玩牌技術 · 第 67 課 複習循環 · 混合測驗驗證了工具能在沒有提示下用出來,今天要解決的是另一個問題:EV、變異數與銀彈管理這套東西,離開牌桌後還站得住腳嗎?我們拿一個非牌桌的機率決策來測:一個預備金 30 萬元的人,要不要把 10 萬元投進一個「成功機率低、成功報酬高」的副業專案。聲明:所有數字都是自擬的教學題,成功率與報酬是假設,不是任何真實專案的資料;計算我用 Python 驗證過。 台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險;本課只是借牌桌的風險觀念做決策練習,不是投資或下注建議。
📖 學
應用題
專案 A:投入成本 10 萬元。成功機率 30%,成功時拿回 50 萬元(淨賺 40 萬元);失敗機率 70%,成本全數損失(淨虧 10 萬元)。你的總預備金是 30 萬元,而且這筆錢只是「輸得起」的部分,與生活費分開。問題:A 是正 EV 嗎?該投嗎?如果要投,每次最多投多少?
第一步:算 EV 與標準差
EV = 0.3 × 40 + 0.7 × (−10) = 12 − 7 = +5 萬元,也就是每投 1 元期望賺 0.5 元,報酬很漂亮。變異數 = 0.3 × (40 − 5)² + 0.7 × (−10 − 5)² = 0.3 × 1,225 + 0.7 × 225 = 367.5 + 157.5 = 525,標準差 = √525 = 22.9 萬元。標準差是 EV 的四倍多,代表單次結果幾乎不反映期望值,和德撲短樣本的情況一樣。
第二步:問「會不會先死掉」
預備金 30 萬元、每次投 10 萬元,等於只有 3 個「買入」。連續失敗三次的機率 = 0.7³ = 34.3%,而連續三次失敗就是 30 萬元歸零,無法再投下一次。更完整地算:我用逐次遞推,假設每次都投固定 10 萬元、資金不足 10 萬就停止,嘗試 100 次後「曾經資金耗盡」的機率約 50.3%。EV 是正的,卻有一半的機率走到破產,這就是銀彈不足的典型後果。
第三步:用凱利公式找上限
單次賠率 b = 40 ÷ 10 = 4(賺 4 賠 1),勝率 p = 0.3,凱利比例 f* = (b × p − q) ÷ b = (4 × 0.3 − 0.7) ÷ 4 = 0.5 ÷ 4 = 12.5%,也就是每次最多投預備金的 12.5%,即 30 萬元 × 12.5% = 3.75 萬元。實務上常用半凱利(約 6.25%,1.9 萬元左右),因為勝率本身是估計,估高就會過度下注。
再看 10 萬元的投法:單次投入占預備金 1 ÷ 3,對數成長率 = 0.3 × ln(1 + 40 ÷ 30) + 0.7 × ln(1 − 10 ÷ 30) = 0.3 × 0.8473 + 0.7 × (−0.4055) = 0.2542 − 0.2838 = −0.0296,每次的預備金幾何成長率是 −3.0%。也就是說,EV 為正,重複下注的長期幾何成長卻是負的,因為下注過大,輸的時候吃掉的本金讓你來不及等到贏的那次。改成每次投 3 萬元:成長率 = 0.3 × ln(1 + 12 ÷ 30) + 0.7 × ln(1 − 3 ÷ 30) = 0.3 × 0.3365 + 0.7 × (−0.1054) = 0.1009 − 0.0738 = +0.027(正的 2.7%)。連續失敗 10 次才耗盡預備金,機率 0.7¹⁰ = 2.8%;100 次內曾經資金耗盡的機率約 10.1%(同樣是固定 3 萬元、不足即停的模型)。若縮到 1.5 萬元,耗盡機率降到約 1.0%,但成長率也降到 +1.9%,風險與成長要取捨。
🧠 為什麼是這樣
這題對應的是第 16 課與銀彈管理的核心結論:決定你會不會活下來的,不是 EV 而是單次下注占總資金的比例。把牌桌語彙翻譯一下:專案成本是「買入」,預備金 ÷ 成本是「買入數」,30 萬 ÷ 10 萬 = 3 個買入,就像拿三個買入去打一個高變異的賽事,幾乎一定會被一段壞運氣淘汰;30 萬 ÷ 3 萬 = 10 個買入已經好一點,但現金局常見的保守建議也要求更多買入,這是牌桌經驗,我沒有給出統一標準,要看你的風險承受度。
遷移的前提要說清楚:(1)牌桌的機率可以用組合數算,專案的成功率只能估,誤差大得多,所以才要用半凱利而不是滿凱利;(2)專案不是獨立重複,失敗可能帶來資訊與技能,也可能讓下一次更難,這個模型沒有納入;(3)我假設報酬是二元(全成功或全失敗),真實專案有部分回收;(4)凱利假設你知道 p,若 p 實際是 20% 而不是 30%,則 b × p − q = 4 × 0.2 − 0.8 = 0,EV 為零,凱利比例就是 0,連這一單都不該投。結論不是「勇敢冒險」,而是先算清最壞情況你輸不輸得起,再決定要不要玩。
銀彈立場:任何涉及金錢的決策,上限由「輸掉這筆錢生活不受影響」決定,而非由 EV 決定;本課不鼓勵借錢、加槓桿或把生活費放進去。
✍️ 今日練習
15 到 20 分鐘,紙筆與計算機(或簡單的 Python):
- 把應用題換成你的真實近似情境(例如一個要花一筆錢的課程、小生意或副業),寫下:成本、你估計的成功率與成功報酬、預備金。只用你輸得起的預備金,生活費不計入。
- 計算 EV、標準差、買入數(預備金 ÷ 成本),以及連續失敗到歸零的機率 = (1 − p) 的買入數次方。
- 計算凱利比例與半凱利上限,對照你的實際投入比例,過大就把投入拆小(分期、先做小規模測試)。
- 把成功率下調 10 個百分點重算一次,看 EV 與凱利比例還在不在,練習壓力測試。
自我檢查
- 我能說明為什麼 EV 為正的決策,在投入比例過大時長期成長率會是負的。
- 我能把專案成本、預備金翻譯成「買入」與「買入數」,並算出連續失敗歸零的機率。
- 我知道凱利比例的前提是 p 估得準,並會用半凱利與成功率下調來壓力測試。
🔗 延伸
💬 問 AI
我在練「玩牌技術」第 68 課:複習循環 · 跨牌類遷移,把銀彈管理搬到非牌桌決策。這是教學練習,不是投資或下注建議。
我的情境:
- 單次投入成本 [10] 萬元
- 我估計成功機率 [30]%,成功時淨賺 [40] 萬元,失敗淨虧成本
- 我的預備金 [30] 萬元(輸得起、與生活費分開)
請:
1. 算 EV、標準差、買入數、連續失敗歸零的機率,每步給完整計算過程。
2. 算凱利比例與半凱利,並指出我的投入是否過大。
3. 算固定投入下對數成長率,說明為什麼 EV 為正也可能長期成長為負。
4. 把成功機率下調 10 個百分點做壓力測試。
5. 把「公式」「我的假設」「我該自己驗證的部分」分開列,不要編造研究、數據或連結。
6. 提醒我:台灣沒有合法的現金撲克賭場,賭博有法律風險,資金只用輸得起的錢,不借錢、不加槓桿。