第 71 課用 10 題快問快答檢查了 EV、底池賠率、outs 與 MDF 的熟練度,今天把同一套「門檻對實際機率」的比較搬到兩個新場景:一個是底池限注奧瑪哈(PLO)的大型聽牌,另一個是完全不在牌桌上的手機維修險。重點是看哪些步驟原封不動可以搬走,哪些前提一換就必須重算。所有數字都附計算過程;本文是機率訓練,不構成下注建議,台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,只能當成紙上練習。德撲的基礎框架可對照 德州撲克研習。
📖 學
應用題 A(PLO):PLO 每人發 4 張底牌,下注上限是底池大小。翻牌圈底池 100,你拿到「堅果同花聽牌加順子聽牌」的組合,共 20 張 outs;對手下注 100(剛好一個底池),你跟注後兩人全押,之後不再有下注。問:(1) 跟注需要多少勝率?(2) 20 張 outs 全算乾淨時,實際勝率多少?(3) 若其中 4 張補到後有可能輸給更大的牌(不乾淨),勝率與 EV 變成多少?(4) 同樣用德撲 9 張 outs 的同花聽牌,門檻過不過?
第 1 步,門檻:跟注 100 之後底池變 100 + 100 + 100 = 300,贏的人拿走 300,其中你的淨賺是 200(原底池 100 加對手那 100)。所需勝率 = 跟注額 ÷(最終底池)= 100 ÷ 300 = 33.33%。這和德撲完全相同:對手下注一個底池,你就需要三分之一的勝率。PLO 因為下注上限是底池,「下注一個底池」是最常見的尺度,這個 33.33% 會反覆出現。
第 2 步,實際勝率(20 張乾淨 outs):PLO 翻牌圈你有 4 張底牌、場上 3 張,看不到的牌 = 52 − 4 − 3 = 45 張。兩張牌(轉牌、河牌)都沒補到的機率 = C(25,2) ÷ C(45,2) = 300 ÷ 990 = 0.3030,補到至少一張 = 1 − 0.3030 = 69.70%。這比乘 4 估計的 80% 低很多,也再次印證 outs 越多、2/4 法則越高估(第 71 課第 3 題的修正式:乘 4 再減(outs − 8),20 − 8 = 12,80 − 12 = 68%,與 69.7% 相當接近)。
第 3 步,扣掉不乾淨的 outs:假設 20 張裡有 4 張補到後對手仍可能有更大的同花或葫蘆,保守地只算 16 張乾淨 outs。未知牌仍是 45 張,沒補到的牌有 45 − 16 = 29 張,兩張都沒補到 = C(29,2) ÷ C(45,2) = 406 ÷ 990 = 0.4101,補到 = 58.99%。跟注的 EV = 0.5899 × 200 − 0.4101 × 100 = 117.98 − 41.01 = +76.97(以底池 100 為單位,約 +0.77 個底池)。即使打了折扣,仍遠高於門檻 33.33%。
第 4 步,德撲 9 張 outs 的對照:德撲翻牌圈你只有 2 張底牌,未知牌 47 張,9 張同花 outs 兩張都沒補到 = (38/47) × (37/46) = 1406/2162 = 0.6503,補到 = 34.97%,只比 33.33% 高一點點,EV = 0.3497 × 200 − 0.6503 × 100 = 69.94 − 65.03 = +4.91,幾乎是邊緣決策。同一個「同花聽牌」在德撲是邊緣、在 PLO 跟 20 張大型聽牌比起來是壓倒性領先,差別來自 outs 數量,而不是公式不同。
反推最低 outs 數:令跟注門檻 33.33%,求 k 使 1 − C(45 − k, 2) ÷ 990 ≥ 1/3,即 C(45 − k, 2) ≤ 660,也就是 n(n − 1) ≤ 1320(n = 45 − k)。n = 36 時 36 × 35 = 1260 通過,n = 37 時 37 × 36 = 1332 不通過,所以 n ≤ 36,k ≥ 9。PLO 全押面對底池下注,只要有 9 張乾淨 outs 就夠本;換算成德撲未知牌 47 張的計算,9 張剛好是 34.97%,也剛好過關,兩邊的「門檻 outs」差不多。這才是真正的遷移結果:門檻不變,改變的是你「常拿得到多少 outs」。
應用題 B(非牌桌):手機維修險一份 NT9,000,你估計損壞機率 8%。買不買?EV(不買)的期望支出 = 0.08 × 9,000 = 720;買險的支出 = 1,200,所以買險的期望值 = 720 − 1,200 = −480,每份期望虧 480。對應德撲的觀念:保險費就是「跟注額」,賠付額就是「底池」,損壞機率就是「勝率」。損益兩平的損壞機率 = 1,200 ÷ 9,000 = 13.33%,要高於這個機率買險才不虧。
🧠 為什麼是這樣
兩題共用同一個骨架:付出多少(門檻)÷ 可能拿回多少,對照事件實際發生的機率。德撲的底池賠率是它,廿一點保險是它,維修險也是它。遷移成功與否取決於你能不能把新情境的三個要素對應到「跟注額、底池、勝率」。對應不出來,通常代表情境裡還有沒被算進去的成本,例如對手後續下注(隱含賠率)或你自己的風險承受力。
邊界要分開看。應用題 A 假設「全押、沒有後續下注」,現實中第一次跟注後若還有下注,隱含賠率與反向隱含賠率都會改變 EV;而且 outs 的乾淨程度要看對手範圍,PLO 對手常拿成牌加聽牌的組合,真實勝率可能比 58.99% 更低,所以才要保守打折。應用題 B 則顯示 EV 為負的決策不一定錯:若一次維修 9,000 會讓你的生活現金流斷掉,買險買的是「變異數的下降」,而不是期望值。這與銀彈管理同構,只是方向相反,牌桌上是別讓大幅度虧損淘汰你,維修險是別讓一次意外把你擠出安全邊際。
銀彈立場:本課的牌局題是紙上機率練習;真實金錢只用輸得起、與生活費分開的錢,不借錢、不加槓桿,單次風險不超過可用資金的 1% 到 2%。台灣沒有合法的現金撲克賭場,不鼓勵到任何非法場合真金白銀實戰。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆即可。
- 重做應用題 A 的第 2、3 步:把乾淨 outs 改成 12 張,算 1 − C(33,2) ÷ C(45,2) = 1 − 528 ÷ 990,再與門檻 33.33% 比較(答案應為 46.67%,仍然通過)。
- 把對手下注改成半個底池(50):門檻 = 50 ÷ (100 + 50 + 50) = 25%,重新判斷 9 張與 12 張 outs 能不能跟。
- 把維修險改成:保費 NT7,000,算期望值與損益兩平機率,再寫下一句「如果我的緊急預備金只有 NT$5,000,我會怎麼決定」。
- 找一個自己生活中的付費保障或訂閱方案,用「付出、可能拿回、發生機率」三行寫下 EV。
自我檢查
- 我能解釋為什麼 PLO 的 20 張 outs 只有 69.7%,而不是 80%。
- 我能把任何「付費換保障」的決策改寫成跟注額、底池、勝率三要素。
- 我能說出 EV 為負但仍可能值得買的條件(風險承受力不足),並與銀彈管理連起來。
🔗 延伸
站內可延伸閱讀 德州撲克研習。PLO 規則與廿一點規則差異請以實際遊戲公告為準,外部連結從略。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 72 課:複習循環 · 跨牌類遷移(底池賠率搬到 PLO 與維修險)。這是教學練習,不是下注建議。
我的答案與計算:
- PLO 翻牌圈底池 100,對手下注 100,跟注門檻 100/300 = 33.33%
- 20 張乾淨 outs,未知牌 45 張,1 − C(25,2)/C(45,2) = 1 − 300/990 = 69.70%
- 16 張乾淨 outs:1 − 406/990 = 58.99%,EV = 0.5899 × 200 − 0.4101 × 100 = +76.97
- 維修險:保費 1,200、修理費 9,000、損壞機率 8%,EV = 720 − 1,200 = −480,損益兩平機率 13.33%
請:
1. 逐題檢查算式,把「公式或定義」「我的計算」「你的推論」分開列出;算錯就指出哪一步。
2. 舉一個「全押且沒有後續下注」這個假設失效的 PLO 情境,說明 EV 會往哪個方向偏。
3. 再出 3 題把底池賠率搬到非牌桌決策的應用題(附答案與計算過程),不要編造研究、數據或連結。
4. 提醒我:台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,資金只用輸得起的錢,不借錢、不加槓桿。