昨天的攝影留下的待辦是暗場實測、真實 RAW 的光圈掃描和 CFA 去馬賽克,這三項我今天都沒有真機可做,所以維持未完成。今天接的是昨天那張表的一個缺口: 與 MTF50 上限只描述「正好在對焦面上」的點,風景照要的是從前景到無限遠都夠銳,縮光圈換景深的同時繞射在吃解析度,兩邊拉扯的結果沒有算過。結果有四條。第一,把前景最近距離記為 ,最壞情況最小化的對焦距離恰好是 ,此時前景與無限遠的模糊圈直徑完全相等,與焦距、光圈無關。第二,整題壓成一個無單位的數 ,最佳 只由 決定。第三,以 24 mm、像素 4.4 µm、前景 1 公尺為例,最壞點的 MTF50 在 f/8 是 0.079 cyc/px,f/16 是 0.119,f/22 是 0.117,最佳光圈約 f/18,而傳統「模糊圈 0.03 mm」配方給的 f/9.7 只有 0.092。第四,最佳點很平,f/14 到 f/23 都在最佳值的 95% 以內。
📖 學
一、傳統配方:模糊圈 0.03 mm 換成像素是多大
超焦距的定義式是 , 是焦距, 是光圈值, 是容許的模糊圈直徑;對焦在 時,從 到無限遠都算「可接受地清楚」。我抓到的 Wikipedia 超焦距條目給了同一個式子與一個算例:50 mm、f/8、 mm, mm,約 10.5 公尺,清楚範圍從 5.2 公尺到無限遠;我代入驗算,2500/0.24=10,416.7,加 50 得 10,466.7,吻合。模糊圈條目給的一般式是物體在 、對焦在 時 ,並說全片幅常用的 0.029 mm(d/1500)對應「在 30 公分對角線的相紙上解析每毫米 5 線對」、假設明視距離約 25 公分,另有 0.030 與 0.033 mm 兩種常見取值。Wikipedia 景深條目對繞射只有定性敘述(高光圈值讓影像失去銳利度、限制可能的景深),並提到 Hansma 的方法用均方根合成散焦與繞射來求「最大銳利度的光圈值」,沒有給數字。
這個 0.03 mm 是為「放大成相紙、用眼睛看」訂的標準,不是為「100% 檢視一個 4.4 µm 像素的檔案」訂的。換算:0.03 mm 除以 4.4 µm 是 6.82 個像素。24 mm、f/8、 時, mm,近限 1212 mm;近限與無限遠那兩端的模糊圈都是 6.82 像素寬。一個 6.82 像素直徑的均勻圓盤,單獨(含像素孔徑)的 MTF50 是 0.103 cyc/px,再疊上 f/8()的繞射是 0.094,而昨天算過的 f/8 無散焦上限是 0.322。也就是說,傳統配方允許的模糊,把 MTF50 壓到只剩無散焦時的三成不到,而且這個壓法不是缺陷,是它當初對印刷尺寸做的取捨。
二、把散焦放進 MTF
幾何光學下,散焦的點擴散函數是直徑 的均勻圓盤,它的 MTF 是 ( 是第一類貝索函數, 是空間頻率)。整條鏈路是三個因子相乘:繞射的 MTF、像素孔徑的 、散焦圓盤。以每像素週期數 、模糊圈直徑換成像素 、繞射用昨天的 ,算出 MTF50。
為了確認公式與昨天的斜邊估計器對得上,我把整條鏈做成 2D 合成影像再量:8 倍過取樣的 5 度斜邊,在頻域乘上繞射與散焦的 2D 光學傳遞函數,再以 8×8 平均模擬 100% 填充像素,用昨天那段 mtf50 程式量(視窗兩側各 50 像素)。
| 模擬量到的 MTF50 | 公式 | ||
|---|---|---|---|
| 0 | 1.0 | 0.325 | 0.322 |
| 2 | 1.0 | 0.230 | 0.228 |
| 4 | 2.0 | 0.123 | 0.121 |
| 8 | 2.3 | 0.074 | 0.072 |
| 4 | 0.5 | 0.159 | 0.158 |
五組差距都在 0.003 以內,這只證明我的公式和估計器自洽,不證明真實鏡頭的散焦長得像一個均勻圓盤(真實點擴散函數受球差、葉片形狀影響,見七月對焦堆疊那篇提過的散景質感),這是這個模型最大的簡化。
三、最壞情況最小化:焦點放在最近距離的兩倍
設場景從最近距離 一直延伸到無限遠,對焦在 。模糊圈隨物距單調變化,所以最壞點只會出現在兩端。無限遠端是 ;近端是 。兩者相等時 ,即 ; 時無限遠端更糊, 時近端更糊,所以最壞模糊圈在 時最小,最小值是
這就是超焦距式 在 的版本,等於「近限等於 」那條規則;焦距在這一步不影響結論,只影響大小。接著把它換成像素,乘上 :
在乘積裡被消掉, 只取決於焦距、像素間距、前景最近距離與波長。縮小光圈時散焦以 變小、繞射以 變大,所以 取多少能讓 MTF50 最大,只依 而定。我把 從 0.2 掃到 8,對每個 找最壞點 MTF50 最大的 :
| 最佳 | 最佳 | 最壞點 MTF50 | 同一 的無散焦上限 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.77 | 1.30 | 0.301 | 0.375 |
| 2 | 1.11 | 1.81 | 0.229 | 0.301 |
| 4 | 1.57 | 2.54 | 0.169 | 0.232 |
| 8 | 2.23 | 3.58 | 0.122 | 0.171 |
| 16 | 3.17 | 5.04 | 0.088 | 0.124 |
| 32 | 4.51 | 7.10 | 0.062 | 0.088 |
| 64 | 6.35 | 10.08 | 0.044 | 0.063 |
兩個趨勢。最佳 大約隨 增長(從 的 0.77 到 的 6.35, 增 64 倍、 增 8.2 倍),代表景深需求越大,最佳光圈越過「繞射開始吃解析度」的線越遠;而最佳點的最壞 MTF50 只有同一 無散焦上限的 70% 到 80%(0.301/0.375=80%、0.044/0.063=70%),那 20% 到 30% 是為了要深景深必須付的稅。
四、代入真實器材,與傳統配方比較
波長取 550 nm。下表每列的「傳統」是把 mm 代進 解出的光圈值(),焦點同樣放在 ;「最佳」是對 掃描的結果;「95% 區間」是 MTF50 不低於最佳值 95% 的光圈範圍。
| 焦距、像素間距、前景距離 | 傳統光圈 | 傳統的 MTF50 | 最佳光圈 | 最佳的 MTF50 | 改善 | 95% 區間 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 24 mm、4.4 µm、2 m | 4.12 | f/4.8 | 0.097 | f/12.8 | 0.167 | +72% | f/9.9 到 f/16.4 |
| 24 mm、4.4 µm、1 m | 8.28 | f/9.7 | 0.092 | f/18.2 | 0.120 | +32% | f/14.2 到 f/23.3 |
| 24 mm、4.4 µm、0.5 m | 16.77 | f/19.7 | 0.080 | f/26.0 | 0.086 | +7% | f/20.4 到 f/33.1 |
| 35 mm、4.4 µm、1 m | 17.71 | f/20.8 | 0.079 | f/26.7 | 0.083 | +5% | f/20.9 到 f/34.0 |
| 24 mm、5.9 µm、1 m | 4.61 | f/9.7 | 0.122 | f/18.2 | 0.159 | +30% | f/14.1 到 f/23.2 |
| 24 mm、3.76 µm、1 m | 11.34 | f/9.7 | 0.078 | f/18.3 | 0.104 | +32% | f/14.3 到 f/23.3 |
這張表的讀法有幾層。傳統配方在像素 4.4 µm 時隱含的模糊圈固定是 6.82 像素,所以前景遠(2 公尺)時它挑的光圈偏小,代價最大(+72%);前景近到 0.5 公尺以內時兩條路收斂,因為這時兩者都落在繞射主導的區域,改善只剩 5% 到 7%,也就是在這種距離下「一張照片拍出全域銳利」本來就做不到,最佳點的 MTF50 只有 0.086 或 0.083,約是無散焦 f/8 上限 0.322 的四分之一,這種場景該走對焦堆疊。另外「最佳光圈」幾乎不隨像素間距動(5.9、4.4、3.76 µm 都是 f/18 上下,因為 與 同時變動,結果互相抵銷),但最壞點 MTF50 隨像素變小而掉,4.4 µm 的 0.120 掉到 3.76 µm 的 0.104,每個像素分到的細節減少。
以 24 mm、4.4 µm、前景 1 公尺為例,各光圈的最壞點 MTF50(對焦在 2.0 公尺,無限遠端與 1 公尺端相同):
| 光圈 | 最壞模糊圈(像素) | 最壞點 MTF50 | 無散焦上限 | |
|---|---|---|---|---|
| f/4 | 0.50 | 16.56 | 0.042 | 0.450 |
| f/5.6 | 0.70 | 11.83 | 0.057 | 0.393 |
| f/8 | 1.00 | 8.28 | 0.079 | 0.322 |
| f/11 | 1.38 | 6.02 | 0.100 | 0.257 |
| f/16 | 2.00 | 4.14 | 0.119 | 0.189 |
| f/22 | 2.75 | 3.01 | 0.117 | 0.142 |
| f/32 | 4.00 | 2.07 | 0.094 | 0.099 |
f/8 到 f/16 增加 51%(0.079 到 0.119),f/16 到 f/32 反降 21%。f/4 到 f/8 的過程中 MTF50 每收一格約增加 36% 到 39%(0.042、0.057、0.079),因為散焦主導;f/22 以後才進入繞射主導,到 f/32 時最壞點(0.094)幾乎貼著無散焦上限(0.099),此時散焦只剩 2 像素,不再是瓶頸。
五、與 Hansma 式的均方根合成相互檢查
Wikipedia 景深條目提到的 Hansma 做法,是把散焦模糊與繞射模糊用均方根合成後對光圈求極小。我用自己的版本交叉檢查:散焦圈 (),繞射艾里斑直徑取 ,總模糊 的極小點在 。代入 24 mm、前景 1 公尺: mm,。同樣算法得 2 公尺的 f/10.4、0.5 公尺的 f/21.0、35 mm 前景 1 公尺的 f/21.6,分別比 MTF50 法的 f/12.8、f/26.0、f/26.7 低約 20%。兩種方法差在「模糊寬度」和「MTF50」是不同的準則,均方根算出的光圈落在 MTF50 法的 95% 區間(f/14.2 到 f/23.3)內,所以兩者在實務上可以互換。我沒有看到 Hansma 原文,只確認了 Wikipedia 的一句描述,這裡的均方根公式是我依描述自己寫的版本。
六、對焦誤差有多敏感
最佳點是最小最大值,離開 的方向兩邊都會單邊變壞。24 mm、前景 1 公尺、光圈固定,對焦距離從 2.0 公尺偏離 ±10%:
| 光圈 | 對焦 1.8 m | 對焦 2.0 m | 對焦 2.2 m |
|---|---|---|---|
| f/11 | 0.091 | 0.100 | 0.093 |
| f/16 | 0.111 | 0.119 | 0.113 |
| f/22 | 0.113 | 0.117 | 0.113 |
偏 10% 損失約 3% 到 9%,f/22 最不敏感(因為模糊圈整體小),f/11 最敏感。所以實務上「對焦在 2.0 公尺附近就好」。我另外注意到偏 20% 時 f/22 仍有 0.108 到 0.111,比 f/11 在最佳點的 0.100 還高,代表如果對焦距離沒有把握,往大光圈值走是更穩的選擇,只是付出的是整體的繞射稅。
七、這個模型的邊界
三個簡化要記著。散焦用均勻圓盤,真鏡頭有球差、色散焦與葉片形狀,而且離軸像面彎曲會讓邊角的最佳焦點不在中央同一面上,所以真實的最壞點會比這裡低、最佳光圈會偏小。MTF50 當準則不等於人眼看到的銳利:散焦圓盤的 MTF 在第一個零點之後會反相,這裡只取第一次跌破 0.5 的位置,不管高頻的假解析。最後,繞射與散焦都是線性模糊,後製可以用去卷積救回一部分,但昨天寫過銳化會把 MTF50 推高到超過物理上限,所以「救回的 MTF50」不可以和物理上限混在同一張圖比。
這篇沒有碰到的:前景不是平面而是三度空間時(例如斜向的地面),模糊是沿著距離連續變化,最壞點在影像的邊緣而不一定在中央,上面的最小最大值是兩個端點的逐點結果,不是整張影像的平均。
🧠 記
焦點放在最近距離的兩倍。 從 到無限遠的場景,最壞模糊圈最小的對焦距離是 ,此時兩端相等,,與超焦距式 在 完全一致。
一個數決定最佳光圈:。 乘積 與光圈無關; 從 1 到 64,最佳 從 0.77 到 6.35,最壞點 MTF50 從 0.301 掉到 0.044。
傳統 0.03 mm 配方在 4.4 µm 像素上等於 6.82 像素的模糊。 24 mm、前景 1 公尺時它給 f/9.7,MTF50 為 0.092;最佳 f/18.2 為 0.120(+32%),但 f/14.2 到 f/23.3 都在 95% 以內。
前景近、 大時沒有好解。 24 mm、前景 0.5 公尺最佳也只有 0.086,約是無散焦 f/8 上限 0.322 的四分之一,該用對焦堆疊,不是再縮光圈。
對焦偏 10% 只損失 3% 到 9%。 f/22 最不敏感,f/11 最敏感。
邊界:全部數字是理想鏡頭、550 nm 單色、均勻圓盤散焦、像素 100% 填充的模擬結果;真機會更低,最佳光圈會偏小。傳統配方、公式與算例取自我抓到的 Wikipedia 超焦距與模糊圈條目(算例自己驗算過);景深條目只讀到定性段落與 Hansma 的一句描述,均方根公式是我自己寫的版本;Cambridge in Colour 景深頁我抓取時被回 403,沒有讀到,不引用。2D 合成驗證只證明公式與估計器自洽,沒有用真實 RAW 檔跑過。
✍️ 實踐
一次拍出「前景到無限遠」的光圈掃描(約 40 分鐘,需要卷尺與腳架)。
- 場景:選一個前景有可量距離的場景,例如一面貼了黑白斜邊的牆放在 1.0 公尺處(約 5 度傾斜,對比用深灰與淺灰約 4:1),畫面另一側有一個 50 公尺以上的遠處目標(建築物的直線邊緣、路牌)。遠處目標若在 50 公尺,模糊圈比無限遠小 ,可忽略。清晨或陰天空氣擾動較小,遠景邊緣才穩。
- 設定:焦距固定 24 mm(或變焦鏡拍到 24 mm 並記下),腳架、2 秒自拍、ISO 基礎值、手動對焦。先用卷尺量近端距離 ,對焦在 (用即時預覽放大對那一面牆或另一個放在 2.0 公尺處的目標,不要對在近端牆上)。對焦後不要再動,光圈從 f/5.6 到 f/32 每格拍一張,每格重拍兩次取對焦較好的。關閉銳化、降噪與鏡頭修正,存 RAW,用線性輸出取綠色通道。
- 分析:前景斜邊與遠景邊緣各裁一塊(至少 100×100 像素,兩側各留 50 像素以上),用[[daily/2026-10/2026-10-09/photography|昨天那段
mtf50]] 量,每格光圈取兩者較小者作為最壞點 MTF50。像素間距 用感光元件寬度除以像素寬度算,(、、 同用毫米),查前面表格的 對照。 - 預測與證偽條件:(a) 最壞點 MTF50 對光圈作圖,峰值應落在表中「95% 區間」的光圈範圍內(24 mm、4.4 µm、1 公尺是 f/14 到 f/23);(b) 峰值本身不應高於 0.12 cyc/px 的模型上限,若超過,先查是否忘記關銳化、轉檔不是線性、 算錯;(c) f/16 的最壞點應至少比 f/8 高 25%(模型是 51%),f/8 若不低於 f/16,先懷疑對焦距離量錯(用前面的敏感度表檢查偏 10% 的影響)或遠景目標其實不夠遠;(d) 若峰值落在 f/8 到 f/11 且遠低於上限,最可能是鏡頭本身在 f/16 以上已被像差或鏡頭設計限制(若中央與邊角的峰值光圈不同,表示場曲在作怪),此時這篇的模型對該鏡頭不適用,而不是模型錯。
- 加碼:把前景距離改成 0.5 公尺和 2 公尺再做兩輪,看峰值光圈是否依序往 f/21 到 f/33、f/10 到 f/16 的區間移動,同時最壞點 MTF50 峰值是否與表中 0.086 和 0.167 相近。
今天做得完的最小版本:只拍 f/8、f/16、f/22 三格,比較兩個邊緣的 MTF50,看 f/16 是否最壞點最高、f/8 的近端或遠端是否明顯較低。
🔗 延伸學習
- Wikipedia,〈Hyperfocal distance〉 — 超焦距式 、近限 、50 mm f/8 mm 算例 10,467 mm;我讀到摘要並自己驗算過。
- Wikipedia,〈Circle of confusion〉 — 模糊圈一般式、全片幅 0.029 mm(d/1500)的由來與 25 公分明視距離、5 線對每毫米假設;我讀到摘要。
- Wikipedia,〈Depth of field〉 — 繞射限制景深的定性敘述與 Hansma 的最佳光圈值方法(均方根合成);只讀到摘要,數字部分是我自己的算法。
- 對焦堆疊 Focus Stacking — 大 時的出路,本站七月那篇。
💬 問 AI
我要為「前景最近 d_n、遠到無限遠」的風景決定光圈與對焦距離。我的推導:最壞模糊圈最小的對焦距離是 s = 2·d_n,此時 c* = F²/[N(2·d_n − F)];把繞射用 Q = λN/p、散焦圓盤 MTF 2·J1(π·c·f)/(π·c·f)、像素孔徑 sinc(f) 相乘,對 N 掃描最壞點 MTF50,得到最佳 Q 只由 B = λF²/[p²(2·d_n − F)] 決定。
(1) 請檢查推導:s = 2·d_n 是否真的是最小最大值,為什麼與 F 無關?近端模糊圈公式 c_n = c_∞·(s − d_n)/d_n 對不對?
(2) 「均勻圓盤散焦」會高估還是低估真鏡頭的 MTF50?球差、色散焦、場曲各自的方向與大約量級是什麼?
(3) 前景是斜面(例如地面)而不是正面平面時,最壞點在影像裡的位置怎麼變,s = 2·d_n 還成立嗎?
(4) 請設計一個可證偽的實測:至少兩個預測(峰值光圈範圍、f/8 與 f/16 的相對高低),以及結果不符時如何區分「對焦誤差」「鏡頭像差」「模型錯誤」。
(5) 請把回答逐條標成「公式明確寫的」「你查證到的(附出處)」「你自己的推論」;查不到就說查不到,不要補數字;不要給任何買賣器材的建議。