上一課把 TC = RC ÷ 剩餘副數 推完，然後丟下一條沒有來源的經驗法則：每 +1 真數大約值 0.5% 的期望優勢。 那條法則當時只是被拿來當成所有表格的輸入。今天第一件事就是把它從經驗法則變成算得出來的常數，並且會發現那個 0.5% 恰好等於上一課用來做標準化的除數——那不是巧合。
接下來三件事：用 Kelly 準則把真數換成注碼（結論短到不可思議：最適注碼 = 銀彈 × 優勢 ÷ 變異數）；從自己的銀彈一格一格算出一張完整的下注斜坡，並得到它的每手期望值、變異數、所需銀彈、N₀ 與 SCORE；最後用同一部計算機回答標題的後半——優勢如何反轉。會證明三件事：下注幅度壓到 1-4 時整套系統期望值是負的；滲透率從 75% 降到 50% 時同一張斜坡也翻成負的；6:5 賠付則負到要 1-50 的幅度才救得回來。這三個都不是引述，是算出來的。
立場先講清楚，今天比上一課更需要講，因為今天整堂課都在談下多少錢。台灣沒有合法賭場，刑法第 266 條與社會秩序維護法都有相關規範；這一課的定位是機率工程與資本配置的心算訓練，不是營利計畫。 後面會算出來：一套規矩的 1-10 斜坡，在六副牌 75% 滲透的好桌上，每 100 手的期望值是 0.475 個最小注——最小注 25 美元的話是每小時 11.9 美元，而要把破產機率壓到 1% 你需要約 76,000 美元的銀彈。期望值是正的，這件事是真的；值不值得做是另一個問題，而今天的數字會讓那個答案變得很明顯。
📖 學
一、0.5% 從哪裡來：把斜率推出來
上一課把每個 EOR 除以 0.51（10 點牌 EOR 的絕對值）做標準化，後面又說「每 +1 真數約值 0.5% 優勢」。這兩個 0.5 是同一個嗎？ 是，可以證明。
1.1 EOR 是梯度的中心化版本
設玩家優勢 E 是牌堆組成比例向量 q 的函數，在中性組成附近一階展開，定義梯度 g_i = ∂E/∂q_i。
單副牌的 EOR_i 是「從 52 張抽掉一張 i」造成的優勢變化。抽掉之後剩 51 張，比例變動量是 δq_j = (n_j − 52·δ_ij)/(51·52)，代進一階展開：
EOR_i = Σ_j g_j δq_j
= [ Σ_j g_j n_j − 52 g_i ] / (51·52)
= ( ḡ − g_i ) / 51 其中 ḡ = Σ_j g_j p_j
EOR 是梯度的中心化版本除以 51。 這個式子自動滿足 Σ_i p_i·EOR_i = 0（加權平均後 ḡ − ḡ = 0），也就是所有牌的 EOR 以出現機率加權必然歸零——一個免費的驗算條件。拿上一課那張表驗一次（10/J/Q/K 權重 4/13）：
(1/13) × [ 0.38+0.44+0.55+0.69+0.46+0.28+0.00−0.18 + 4(−0.51) + (−0.61) ]
= (1/13) × (−0.03) = −0.0023 ≈ 0 ✓
在四捨五入誤差內歸零，那張表是自洽的。
1.2 任意剩餘牌堆的優勢
考慮一個發掉一部分的鞋，剩 52D 張、各點數 m_i。定義組成偏差 d_i = m_i − 52D·p_i（Σd_i = 0）。比例 q_i = p_i + d_i/(52D)，所以
ΔE = Σ_i g_i · d_i / (52D)
因為 Σd_i = 0，可以自由把 g_i 換成 g_i − ḡ，而 g_i − ḡ = −51·EOR_i。再設 r_i 為「已發出的 i 點牌超過等比例的張數」（d_i = −r_i）：
ΔE = (51 / 52D) · Σ_i EOR_i · r_i
分母出現 D 了。 這就是「必須除以剩餘副數」的代數根源：優勢變化量正比於超額移除向量與 EOR 向量的內積，再除以剩餘副數。上一課用「密度」這個直覺說明，這裡是它的一階展開版本。
1.3 用流水計數估那個內積
你數不出 Σ EOR_i·r_i，只數得出 RC = Σ t_i·r_i。用 RC 去預測那個內積，最佳線性係數是多少？ 標準最小平方：
b = Σ_i p_i · EOR_i · t_i / Σ_i p_i · t_i²
分子逐項（Hi-Lo：2–6 為 +1，7–9 為 0，10/J/Q/K/A 為 −1；負負得正）：
| 牌 | EOR_i | t_i | p_i·EOR_i·t_i ×13 |
|---|---|---|---|
| 2 / 3 / 4 / 5 / 6 | +0.38 / +0.44 / +0.55 / +0.69 / +0.46 | +1 | +2.52 |
| 7 / 8 / 9 | +0.28 / 0.00 / −0.18 | 0 | 0 |
| 10/J/Q/K（4 張） | −0.51 | −1 | +2.04 |
| A | −0.61 | −1 | +0.61 |
| 合計 ×13 | +5.17 |
分子 = 5.17/13 = 0.39769
分母 = Σ p_i t_i² = 10/13 = 0.76923 （10 個非零標籤，平方都是 1）
b = 0.39769 / 0.76923 = 0.5170
斜率 = (51/52) × 0.5170 = 0.5069
每 +1 真數 = +0.507 個百分點的玩家優勢。 那條「約 0.5%」是一個算得出來的常數，而它之所以接近 0.51，是因為 10 點牌佔了加權內積的 2.04/5.17 = 39.5%，權重最大，把整條回歸線往自己的 EOR 絕對值拉。上一課選 0.51 當標準化除數，等於無意中選到了斜率本身。
1.4 順手把 BC = 0.97 驗出來
分子分母都算出來了，Betting Correlation 只差一個標準化：
Σ p_i EOR_i² = (1/13)[0.38²+0.44²+0.55²+0.69²+0.46²+0.28²+0²+0.18²+4(0.51²)+0.61²]
= (1/13) × 2.8515 = 0.21935
BC = 0.39769 / sqrt(0.21935 × 0.76923) = 0.39769 / 0.41077 = 0.9682
0.968，對上文獻引述的 0.97。 上一課那張系統對照表裡的第一個數字，現在是自己算出來的。這也給了 BC 的幾何意義：它就是 EOR 向量與標籤向量在以 p_i 為權重的內積空間裡的夾角餘弦。 Wong Halves 的 0.99 就是它把向量對得更準的結果。
1.5 優勢函數，以及這條線在哪裡會歪
以一組標準的六副牌規則（S17、DAS、LS、3:2），基本策略在中性牌堆的莊家優勢約 0.50%：
e(TC) = 0.507 × TC − 0.50 （單位：百分點）
損益兩平點 0.50/0.507 = +0.99，就是上一課的 +1。今天要用的是它的一般式：TC* = 基本策略的莊家優勢 ÷ 0.507。
這條線在四個地方會歪：
一、它是一階展開。 TC 超過 +8 之後實際優勢成長會比線性慢（牌堆已高牌過載，邊際價值下降）。好消息是那個區間的頻率低到不影響總期望值——第三節會算出 TC ≥ +6 只有 1.49%。
二、index play 會讓真實曲線上凸。 e(TC) 是「一律照基本策略打」的優勢；同時做打法偏離的話，高 TC 區的真實優勢會高於線性預測。所以 0.507 是保守斜率，今天算出的所有數字都是「不用任何 index」的下限。
三、截距強烈依賴規則，斜率不太依賴。 莊家軟 17 要牌（H17）大約多 0.22 個百分點的莊家優勢，取消晚投降多約 0.08，禁止分牌後加倍多約 0.14（產業常見引述的量級，不同來源在小數第二位有出入）。規則變動主要是平移這條線，不是轉動它——而平移就足以殺死整個系統，第五節證明。
四、floor 取整會系統性低估。 上一課訂的 floor 規則讓你把 +2.8 當成 +2。下注時用 floor 後的 TC，估期望值時必須用該格的條件平均 TC，否則會把自己低估三成以上。今天的所有計算都遵守這條。
二、Kelly：最適注碼 = 銀彈 × 優勢 ÷ 變異數
2.1 推導
設銀彈 B、這手下注 x、每一元下注的結果是隨機變數 X（均值 μ_x、變異數 σ_x²），下注比例 f = x/B。
如果你最大化期望金額，答案是「有優勢就全押」——期望值對 x 是線性的。這個答案顯然錯了：全押會在第一次輸的時候歸零，而乘法過程沒有第二次機會。
Kelly 改成最大化對數銀彈，也就是長期幾何成長率：
E[ ln(1 + fX) ] ≈ f·μ_x − f²·σ_x²/2 （二階泰勒；丟掉 μ_x²，它只有萬分之一量級）
d/df = μ_x − f·σ_x² = 0
f* = μ_x / σ_x² 最大成長率 g(f*) = μ_x² / (2σ_x²)
最適下注 = 銀彈 × 優勢 ÷ 變異數。 廿一點特別乾淨，因為單位變異數是一個查得到的常數：基本策略下每一元下注的結果變異數約 1.32、標準差約 1.15（已查證：Wizard of Odds 的 blackjack variance 頁面。它比 1.0 大是因為加倍與分牌讓你實際押進去的錢超過原注）。
x* = B × e / 1.32 = 0.758 × B × e
銀彈 25,000 美元時，TC +4 的全 Kelly 注碼是 0.758 × 25,000 × 0.0153 = 481。如果最小注 25 美元，那是 19 個最小注。一個從 25 元跳到 480 元的人在監控畫面上無法被忽略。 這是全 Kelly 不可行的第一個理由，但不是最重要的。
2.2 為什麼實務用 1/2 或 1/4 Kelly
設你實際下 f = k·f*（k 是 Kelly 分數）：
g(k·f*) = k·μ_x²/σ_x² − k²·μ_x²/(2σ_x²) = (μ_x²/σ_x²)(k − k²/2)
g(k)/g(1) = 2k − k²
這條拋物線是整個資本配置理論裡最值得背下來的一條。
| Kelly 分數 k | 成長率保留 2k − k² | 破產機率 e^(−2/k) | 一句話 |
|---|---|---|---|
| 0.25 | 43.75% | 0.034% | 犧牲 56% 成長率，換掉幾乎全部破產風險 |
| 0.50 | 75.00% | 1.83% | 犧牲 25%，風險降到 1/7 |
| 0.75 | 93.75% | 6.93% | |
| 1.00 | 100% | 13.53% | 成長率最大，七分之一機率歸零 |
| 1.25 | 93.75% | 20.19% | 和 0.75 倍同樣成長率，三倍風險 |
| 1.50 | 75.00% | 26.36% | 和半 Kelly 同樣成長率，14 倍風險 |
| 2.00 | 0% | 100% | 兩倍 Kelly：長期成長率歸零 |
驗算 k = 2：2(2) − 4 = 0 ✓；k = 1.5：3 − 2.25 = 0.75，和 k = 0.5 相同 ✓。
這張表的形狀就是分數 Kelly 的全部理由。 拋物線在頂點附近是平的——往左走一半只掉 25% 成長率；但 e^(−2/k) 在 k 增加時爆炸。往下偏，代價有界；往上偏，代價無界；偏到兩倍，你會在一個期望值為正的遊戲裡以機率 1 走向破產。
這帶出分數 Kelly 的真正功能：它不是「保守」，它是對參數估計誤差的對沖。 你的 e(TC) 是估計值（截距要查規則表，斜率是一階近似），σ² 也是估計值（1.32 是平注基本策略的值，斜坡打法會更高）。高估 σ² 的損失有界；低估一半，你實際上在打兩倍 Kelly，長期成長率是 0。 因為誤差後果不對稱，最適反應就是往安全那側偏。半 Kelly 對應的是「我相信我的參數大致對，但可能差 50%」。
（破產機率那欄：以固定比例 k·f* 下注的破產機率是 e^(−2/k)；k = 1 給 13.53%，就是全 Kelly 那個著名的「七分之一」。上一課的 RoR = exp(−2Bμ/σ²) 是同一條式子的另一種寫法。）
2.3 Kelly 的四個前提，在牌桌上全部不成立
一、注碼連續可分。 實際上只能下籌碼面額的整數倍，而在低 TC 區最適注碼可能是 0.7 個最小注，你只能下 1 或 0。
二、沒有上下限。 桌限存在，但更要命的是桌下限：TC = 0 時 Kelly 說下 0，你卻不能下 0 還坐著。這個強制最小注是今天最重要的一項成本。
三、每手獨立、參數已知。 同鞋連續手其實負相關，而且 e(TC) 有估計誤差、σ² 隨斜坡形狀改變。
四、沒有外部觀察者。 Kelly 的世界裡沒人在看你下注；真實世界裡下注幅度是賭場唯一需要觀察的量，而 Kelly 恰恰要求你把這個量最大化。最適策略與最不顯眼的策略指向相反方向。
所以實務的斜坡不是 Kelly 的直譯，是 Kelly 被這四個約束裁切之後的樣子。現在來裁。
三、把斜坡表算出來
3.1 設定
全部攤開，任何一項你都可以換掉重算：
| 參數 | 值 | 性質 |
|---|---|---|
| 副數／規則 | 6 副、S17、DAS、LS、3:2 | 假設 |
| 中性優勢 | −0.50% | 查表值 |
| 斜率 | +0.507%／真數 | 本課第一節推導 |
| 滲透率 | 75%（發到 4.5 副切牌） | 假設 |
| 每手變異數 | 1.32（每單位下注） | 已查證 |
| 最小注（1 單位） | $25 | 假設 |
| 銀彈 B | $25,000 = 1,000 單位 | 假設 |
| Kelly 分數 k | 0.5 | 選擇 |
| 手數 | 100 手／小時 | 假設 |
3.2 逐格算注碼
x(TC) = k × B × e(TC) / σ² = 0.5 × 1000 × e(TC) / 1.32 = 378.8 × e(TC)
| TC | e(TC) | 378.8 × e | 取整後 |
|---|---|---|---|
| ≤ +1 | ≤ 0 | ≤ 0 | 1（強制最小注） |
| +2 | 0.514% | 1.95 | 2 |
| +3 | 1.021% | 3.87 | 4 |
| +4 | 1.528% | 5.79 | 6 |
| +5 | 2.035% | 7.71 | 8 |
| ≥ +6 | ≥ 2.542% | 9.63 | 10（封頂） |
這是一張 1-10 斜坡，不是誰拍腦袋訂的「真數減一乘二」，而是 $25,000 銀彈、半 Kelly、σ² = 1.32 三個輸入的唯一輸出。形狀由 e(TC) 決定，高度由 B·k/σ² 決定——銀彈加倍則整張表加倍。
TC ≤ +1 那格是整張表最重要的一格，因為 Kelly 在那裡說的是「下 0」甚至「下負的」（你希望自己是莊家），而你被迫下 1。它不是斜坡的一部分，它是入場費。
3.3 真數分布：自己推一個
RC 是從 312 張裡不放回抽 n 張把標籤加總，不放回抽樣和的變異數是 Var(RC) = n·σ_t²·(312−n)/311，其中 σ_t² = Σp_i t_i² − 0 = 10/13。設剩 D 副，則 n = 52(6−D)、312 − n = 52D：
Var(TC) = Var(RC)/D² = 52² × (10/13) × (6−D) / (311·D) = 6.688 × (6−D) / D
這條式子把「滲透率為什麼重要」變成一行代數。
| 剩餘 D | 已發 | Var(TC) | SD(TC) |
|---|---|---|---|
| 6.0（開鞋） | 0% | 0 | 0 |
| 4.0 | 33% | 3.344 | 1.83 |
| 3.0 | 50% | 6.688 | 2.59 |
| 1.5（75% 切牌） | 75% | 20.064 | 4.48 |
| 1.0 | 83% | 33.441 | 5.78 |
| 0.5 | 92% | 66.881 | 8.18 |
真數的標準差在鞋尾爆炸。 開鞋時 TC 必然是 0，到 75% 處標準差已經 4.48。切牌卡的位置就是你的 D 的下界，它直接決定分布能伸到哪裡。
對整鞋平均（D 從 1.5 積到 6，每副發出的手數大致相同）：
平均 Var(TC) = (6.688/4.5) ∫₁.₅⁶ (6−D)/D dD = 1.4862 × [6 ln D − D]₁.₅⁶
= 1.4862 × (4.7506 − 3.5917) = 5.674 → SD = 2.382
50% 滲透（D 從 3 到 6）：(6.688/3) × 1.1589 = 2.584 → SD = 1.607
滲透率從 50% 升到 75%，真數標準差從 1.61 升到 2.38，成長 48%。 但別以為只有 48% 的差別——你要的是尾巴，而尾巴對標準差高度非線性。
3.4 各真數的頻率
把 TC 在每個 D 上當成常態（均值 0、變異數 6.688(6−D)/D），再對 D 平均。這是一個常態混合，比單一常態更尖峰厚尾——與模擬文獻描述的真數分布形狀一致。以下數值是我用這個近似自己積出來的，不是引述；當量級用可以，要精確請用模擬軟體跑。
以 P(TC ≥ +4)、75% 滲透為例，逐點算 Φ̄(4/SD(D))，再用梯形法：
| D | 5.0 | 4.5 | 4.0 | 3.5 | 3.0 | 2.5 | 2.0 | 1.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| SD | 1.157 | 1.493 | 1.829 | 2.186 | 2.586 | 3.060 | 3.657 | 4.479 |
| z = 4/SD | 3.46 | 2.68 | 2.19 | 1.83 | 1.55 | 1.31 | 1.09 | 0.89 |
| P(TC≥4|D) | 0.00027 | 0.00369 | 0.01437 | 0.03362 | 0.06093 | 0.09561 | 0.13704 | 0.18590 |
∫ ≈ 0.5 × [ (0 + 0.18590)/2 + 0.34553 ] = 0.21924
P(TC ≥ +4) = 0.21924 / 4.5 = 4.87%
同樣做法跑完所有門檻：
| 門檻 | 75% 滲透 | 50% 滲透 | 倍數 |
|---|---|---|---|
| TC ≥ +2 | 15.41% | 9.40% | 1.64× |
| TC ≥ +3 | 8.68% | 3.73% | 2.32× |
| TC ≥ +4 | 4.87% | 1.37% | 3.55× |
| TC ≥ +5 | 2.71% | 0.47% | 5.83× |
| TC ≥ +6 | 1.49% | 0.14% | 10.3× |
倍數那一欄是重點。 滲透率的差距在 TC ≥ +2 只放大 1.6 倍，到 TC ≥ +6 放大到 10 倍。因為你的錢集中在尾巴，而滲透率買的就是尾巴。 上一課那句「規則稍差但切得深的桌常常勝過規則漂亮但切在一半的桌」，現在有了數量級。
轉成分桶（75% 滲透）：
| TC 區間 | 頻率 | 條件平均 TC | e(TC) | 斜坡下注 |
|---|---|---|---|---|
| ≤ +1 | 84.59% | −0.658 | −0.833% | 1 |
| +2 | 6.73% | 2.4 | +0.717% | 2 |
| +3 | 3.81% | 3.4 | +1.224% | 4 |
| +4 | 2.16% | 4.4 | +1.731% | 6 |
| +5 | 1.22% | 5.4 | +2.238% | 8 |
| ≥ +6 | 1.49% | 7.0 | +3.049% | 10 |
低桶的條件平均不是猜的，是從「整體平均 TC = 0」反解的：
0.0673(2.4)+0.0381(3.4)+0.0216(4.4)+0.0122(5.4)+0.0149(7.0) = 0.5563
E[TC | ≤+1] = −0.5563 / 0.8459 = −0.658
3.5 每手期望值
| TC 區間 | 下注 | e | 頻率 | 貢獻（單位／手） |
|---|---|---|---|---|
| ≤ +1 | 1 | −0.833% | 84.59% | −0.007046 |
| +2 | 2 | +0.717% | 6.73% | +0.000965 |
| +3 | 4 | +1.224% | 3.81% | +0.001865 |
| +4 | 6 | +1.731% | 2.16% | +0.002243 |
| +5 | 8 | +2.238% | 1.22% | +0.002184 |
| ≥ +6 | 10 | +3.049% | 1.49% | +0.004543 |
| 合計 | +0.004754 |
μ = +0.004754 單位／手 = 0.475 單位／100 手。 以 11.9 美元。**
（交叉驗證：文獻裡六副牌、75% 滲透、1-10 幅度、含 Illustrious 18 的模擬結果通常落在 0.5–0.7 單位／100 手。我算的 0.475 不含 index play，差距正好是打法偏離的量級——模型沒有系統性偏差。）
平均下注 = 1(0.8459)+2(0.0673)+4(0.0381)+6(0.0216)+8(0.0122)+10(0.0149) = 1.5091 單位。
優勢佔下注總額的比例 = 0.004754 / 1.5091 = 0.315%。
你在 TC +6 有 3% 的優勢，但整晚的錢流平均下來只有 0.315%。 十倍落差，全部來自那 84.59% 的等待時間。把正負拆開：
正貢獻合計 = 0.000965+0.001865+0.002243+0.002184+0.004543 = +0.011800
負貢獻 = −0.007046
淨值 = +0.004754
最小注那一桶吃掉 59.7% 的毛利。 你辛苦數牌賺到的每 10 塊錢，有 6 塊是在等待的時候還回去的。這是整套系統最大的單一成本，遠超過計數錯誤、index 沒背熟或系統選錯。 而它就是後面三個反轉機制共同攻擊的目標。
四、變異數、銀彈、SCORE
4.1 先把「單位」講清楚
上一課用了 σ ≈ 3 單位／手並標了存疑。現在可以算出真值，同時解決那個存疑的來源：「單位」是最小注還是平均注，會讓同一個 σ 差 50% 以上，而文獻常常不講。
E[x²] = 1(0.8459)+4(0.0673)+16(0.0381)+36(0.0216)+64(0.0122)+100(0.0149) = 4.7731
σ² = 4.7731 × 1.32 = 6.3005 （最小注單位²）
σ = 2.510 最小注 = 1.66 平均注
正確的說法是：以最小注為單位，1-10 斜坡的每手 σ ≈ 2.51；以平均注為單位 σ ≈ 1.66。 業界習慣用最小注當分母，所以報出來通常在 2–4 之間，而這跟平注基本策略的 1.15 的差距全部來自斜坡本身。斜坡在買優勢的同時也在買變異數，而且買得更快——注碼放大 k 倍，期望值放大 k 倍，變異數放大 k² 倍。
4.2 破產機率與所需銀彈
RoR = exp( −2Bμ/σ² ) = exp( −2B × 0.004754 / 6.3005 ) = exp( −B / 662.7 )
| 銀彈 B（最小注） | 若最小注 $25 | RoR |
|---|---|---|
| 500 | $12,500 | 47.0% |
| 1,000 | $25,000 | 22.1% |
| 2,000 | $50,000 | 4.89% |
| 3,000 | $75,000 | 1.08% |
| 4,000 | $100,000 | 0.24% |
反解：B = −ln(RoR) × 662.7，所以 RoR 5% 要 1,985 單位、RoR 1% 要 3,052 單位、RoR 0.5% 要 3,511 單位。
這裡有一件事必須指出。 3.2 節那張表是用「B = 1,000 單位、半 Kelly」設計的，而半 Kelly 的理論破產機率應該是 e^(−4) = 1.83%。實際算出來是 22.1%，十二倍。 為什麼？因為斜坡不是純 Kelly——TC ≤ +1 那格被迫下了 Kelly 說不該下的錢。
把那格拿掉（假設你能背身計數、只在 TC ≥ +2 入座）重算：
μ' = 0.011800
E[x²]' = 4.7731 − 0.8459 = 3.9272 σ²' = 5.184
RoR' = exp( −B / 219.7 )
B = 1,000 → exp(−4.552) = 1.05%
從 22.1% 降到 1.05%，二十一倍。 而且 1.05% 已經很接近半 Kelly 的理論值 1.83%（差距來自注碼取整與線性近似），反過來證明模型是對的。
強制最小注同時做了兩件壞事：吃掉 59.7% 的期望值，把破產機率放大 21 倍。 它完全不是技術問題——它是「你必須坐在桌上」這個物理約束的價格。
4.3 N₀ 與 SCORE：怎麼比較兩個遊戲
N₀ = σ²/μ² = 6.3005 / 0.004754² = 278,800 手 = 2,788 小時
上一課那個 90,000 手用了一個更樂觀的 μ；今天的 μ 是算出來的，所以 2,788 小時是誠實版本。
SCORE（Standardized Comparison of Risk and Expectation） 是 Don Schlesinger 在《Blackjack Attack》裡提出的指標（已查證），定義是：用 10,000 美元銀彈、全 Kelly、每小時 100 手，這個遊戲每小時期望收益幾美元。 推導很短——全 Kelly 要求單位大小 c = Bμ/σ²，所以
SCORE = 100 × c × μ = 100 × B × μ²/σ² = 1,000,000 × μ²/σ²
= 1,000,000 × 0.004754² / 6.3005 = 3.59
注意 μ²/σ² 是無量綱的——把單位從 100，μ 和 σ 都乘 4，比值不變。SCORE 是尺度不變的，這正是它能比較不同銀彈、不同單位、不同幅度的遊戲的原因；而「每 100 手贏幾個單位」不行，因為那取決於你怎麼定義單位。
還有一個更短的寫法，因為 N₀ = σ²/μ²：
SCORE × N₀ = 1,000,000
SCORE 和 N₀ 是同一個數字的倒數。 遊戲越好，SCORE 越高、N₀ 越低——「賺得快」和「證明得快」在數學上是同一件事。 驗算：3.59 × 278,800 = 1,000,600 ✓
DI（Desirability Index） 是同族的另一個指標（已查證：亦由 Schlesinger 提出，定義為每 100 手期望值除以每 100 手標準差再乘 100）：
DI = 1000 μ / σ = 1000 × 0.004754 / 2.510 = 1.89 DI² = 3.58 = SCORE ✓
DI 就是「以 100 手為單位的夏普比率乘 100」，SCORE 是它的平方。
（存疑： 文獻裡六副牌優質遊戲的 SCORE 常被引述在兩位數，高於我這裡的 3.59。差距來自三處：我沒算任何 index play、幅度只到 1-10、沒算背身計數。要精確數字請用模擬軟體自己跑，不要相信任何人引述的單一數值——包括我的。）
五、優勢如何反轉
前面四節建了一部計算機。現在用它回答「什麼時候這件事變成負期望」。四個機制，全部用同一組參數重算，每次只改一項。
5.1 機制一：下注幅度被壓縮
| TC 區間 | 頻率 | e | 1-4 | 1-6 | 1-10 | 1-16 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ≤ +1 | 84.59% | −0.833% | 1 | 1 | 1 | 1 |
| +2 | 6.73% | +0.717% | 2 | 2 | 2 | 3 |
| +3 | 3.81% | +1.224% | 3 | 3 | 4 | 6 |
| +4 | 2.16% | +1.731% | 4 | 5 | 6 | 9 |
| +5 | 1.22% | +2.238% | 4 | 6 | 8 | 12 |
| ≥ +6 | 1.49% | +3.049% | 4 | 6 | 10 | 16 |
1-4 幅度逐格算：
≤+1：1 × (−0.00833) × 0.8459 = −0.007046
+2 ：2 × ( 0.00717) × 0.0673 = +0.000965
+3 ：3 × ( 0.01224) × 0.0381 = +0.001399
+4 ：4 × ( 0.01731) × 0.0216 = +0.001495
+5 ：4 × ( 0.02238) × 0.0122 = +0.001092
≥+6：4 × ( 0.03049) × 0.0149 = +0.001817
正貢獻 = +0.006768 → 淨值 = −0.000278 單位／手
負的。 一個計數正確、真數換算正確、選桌也正確的玩家，因為只敢從 1 拉到 4，整套系統的期望值是 −0.028 單位／100 手。
| 幅度 | μ（單位／手） | 每 100 手 | 平均注 | 優勢／下注額 | σ | DI | SCORE |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-4 | −0.000278 | −0.028 | 1.290 | −0.022% | 1.719 | −0.16 | −0.03 |
| 1-6 | +0.001551 | +0.155 | 1.365 | +0.114% | 1.981 | 0.78 | 0.61 |
| 1-10 | +0.004754 | +0.475 | 1.509 | +0.315% | 2.510 | 1.89 | 3.59 |
| 1-16 | +0.011108 | +1.111 | 1.856 | +0.599% | 3.659 | 3.04 | 9.22 |
（1-16 的 σ：E[x²] = 0.8459+9(0.0673)+36(0.0381)+81(0.0216)+144(0.0122)+256(0.0149) = 10.144，σ² = 13.39。）
重點是它有多不線性。 幅度從 1-6 拉到 1-16，最大注放大 2.67 倍，SCORE 從 0.61 跳到 9.22，15 倍。原因就是 3.5 節那個數字：最小注的損耗是固定成本，不隨幅度成長。 正貢獻與幅度大致成正比，負貢獻是常數，所以淨值對幅度是超線性的。
用代數寫更清楚。設幅度乘數為 s（把所有正 TC 的注碼乘 s）：
μ(s) = s·G − C G = 毛利（幅度為 1 時的正貢獻），C = 0.007046 = 等待成本
兩平幅度 s* = C / G
對 1-6 那張表的形狀，G = 0.008597，s* = 0.82——1-6 只比兩平點高 22%。你以為你在一個有優勢的遊戲裡，實際上你在一個剛跨過門檻、經不起任何一項條件變差的遊戲裡。
而下注幅度正是賭場唯一在看的量。 上一課列過的反制手段裡，「要求平注」對應的就是 s → 0，也就是 μ → −C，一個純粹的負期望遊戲。賭場不需要禁止你數牌，只需要不准你把數出來的東西換成錢。
5.2 機制二：滲透率
幅度固定 1-10，只把切牌卡從 75% 移到 50%。先反解低桶的條件平均 TC：
0.05669(2.4)+0.02360(3.4)+0.00909(4.4)+0.00321(5.4)+0.00144(7.0) = 0.28371
E[TC | ≤+1] = −0.28371 / 0.9060 = −0.313
e = 0.507(−0.313) − 0.50 = −0.659%
| TC 區間 | 頻率(50%) | e | 下注 | 貢獻 |
|---|---|---|---|---|
| ≤ +1 | 90.60% | −0.659% | 1 | −0.005969 |
| +2 | 5.67% | +0.717% | 2 | +0.000813 |
| +3 | 2.36% | +1.224% | 4 | +0.001155 |
| +4 | 0.91% | +1.731% | 6 | +0.000944 |
| +5 | 0.32% | +2.238% | 8 | +0.000575 |
| ≥ +6 | 0.14% | +3.049% | 10 | +0.000439 |
| 合計 | −0.002043 |
同一張 1-10 斜坡，只把滲透率從 75% 降到 50%，期望值從 +0.475 單位／100 手變成 −0.204。不是變小，是變號。
更狠的是連 1-16 也救不回來：
+2：3(0.00717)(0.0567)=+0.001219 +3：6(0.01224)(0.0236)=+0.001733
+4：9(0.01731)(0.0091)=+0.001416 +5：12(0.02238)(0.0032)=+0.000862
≥+6：16(0.03049)(0.0014)=+0.000702
淨值 = 0.005932 − 0.005969 = −0.000037 單位／手 ≈ 0
1-16 的幅度在 50% 滲透的六副牌上，期望值是零。 不是「賺得少」，是「一個把自己曝光到極限的人，換到不賺不賠」。理由 3.3 節已經說完：Var(TC) = 6.688(6−D)/D 是一個在 D → 0 時發散的函數，切牌卡就是 D 的下界，而你的錢在尾巴。
順帶用同一條式子說明 CSM：連續洗牌機讓等效的 D 永遠滿載，
Var(TC) = 6.688 × (6 − 6) / 6 = 0
真數變異數是零，斜坡整張塌成最小注那一格，μ = −0.005。 上一課說「在 CSM 桌上沒有東西可以算」，這就是那句話的代數版本。
5.3 機制三：規則
規則不轉動斜率，只平移截距。6:5 值約 1.36 個百分點，截距從 −0.50 變成 −1.86，兩平真數 1.86/0.507 = +3.67。拿同一張 1-10 斜坡（銀彈沒變，幅度不變）重算：
| TC 區間 | 頻率 | e（6:5） | 下注 | 貢獻 |
|---|---|---|---|---|
| ≤ +1 | 84.59% | −2.193% | 1 | −0.018551 |
| +2 | 6.73% | −0.643% | 2 | −0.000865 |
| +3 | 3.81% | −0.136% | 4 | −0.000207 |
| +4 | 2.16% | +0.371% | 6 | +0.000481 |
| +5 | 1.22% | +0.878% | 8 | +0.000857 |
| ≥ +6 | 1.49% | +1.689% | 10 | +0.002517 |
| 合計 | −0.015768 |
−1.58 單位／100 手。 注意第二、三列：TC +2 與 +3 現在是負的，你在那裡加注等於加速虧損。真正的破口在第一列，−0.0186 的等待成本是 3:2 桌的 2.63 倍。
要多大幅度才打平？先把 TC +2、+3 改回最小注（那裡是負的），等待成本變成 −0.019036；再讓 TC ≥ +4 的三格（基準 6/8/10、基準貢獻 0.003855）乘 m 倍：
m × 0.003855 ≥ 0.019036 → m ≥ 4.94
也就是 TC +4 下 30 單位、+5 下 40、≥+6 下 50——一個 1-50 的幅度，而且只是打平。 沒有賭場會容許，而這個幅度的變異數會讓所需銀彈膨脹到荒謬。結論比上一課更硬：6:5 的桌子不是「算牌效率低」，是算牌在數學上做不到。
H17 溫和一些，截距變 −0.72，兩平真數 +1.42：
等待成本 = 1 × [0.507(−0.658) − 0.72] × 0.8459 = (−0.01053)(0.8459) = −0.008907
正貢獻 = 2(0.00497)(0.0673) + 4(0.01004)(0.0381) + 6(0.01511)(0.0216)
+ 8(0.02018)(0.0122) + 10(0.02829)(0.0149) = +0.010342
淨值 = +0.001435 單位／手 = 0.144 單位／100 手
S17 換成 H17，期望值從 0.475 掉到 0.144，少掉 70%。 一條「莊家軟 17 要不要補牌」的規則吃掉七成收益。這就是「規則只平移截距」聽起來無害、實際上致命的原因：截距平移 0.22 個百分點，砍掉你 70% 的淨值，因為淨值本身就是一個小差額。
5.4 機制四：禁止中途入座
背身計數（back-counting，俗稱 Wonging）：站在桌邊默數，只在 TC ≥ +2 時入座。算它的兩個面向。
先算效率。3.5 節那五格正貢獻合計 0.011800 已經乘過各自的頻率，所以：
每「有下注的手」期望值 = 0.011800 / 0.1541 = 0.0766 單位
那些手的平均下注 = 0.6632 / 0.1541 = 4.303 單位
優勢佔下注額 = 0.0766 / 4.303 = 1.78%
從 0.315% 跳到 1.78%，5.6 倍。 這就是「不打壞牌」的價值——不是多賺，是不賠。
再算時薪。你只玩 15.41% 的手，但每 100 手發牌的貢獻仍然是 0.011800 × 100：
盯一張桌的 Wonging 時薪 = 1.18 單位／小時 （對照坐著打的 0.475）
交叉驗算：0.0766 單位／已下注手 × 15.41 手 = 1.18 ✓
背身計數在時薪（2.5 倍）與破產機率（1.05% 對 22.1%）上同時贏，這是它為什麼是標準技術。成本在別處：你有 84.59% 的時間站著不動，在監控畫面上比大幅度下注更顯眼；入座那一刻就是你的自白；而且它被一條規則直接關掉——禁止中途入座（no mid-shoe entry）。
這條桌規的代價就是 5.4 與 3.5 的差值：時薪從 1.18 壓回 0.475（降 60%），破產機率從 1.05% 升回 22.1%（升 21 倍）。 一條不花成本、不需要辨認出任何人的規則，做到這個效果。
四個機制並排：
| 機制 | 1-10 斜坡的 μ（單位／100 手） | 相對 0.475 |
|---|---|---|
| 基準（6 副、75% 滲透、S17、3:2） | +0.475 | — |
| 加上背身計數 | +1.180 | +148% |
| 幅度壓到 1-6 | +0.155 | −67% |
| 幅度壓到 1-4 | −0.028 | 變號 |
| S17 → H17 | +0.144 | −70% |
| 滲透 75% → 50% | −0.204 | 變號 |
| 3:2 → 6:5 | −1.577 | 變號 |
| CSM | −0.500 | 變號 |
四個獨立的單一條件都足以把這套系統推到負期望，而它們沒有一個需要賭場認出你是誰。 這是「優勢如何反轉」的完整答案：你的優勢不是一個屬於你的性質，它是一組外部條件的函數，而那組條件由對方設定。
5.5 誠實面：把所有數字放在一起
| 項目 | 值 |
|---|---|
| 每手期望值／標準差 | +0.004754 ／ 2.510 最小注 |
| 優勢佔下注總額 | 0.315% |
| 時薪（100 手／小時） | **0.475 最小注 = 25） |
| N₀（期望值追上一個標準差） | 278,800 手 = 2,788 小時 |
| 95% 信心自己是贏家 | 754,600 手 = 7,546 小時 |
| SCORE ／ DI | 3.59 ／ 1.89 |
| RoR 1% 所需銀彈 | 3,052 單位 = $76,300 |
| 年收益（每週 10 小時、一年 500 小時） | $5,950 |
| 對銀彈的年報酬率 | 7.8% |
（95% 信心的手數：0.004754 N = 1.645 × 2.510 × √N → √N = 868.7 → N = 754,600。）
7.8% 的年報酬率，需要 500 小時勞動、承擔 1% 全損機率，而且要 15 年才能在統計上確認自己不是運氣好。 把這幾個數字擺在一起，「1% 的牌桌優勢」的真實意思就出來了：
牌桌優勢不是投資報酬率。 1% 是「每一塊錢下注的期望回報」，而你的錢一晚會被下注很多次——那是周轉率，不是報酬率。 周轉率高不代表報酬率高，因為每次周轉都帶著 σ = 1.15 的波動，而你必須用資本去承接那個波動。真正的報酬率 = 優勢 × 周轉率 − 資本的機會成本 − 你的時間。 上面那張表就是把三項全算進去的結果。
這是一個規模不經濟的 alpha：來源是真實的（不放回抽樣的資訊優勢，數學上無可爭議），但容量受限於桌限、你的銀彈、和一個會主動關掉它的對手。它和投資最大的差別不在期望值，在於這個 alpha 的持有者會被請出門。 關於怎麼把這類主張分級——哪些是數學恆等式、哪些是模擬結果、哪些只是產業共識——德州撲克專欄 · 主張 vs 可佐證 那套框架可以直接套在本課每一個數字上；變異數與銀彈需求的通用框架見 德州撲克專欄 · 資金管理與心態基礎。
🧠 為什麼是這樣
Kelly 的核心不是「賭多少」，是「乘法過程沒有加法過程的直覺」。 2.1 節那個「最大化期望金額會得到全押」的結論不是數學失誤，它是正確的——如果你能重複無限次而且每次都從零開始。但真實的資本是同一筆錢連續相乘，連乘的長期表現由幾何平均決定，不由算術平均決定。兩者的差距就是 −f²σ²/2 那一項，也就是變異數直接扣你的成長率。這解釋了為什麼最適注碼的分母是變異數而不是標準差：變異數是「在對數空間裡被扣掉的東西」的直接度量。也解釋了 2k − k² 為什麼在 k = 2 歸零——那正是 kμ 的線性增益恰好被 k²σ²/2 的平方懲罰追平的地方。在任何有正優勢的乘法賭局裡，「下太多」和「完全不玩」的長期結果一樣，下更多則比不玩更糟。 這條性質在所有槓桿決策上都成立，不只是牌桌。
這套理論在牌桌上的邊界，全部來自「Kelly 假設只有一個玩家」。 2.3 節列的四個前提裡，前三個是技術性的，可以靠分數 Kelly 和取整吸收；第四個不行。Kelly 的最適解要求下注額是優勢的線性函數，而優勢只在鞋尾出現，於是你的下注額對時間的圖形必然是「長時間平坦、末段突然跳高、然後重置」的鋸齒。 這個圖形是計數行為的指紋，而它不是你的風格問題——它是最適解的形狀。你越接近數學最適，你越容易被辨認；你越隱蔽，你離最適越遠。 5.1 節那條 μ(s) = sG − C 就是這個取捨的定價式：偽裝的成本可以直接換算成期望值，而因為 C 是固定的，壓低 s 的邊際代價是常數、收益卻是遞減的——這意味著偽裝一旦開始就會迅速把你推過 s*。 實務上的解法（團隊分工下注、大注手只在高真數入場、跨場輪替）全部是在買「讓鋸齒不屬於同一個人」這件事，而它們的成本也全部要計進 5.5 節那張帳單。
最後，這整套計算有一個它自己無法回答的問題：它把「優勢」定義為期望值，而期望值是一個極限性質。 5.5 節那個 7,546 小時說的就是：在你這輩子可能投入的時間尺度上，期望值不是一個你會經歷的東西，它是一個你必須相信的東西。 你能經歷的只有 σ = 2.510，而 σ 比 μ 大 528 倍。這也是為什麼今天花了大半篇幅在算「什麼時候它是負的」——因為在一個你永遠無法從結果驗證自己的遊戲裡，唯一的保護是事前把條件算清楚。你不會因為輸錢而發現自己坐錯桌，你只會因為算過而知道不要坐。 這條原則的適用範圍遠超過廿一點：任何雜訊遠大於訊號的領域，決策品質都只能在事前檢驗，不能在事後歸因。
✍️ 今日練習
做一張屬於你自己的下注斜坡表，然後用它回答三個問題。 15–20 分鐘，紙筆或試算表都可以，不需要進賭場，也不需要碰任何真錢。
道具：紙筆或試算表、計算機。
步驟一（3 分鐘）：填優勢欄。 畫一張六列的表，第一欄是 TC 區間（≤+1 / +2 / +3 / +4 / +5 / ≥+6）。第二欄填條件平均 TC，用本課的估值：−0.66 / 2.4 / 3.4 / 4.4 / 5.4 / 7.0。第三欄用 e(TC) = 0.507 × TC − 截距 填優勢，截距先用 0.50。自己按一次計算機，不要抄本課的表。
步驟二（4 分鐘）：填注碼欄。 選定你自己的假想銀彈 B（以最小注為單位，例如 800 或 1,500）和 Kelly 分數 k（0.5 或 0.25），算 x(TC) = k × B × e(TC) / 1.32，四捨五入到整數，TC ≤ +1 一律填 1。你會得到一張形狀和本課不同的表——這是重點：斜坡不是抄來的，是你的銀彈的函數。
步驟三（6 分鐘）：算這張表的三個數字。 用本課 3.4 節的頻率（84.59 / 6.73 / 3.81 / 2.16 / 1.22 / 1.49 %）：
μ = Σ 頻率 × 注碼 × 優勢
E[x²] = Σ 頻率 × 注碼² σ² = 1.32 × E[x²]
每 100 手期望值 = 100 μ
所需銀彈(RoR 1%) = 4.605 × σ² / (2μ)
SCORE = 1,000,000 × μ² / σ²
把「所需銀彈」和你步驟二假設的 B 比一比。 大多數人第一次做會發現自己假設的 B 遠遠不夠——那就是這一步的目的。
步驟四（5 分鐘）：三個反轉測試。 在同一張表上做三次修改，每次只改一項，重算 μ：
- 把最大注砍一半（1-10 改成 1-5，中間各格按比例縮），看 μ 掉多少、有沒有變號。
- 把截距從 0.50 改成 1.86（模擬 6:5），其他不動，重算 μ。注意 TC +2、+3 會變成負貢獻——把那兩格的注碼改回 1，再算一次，比較哪個好。
- 把 TC ≤ +1 那格的注碼改成 0（模擬背身計數），重算 μ 與所需銀彈，看兩個數字各變幾倍。
這四步做完，你手上會有一張你自己算出來、而且知道它在什麼條件下會失效的表。 這比背任何一張現成的斜坡表都有用，因為現成的表不會告訴你它的假設是什麼。
還有時間就加一題：反解你的損益兩平幅度。 把正 TC 各格的注碼同乘 s，令 μ(s) = 0 解出 s*，看你原本的幅度是 s* 的幾倍。小於 1.5 倍的話，你的斜坡經不起任何一項條件變差。
自我檢查
- 我能從 EOR 向量算出斜率 b = Σp·EOR·t / Σp·t²，並說明為什麼結果 0.507 接近 10 點牌的 EOR 絕對值
- 我能寫出 Kelly 的 f* = μ/σ²，並說明分母為什麼是變異數而不是標準差
- 我記得 2k − k² 這條拋物線，能說出 k = 0.5 保留 75% 成長率、k = 2 成長率歸零
- 我能從自己的銀彈與 Kelly 分數算出一張完整的下注斜坡，不必抄別人的表
- 我知道 Var(TC) = 6.688(6−D)/D 為什麼在 D 小的時候發散，以及它為什麼等於「滲透率是選桌第一指標」
- 我知道 TC ≤ +1 的強制最小注吃掉約 60% 的毛利，並把破產機率放大約 21 倍
- 我能說出至少三個「單一條件就足以把期望值變號」的機制（1-4 幅度、50% 滲透、6:5 賠付、CSM），而且它們都不需要賭場認出我
- 我知道 SCORE × N₀ = 1,000,000，而且 SCORE 是尺度不變的，所以才能比較不同銀彈的遊戲
- 我能解釋「牌桌優勢 1% 不是投資報酬率」，並指出周轉率、資本成本、時間成本三項差在哪裡
- 我接受在 7,546 小時之前，我無法從結果分辨自己是技術好還是運氣好
🔗 延伸
- The Kelly Criterion — Wizard of Odds：Kelly 在賭場遊戲上的應用與「優勢 ÷ 變異數」這個近似的說明，可以對照本課第二節的推導。
- Variance in Blackjack — Wizard of Odds：本課用的 σ² = 1.32 / σ = 1.15 出自這裡，頁面同時給了不同規則與手數下的變異數表，換規則時可以直接查。
- Data by Penetration（SCORE Charts）— Blackjack in Color：把滲透率對 SCORE 的影響畫成圖表，可以用來檢查本課 5.2 節那個「75% → 50% 讓期望值變號」的結論在更完整的模擬下長什麼樣。
💬 問 AI
我在學廿一點的下注理論，已經會 Hi-Lo 計數與真數換算，現在要把真數換成注碼。
請扮演一個嚴格的教練，並在整段對話中遵守四條規則：
(1) 明確區分「來源說的」「你推導的」「你猜的」，三者分開標示；
(2) 任何數值都要標明依賴哪些假設（副數、滲透率、規則、下注幅度、是否含 index play）；
(3) 所有結論都要附算式，不要只給數字；
(4) 不確定就直說「不確定」，不要補一個看起來合理的數字。
第一組：斜率
1. 請從 EOR 向量推導「每 +1 真數值多少優勢」這條線的斜率。我算出
b = Σ p·EOR·t / Σ p·t² = 0.517，再乘 51/52 得 0.507。請檢查這個推導，
特別是 51/52 那個幾何因子怎麼來的、是否必要。
2. 這條線在哪些區間會明顯偏離線性？請分別討論 (a) 高真數的二階效應、
(b) 加入 index play 之後的上凸、(c) 規則變動是平移還是轉動。
3. 同樣方法可以算出 Wong Halves 的斜率嗎？可以的話請算出來並和 Hi-Lo 比較。
第二組：Kelly
4. 請完整推導 f* = μ/σ²，包含對數展開那一步丟掉了什麼、什麼條件下可以丟。
5. 請推導 g(k·f*)/g(f*) = 2k − k²，並解釋為什麼 k = 2 時成長率是 0 而不是負的。
6. 分數 Kelly 常被說成「保守」，但我認為它其實是對參數估計誤差的對沖。
請論證或反駁：如果我對 σ² 的估計有 ±30% 誤差，最適的 k 應該是多少？
7. Kelly 假設注碼連續可分。請量化「只能下整數個籌碼」在低真數區造成的損失。
第三組：斜坡與分布
8. 請推導六副牌鞋在剩餘 D 副時的 Var(TC)。我得到 6.688(6−D)/D，請檢查，
並說明這個推導用了哪些近似（常態？獨立？平衡計數？）。
9. 用這個分布算出 75% 與 50% 滲透下 TC ≥ +2/+3/+4/+5/+6 的頻率。
請說明常態近似在尾巴會高估還是低估、誤差量級多大。
10. 給定銀彈 1000 單位、半 Kelly、σ²=1.32，請算出最適斜坡，並說明
「TC ≤ +1 被迫下最小注」對總期望值與破產機率各造成多少損失。
第四組：反轉
11. 請分別算出下列每一項單獨作用時，1-10 斜坡的期望值變成多少：
(a) 幅度壓到 1-4、(b) 滲透降到 50%、(c) 6:5 賠付、(d) S17 改 H17、(e) CSM。
哪幾項足以讓期望值變號？請排序殺傷力並說明理由。
12. 我算出 6:5 桌要 1-50 的幅度才打平。請檢查這個結論，並算出那個幅度下的
每手變異數與所需銀彈，說明它為什麼實務上不可行。
13. 背身計數把優勢從 0.315%（佔下注額）提到 1.78%，時薪從 0.475 提到 1.18 單位。
請檢查這兩個數字，並算出「禁止中途入座」這條桌規的代價。
第五組：誠實面
14. 請說明 SCORE 與 DI 的定義與關係，證明 SCORE × N0 = 1,000,000，並解釋
為什麼 SCORE 是尺度不變的、而「每 100 手贏幾個單位」不是。
15. 請用機會成本的角度論證：一個有 $76,300 可投資、每年有 500 小時的人，
把這兩項投入算牌（年收益 $5,950、7.8% 報酬、1% 全損機率）是不是理性的？
請給出最強的反方論證，只用數字，不要道德說教。
16. 最後：這套訓練裡哪些部分可以遷移到「雜訊遠大於訊號」的其他決策場景
（投資、產品決策、醫療診斷）？哪些完全不能遷移？
請用繁體中文、台灣用語。所有數字都要附算式。