玩牌技術 · 第 69 課 複習循環 · 實戰手牌拆解拆了一手翻牌後的頂對,今天退回牌局的起點,重做第 3 課的主題「169 種起手牌」。第 3 課只給了計數與口訣(同花約多 3% 到 4% 權益、AKo 人多時掉到兩成上下),今天用枚舉與抽樣把這些口訣量成數字:169 格的權益實際長什麼形狀,同花溢價到底多大、跟什麼有關,以及對手從 1 個變 8 個時,哪些牌縮水得最快。聲明:以下數字全是我自己用 Python 算的。 權益是「所有人攤牌到河牌、中途沒人棄牌」的全押權益;每格起手牌對 1 個隨機手牌各抽樣 10 萬局,抽樣誤差約 ±0.3 個百分點(95% 信賴);用到精確枚舉的地方會標明。本文是機率訓練,不構成下注建議;台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,只能當成紙上練習。
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權益分布:169 格的形狀
先做一個驗算:把 169 格各自對隨機手牌的權益,按 combos 加權平均,結果是 50.0%。這是必然的(兩個隨機手牌互相對打,平均各半),所以它同時是程式有沒有算錯的檢查,而且我另外用一個「21 個 5 張牌組合取最大」的暴力評估器,對 3 萬組隨機對決逐一比對勝負,零筆不一致。
整體形狀是「頭尾極端、中間擠成一團」:
| 項目 | 數字(自算) |
|---|---|
| 最高 | AA 85.3%、KK 82.2%、QQ 79.9%、JJ 77.4%、TT 74.9% |
| 最低 | 32o 32.4%、42o 33.2%、62o 33.9%、52o 34.1%、72o 34.4% |
| 權益 60% 以上 | 30 種牌、196 個 combos,占 1326 的 14.8% |
| 權益 40% 以下 | 26 種牌、240 個 combos,占 18.1% |
| 權益高於 50% | 89 種牌、654 個 combos,占 49.3% |
| 加權中位數 | 約在 T8o(50.0%) |
最高到最低差 53 個百分點,但中間一半的 combos(從第 25 到第 75 百分位)只落在 42.4% 到 56.9% 之間,寬度 14.5 個百分點。也就是說,多數隨手發到的牌彼此差距很小,真正拉開差距的是頭部那 15% 與尾部那 18%。三類的平均(按格數平均)是:對子 68.6%、同花 50.9%、非同花 48.1%。
有兩個細節對第 3 課的「強弱地圖」是補強。第一,最小的對子 22 是 50.4%,幾乎正好是整張表的中位數;對隨機手牌來說,22 排在 169 格的第 86 名,只比平均牌好一點點,它的價值幾乎全在翻牌打中三條(set)。第二,對隨機手牌的權益排行,77(66.3%)排在 AKo(65.4%)前面,但兩者直接對打,AKo 只有 44.9%,AKs 47.7%。「對隨機手牌」的排行不能直接拿來預測兩手特定牌的對決,下面會有更極端的例子。
同花溢價:量出來是 2.8,不是 3 到 4
第 3 課說同花比非同花多「約 3% 到 4%」的權益。把 78 組非對子牌的 suited 與 offsuit 版本逐一相減,結果是平均 2.76 個百分點,最小 AQs 的 1.8,最大 52s 的 3.9。所以那句口訣在高張牌身上偏高;「3 到 4」只在低張牌才成立。
溢價跟什麼有關?我把 78 組分別按「兩張牌的間隔」與「高張是什麼」分組(間隔 0 代表連張):
| 間隔 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 平均溢價(百分點) | 2.78 | 2.77 | 2.80 | 2.85 | 2.79 | 2.82 |
| 高張 | A | K | Q | J | T | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 平均溢價(百分點) | 2.10 | 2.41 | 2.48 | 2.68 | 2.87 | 3.01 | 3.05 | 3.34 | 3.54 | 3.49 |
間隔幾乎不影響溢價(全落在 2.77 到 2.85),高張才有影響:高張越低,同花越值錢。 這兩張表的誤差都在 ±0.3 左右,所以「間隔 3 比間隔 1 多 0.08」不要解讀,只看趨勢:A 高 2.1、7 高以下 3.4 以上。我對原因的推測(推論,沒有進一步驗證):高張牌靠高牌與頂對就能贏很多局,同花是「輸的局裡救回一部分」;低張牌本來就靠做成牌才贏,同花直接補上一條主要贏路。
再從組合機率看同花的上限:持同花色兩張牌,到河牌前公共牌出現至少 3 張同花色的機率是 6.40%(自算:C(11,3)×C(39,2) 加 C(11,4)×39 加 C(11,5),再除以 C(50,5));持非同花兩張牌,要有一個花色的公共牌湊滿 4 張,兩個花色合計只有 1.85%。差距 4.55 個百分點,但權益溢價只有 2.8,約六成轉成了權益,其餘被「同花沒贏過對手、或不做同花也已經贏」吃掉(這個比例是我自算 2.76 ÷ 4.55 的結果,解釋屬推論)。
連張與同花,各值多少?把它們換算成「間隔」
拿 T 高的牌看同花與間隔的互換比率:
| 牌 | 同花 | 非同花 |
|---|---|---|
| T9(連張) | 54.1% | 51.7% |
| T8(隔 1) | 52.3% | 50.0% |
| T7(隔 2) | 50.7% | 47.8% |
每多隔一格約少 1.6 到 2.2 個百分點,同花約值 2.4 到 2.9。所以 T8s(52.3%)比 T9o(51.7%)還強:同花補償得了一個間隔,而且還略有剩。這是只對 T 高成立的換算(自算),用在 A 高牌時溢價小得多,不能照搬。
對手變多:誰先縮水?
對 1、2、5、8 個隨機對手,各抽樣 4 萬局(誤差約 ±0.3,5% 以下的牌誤差更小;同一手牌如 77 對 1 個對手,這次 66.9%,與上面 10 萬局的 66.3% 差 0.6,就是抽樣雜訊)。括號內是「權益 × 總人數」:大於 1 代表拿到的比平分公平份額多,越大越強。
| 牌 | 對 1 人 | 對 2 人 | 對 5 人 | 對 8 人 |
|---|---|---|---|---|
| 80.2%(1.60) | 65.0%(1.95) | 37.6%(2.25) | 24.9%(2.24) | |
| AKs | 66.9%(1.34) | 50.7%(1.52) | 31.3%(1.88) | 22.5%(2.02) |
| AKo | 65.7%(1.31) | 48.0%(1.44) | 27.8%(1.67) | 19.2%(1.73) |
| 77 | 66.9%(1.34) | 46.3%(1.39) | 21.9%(1.32) | 15.2%(1.37) |
| KQo | 61.5%(1.23) | 44.6%(1.34) | 25.0%(1.50) | 17.1%(1.54) |
| JTs | 57.5%(1.15) | 41.8%(1.25) | 24.6%(1.48) | 18.0%(1.62) |
| A5s | 60.1%(1.20) | 41.7%(1.25) | 22.2%(1.33) | 15.8%(1.42) |
| T9s | 54.2%(1.08) | 38.8%(1.16) | 22.4%(1.34) | 16.3%(1.47) |
| 72o | 34.5%(0.69) | 20.8%(0.62) | 8.8%(0.53) | 5.5%(0.50) |
絕對權益人人都掉,但看相對份額會發現:AKo 對 8 人是 19.2%,和第 3 課說的「兩成上下」吻合;77 的相對份額幾乎動也不動(1.34 到 1.37),而 AKs 與 JTs、T9s 的相對份額隨人數增加而變大。意思是:越多人進池,只靠「現在比較大」的牌(中對子)優勢不會擴大,能做出頂級成牌或堅果的牌(高張同花、連張同花)才吃得到加人的紅利。這是全押到攤牌的模型,真實的多人池會有人棄牌,而且位置、後續下注都會改變可實現的權益,所以只能拿它看趨勢。
非遞移:對隨機強,不代表對特定牌強
最後用幾組直接對打(各 10 萬局;最後一組另用精確枚舉全部 171 萬 2304 種公共牌確認):
| 對決 | 前者權益 |
|---|---|
| AKo 對 AQo | 74.4% |
| AKs 對 AQo | 75.3% |
| AKo 對 QQ | 43.3% |
| AKs 對 22 | 49.8% |
| 22 對 KQo | 51.4% |
| 22 對 T9o | 48.5% |
| 22 對 T9s | 46.3%(精確枚舉 46.2%) |
| A5s 對 KQo | 60.3%(精確枚舉 60.6%) |
22 對 T9s 反而是落後方,與「對子對上兩張高牌是小幅領先」的直覺不同:連張同花有大量順子與同花的贏路,而 22 贏路主要是三條。A5s 對 KQo 領先六成,雖然 KQo 對隨機手牌的權益(61.5%)比 A5s(60.1%)還高。 原因(推論,但能和結果對上):兩手都沒打中對子時,A 高勝過 K 高;兩手都中對子時,A 對勝過 K 或 Q 對。這就是為什麼 AKo 對 AQo 的 74.4% 幾乎是壓倒性:共用的 A 讓 AQ 的贏路只剩打中 Q 且 A 沒中。第 3 課說的「領先或落後」這個支配關係(domination),在這裡被量出來了。
🧠 為什麼是這樣
這些數字的共同教訓是:起手牌強弱是一個「對手範圍」的函數,而不是牌的固有屬性。對隨機手牌的 169 格排行,等於假設對手範圍是全部 1326 個 combos 等權重,但翻牌前被加注後留下來的範圍是高度偏斜的,在偏斜的範圍面前,A5s 這種被高張壓過的牌會縮水,22 和 T9s 的相對位置也會變。第 4 課以後談的位置化開牌表,就是在處理這件事,可參考起手牌與位置化開牌範圍與組合數與阻擋牌。
這個模型有幾個明確邊界。第一,全是攤牌到河牌的全押權益,不含下注、棄牌與位置,實戰可實現的權益會偏離:有位置的人通常實現得更多,沒位置的人更少,小對子和 Ax 同花的實現率尤其依賴後續的下注結構。第二,抽樣誤差:每格 ±0.3,所以「兩格差 0.5」不要拿來排名;同花溢價的單格值(如 72s 的 3.8)誤差更大,我只拿平均和趨勢下結論。第三,這是對隨機手牌或單一特定牌,不是對一個有策略的對手範圍,真實對手會根據你的行動調整,第 55 課談過這點。第四,沒有抽水;真實牌桌的抽水會把邊際薄的牌從可玩範圍裡擠出去。
銀彈立場:本課全是紙上演練,沒有任何一個數字代表你某一手的實際期望值。只能用輸得起、與生活費分開的錢,不借錢、不加槓桿;台灣沒有合法的現金撲克賭場,不鼓勵到任何非法場合真金白銀實戰。
✍️ 今日練習
20 分鐘,紙筆即可;有 Python 的話,再多花 10 分鐘驗證。
- 憑直覺把這 8 手牌由強到弱排序:A5s、KQo、77、T9s、JTo、66、A9o、K9s。寫下你估的「對隨機手牌」權益,再對照本文表格中已有的 A5s 60.1%、KQo 61.5%、77 66.3%、T9s 54.1%,算你的估值與實際的平均誤差。
- 用本文的算法自己算一次:持同花色兩張牌到河牌做成同花的機率 = [C(11,3)×C(39,2) + C(11,4)×39 + C(11,5)] ÷ C(50,5),應得約 6.40%;再算非同花的 1.85%,檢查差距 4.55 個百分點。
- 選 T8s 與 T9o,依第 3 課「同花約 3% 到 4%」的口訣預測誰權益高,再對照本文的 52.3% 對 51.7%,寫下口訣在這裡錯在哪裡。
- 有 Python 的話,寫一個 5 張牌暴力評估(21 個組合取最大)加 1 萬局抽樣,算 22 對 T9s,看是否接近 46%;結果會有約 ±1 的抽樣誤差,把你的數字貼進問 AI 的提問裡。
自我檢查
- 我能說出同花溢價平均約 2.8 個百分點,且高張越低越大、間隔幾乎無關。
- 我能解釋為什麼 77 這種牌在加人後相對份額不增,而高張同花會增。
- 我能舉一個「對隨機手牌強,但對特定牌弱」的例子,並說出為什麼。
🔗 延伸
- 站內:起手牌與位置化開牌範圍、組合數與阻擋牌。
- 外部連結本篇略過;本課所有數字是我自己的抽樣與枚舉,與其他來源的表格若差 1 個百分點內,多半是抽樣誤差或對手範圍定義不同。
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 70 課:複習循環 · 舊課深化(起手牌結構:169 格的權益分布、同花溢價、對手變多時的縮水)。這是教學練習,不是下注建議。
我自己用 Python 抽樣得到的數字:
- 對隨機手牌,combos 加權平均 50.0%;權益 60% 以上的 30 種牌占 14.8% combos
- 同花溢價平均 2.76 個百分點,A 高約 2.1,7 高以下約 3.4 以上
- T8s 52.3% 對 T9o 51.7%;22 對 T9s 約 46%;A5s 對 KQo 約 60%
- AKo 對 1、2、5、8 個隨機對手:65.7%、48.0%、27.8%、19.2%
請:
1. 逐項說明我的算法可能有哪些偏誤(抽樣誤差、攤牌到河牌的全押權益、對手範圍等),並把「公式或定義」「我的抽樣結果」「你的推論」分開列。
2. 解釋「同花溢價隨高張變低而變大」的合理機制,並指出哪些是推論、哪些我可以自己驗證。
3. 給我 5 組我可以自己用 Python 驗證的對決(例如 22 對 T9s),附預期的大概數字範圍,不要編造研究、數據或連結。
4. 提醒我:台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,資金只用輸得起的錢,不借錢、不加槓桿。