把水換成加了一點洗碗精的水(洗碗精溶液幾乎完全潤濕角蛋白,假設 θ ≈ 0),兩者的 K、ε 一樣,比值就只剩 γ 與 cosθ。這個比值做完兩天,第一天以下步驟,第二天同一支筆洗淨晾乾後重複。
器材:三支同款、同大小的便宜小楷羊毫(或同一支分兩天做,中間洗淨並完全風乾一整天);玻璃片;清水;加 1 滴洗碗精的清水 50 毫升(洗碗精溶液);墨汁;手機慢動作;尺;吸管。
**第一步(5 分鐘):先看有沒有吸。**乾筆水平固定,筆尖碰一滴清水(約 0.1 毫升),拍 60 秒。三種結果:一、立刻(數秒內)爬上去,表示 θ 明顯小於 90°;二、像珠子一樣停在筆尖不進去,表示 θ 大於或接近 90°,你直接得到「前進角很大」的證據;三、慢慢吸入,進入第二步。
**第二步(10 分鐘):量三種液體的 x² 對 t。**依序用清水、洗碗精溶液、墨汁各做一次(各用不同的乾筆,或隔天用同一支),逐幀記前緣位置 x 在五個時間點。畫 x² 對 t,斜率為 D。
**第三步(5 分鐘):算 cosθ。**取清水的斜率 D_w 與洗碗精溶液的斜率 D_c,公式:
cosθ_w = (D_w / D_c) × (γ_c / γ_w)
水的表面張力取 72 mN/m(課本值);洗碗精溶液我假設約 30 mN/m(沒有實測,可用不同濃度的文獻值替代),假設它的 θ ≈ 0。例如量到 D_w / D_c = 0.4,則 cosθ_w = 0.4 × 30/72 = 0.17,θ_w ≈ 80°。把這個 cosθ 代回上面第三節的表,對照 D 絕對值,看剩下的差距是否由 K、ε 解釋。墨汁的 D_ink 同樣可以算一個有效值(γcosθ)_ink / μ_ink,但墨汁的黏度與膠含量沒量,只能當相對值。
限制:洗碗精溶液若吸附在纖維上、改變纖維的形狀或讓毛更密,K 會變(第二天重複時尤其嚴重,所以建議用三支獨立的筆)。毛束的有效 φ 無法直接量,兩支筆之間可能差好幾成。滴上去的初速度與 θ 的關係(動態接觸角)這個實驗也分不開。
**明天接:**若今天沒有發現前進角異常大,回到供墨問題:筆尖那一小段到底走前進角還是後退角?去查「動態接觸角」與「毛細上升中的 dynamic contact angle」相關文獻,至少讀到一個可引用的公式。
🔗 延伸學習
- Tokunaga, S. et al., “Degradation of Hair Surface: Importance of 18-MEA and Epicuticle”, Cosmetics 6(2) (2019) — 第二節的前進接觸角 120° 到 70° 的數字來源;我這邊回 403,全文未讀,數字是搜尋摘要層級。
- Analyzing the intrinsic connection between Chinese calligraphy creation and brush properties from a micro perspective, npj Heritage Science (2025) — 以毛筆毛的鱗片結構與吸墨為題的原始研究;我讀不到內文,只確認題目與摘要層級的描述,接觸角數字要自己讀全文。
- Larson, N.M. & Zok, F.W., Composites Part A 107 (2018)(OSTI 開放全文) — P_c 式與 D 的達西吸入形式的出處,第三、四節的公式都從這裡來,他們量到的接觸角是 26.3 ± 8.2°,與角蛋白纖維是不同的材料。
- Shou, D., Ye, L. & Fan, J., “On the longitudinal permeability of aligned fiber arrays”, Journal of Composite Materials 49 (2015)(SAGE 摘要頁) — 昨天提過的 Voronoi 單元模型,今天只是補足書目與連結。
💬 問 AI
我在修正一個毛筆吸墨與供墨的簡化模型,請逐項回答,並嚴格區分三類:(一)文獻明確寫了的、(二)你能查證或憑訓練資料確定的、(三)純屬推論的,每項標明把握程度(高/中/低);不確定或查不到就直說,不要為了流暢而編造文獻、公式或數字。
【A 組:接觸角】
1. 我查到(搜尋摘要,未讀全文)Tokunaga et al. 2019(Cosmetics 6(2))用人類頭髮量到:移除 18-MEA 後前進接觸角由約 120° 降到約 100°,再降到約 70°。請確認這個數字是否與你所知一致;羊毛與羊毫(經製筆工序處理過的山羊毛)的前進角與後退角你有可靠數據嗎?
2. 墨汁(含膠、碳黑,可能含界面活性成分)在角蛋白纖維上的接觸角,有沒有任何文獻?若沒有,請說明該如何估計。
3. 前進角 70° 以上、後退角接近 0 的遲滯,對「乾毛筆蘸墨」與「濕筆寫字」各是哪個角度在主導?
【B 組:吸墨模型】
4. 我用 x² = D t,D = 2κP_c/(με),P_c = Fγcosθ(1−ε)/(2εr)(F = 4)預測乾筆前緣吸入。θ ≥ 90° 時需要多大的外加壓力?我算 φ = 0.5、r = 42.5 微米、θ = 100° 時約 327 Pa,請檢查算式。
5. 我設計的差分實驗:同一種毛束分別吸清水(γ = 72 mN/m)與加了洗碗精的清水(假設 γ ≈ 30 mN/m、θ ≈ 0),用 cosθ_w = (D_w/D_c)(γ_c/γ_w) 估前進角。這個假設與公式有什麼漏洞?洗碗精溶液真正的 γ 與對角蛋白的接觸角大概是多少?
6. V* ∝ (K·ΔP)^(3/5) 中的 ΔP 取前進角還是後退角?請站在反面攻擊我的「濕透蓄墨區走後退角」的推論。
【C 組:整理】
7. 請把所有存疑項目分成三堆:(一)你憑訓練資料就能判斷的;(二)必須查一手文獻的(請列出該先查哪幾篇,包含 Um & Lee 1997 與 Yang & Jin 2014 的正確書目);(三)需要用毛筆實驗才能回答的。