選擇權系列講的是單一部位的風險,今天拉高到整個投資組合層次。現代投資組合理論(Modern Portfolio Theory, MPT)由 Harry Markowitz 在 1952 年提出,核心主張是:一檔資產的好壞不能單獨評估,要看它加進整個組合後,對組合的總報酬與總風險有什麼貢獻。這個看似樸素的觀點後來讓他拿下 1990 年的諾貝爾經濟學獎,也是「不要把雞蛋放同一籃」這句俗話的數學版本。
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分散為什麼在數學上成立
先把「風險」定義清楚。MPT 用報酬率的標準差(σ)當作風險的度量,標準差越大代表報酬上下跳動越劇烈。單一資產的期望報酬是 E(R)、風險是 σ。現在把兩檔資產 A、B 各放權重 w 與 (1−w) 組成一個組合,組合的期望報酬就是加權平均:
E(R組合) = w·E(RA) + (1−w)·E(RB)
報酬是單純的加權平均,沒有魔法。魔法在風險這邊。組合的變異數(σ²,標準差的平方)公式是:
σ²組合 = w²σA² + (1−w)²σB² + 2·w·(1−w)·ρ·σA·σB
關鍵在最後一項的 ρ(相關係數),它介於 −1 到 +1 之間,衡量兩檔資產漲跌是否同步。如果 ρ = 1(完全同向),上面的式子可以化簡成 (w·σA + (1−w)·σB)²,也就是組合標準差等於兩者標準差的加權平均,分散完全沒用。但只要 ρ 小於 1,第三項就會變小,組合的變異數就會低於加權平均的變異數——這就是分散降低風險的數學來源。ρ 越低,降幅越大;當 ρ = −1 時,理論上甚至能配出風險為零的組合。
相關係數怎麼吃掉波動:一個算例
假設 A、B 兩檔各佔一半(w = 0.5),兩者標準差都是 20%(σ = 0.20)。單看任一檔,風險都是 20%。把不同 ρ 代進公式,看組合標準差如何變化:
| 相關係數 ρ | 組合標準差 σ組合 | 相較單一資產 |
|---|---|---|
| +1.0 | 20.0% | 完全沒降 |
| +0.5 | 17.3% | 降約 13% |
| 0.0 | 14.1% | 降約 29% |
| −0.5 | 10.0% | 降一半 |
| −1.0 | 0.0% | 完全對沖 |
以 ρ = 0 為例:σ²組合 = 0.5²×0.04 + 0.5²×0.04 + 2×0.5×0.5×0×0.20×0.20 = 0.01 + 0.01 + 0 = 0.02,開根號得 0.141,也就是 14.1%。報酬沒犧牲(仍是兩者平均),風險卻從 20% 掉到 14.1%。這頓「免費的午餐」正是分散的價值:找相關性低的資產湊在一起,同樣的報酬,更小的顛簸。
效率前緣:所有組合裡最划算的那條邊
把市場上所有資產、所有可能的權重組合都算一遍,每個組合都是「風險-報酬」平面上的一個點,無數個點會鋪成一片區域。理性的投資人只會挑其中一種:在同樣風險下報酬最高,或同樣報酬下風險最低的那些組合。把這些最優組合連起來,就是一條向上凸的曲線,叫作效率前緣(efficient frontier)。前緣下方的點都是「次等品」——存在另一個組合,風險一樣但報酬更高,沒理由選它。前緣的意義是把選擇從無限多種收斂成一條線,剩下的只是你想站在線上哪個位置。
夏普比率:用一個數字量化「划不划算」
效率前緣告訴你哪些組合有效,但沒直接回答「哪個最好」。William Sharpe 在 1966 年提出的**夏普比率(Sharpe ratio)**補上這一塊,它衡量每承擔一單位風險換到多少超額報酬:
夏普比率 = (E(R組合) − Rf) / σ組合
其中 Rf 是無風險利率(通常用短期公債或定存利率)。分子是組合報酬扣掉無風險報酬的「超額報酬」,分母是風險。舉例:某組合期望報酬 10%、標準差 15%,無風險利率 2%,夏普比率 = (10% − 2%) / 15% = 0.53。另一個組合報酬 8%、標準差 8%,夏普比率 = (8% − 2%) / 8% = 0.75。第二個報酬雖較低,但風險調整後更划算。台股實務上,一般認為夏普比率在 0.4 到 0.7 屬合理,接近或超過 1 就算相當出色。
資本市場線:把無風險資產加進來
當你可以用無風險利率借貸時,故事又更進一步。從無風險利率那一點(位在 Y 軸上,風險為零)畫一條直線,去切效率前緣,切點那個組合叫作市場組合,這條切線就是資本市場線(Capital Market Line, CML)。切點之所以特別,是因為它是所有組合裡夏普比率最高的那一個——直線斜率就是夏普比率,而切線正是能畫出的最陡直線。實務結論很漂亮:你只需要持有這個「最佳風險組合」,再靠調整無風險資產的比重(想保守就多留現金、想積極就借錢加碼)來決定整體風險,而不必去猜哪幾檔個股該重壓。這也是指數化投資與資產配置理論的基石。
🧠 記
- MPT 的核心:評估資產不看它自己,而看它對整個組合風險與報酬的貢獻。
- 組合報酬是權重的簡單加權平均;組合風險不是,關鍵在相關係數 ρ。
- 只要 ρ < 1,分散就能在不犧牲報酬下降低組合波動;ρ 越低效果越強。
- 兩資產變異數公式:σ² = w²σA² + (1−w)²σB² + 2w(1−w)ρσAσB。
- 效率前緣:同風險報酬最高(或同報酬風險最低)的組合連成的曲線。
- 夏普比率 = (組合報酬 − 無風險利率) / 標準差,量化風險調整後報酬。
- 資本市場線的切點是夏普比率最高的市場組合,其餘靠無風險資產調整風險。
✍️ 實踐
挑兩檔你熟悉、屬性不同的 ETF(例如一檔台股大盤型如 0050、一檔美債或全球型),到任一看盤網站抓過去 3 年的月報酬資料,用試算表算出兩檔各自的標準差,以及兩者之間的相關係數(Excel 的 CORREL 函數)。接著假設各配 50%,代入 σ²組合 = 0.25σA² + 0.25σB² + 0.5ρσAσB,親手算出組合標準差,再和「兩檔標準差的加權平均」比一比,看分散實際幫你吃掉了多少波動。行有餘力,再算一下這個組合的夏普比率(無風險利率可用當前台灣一年期定存利率約略代入),對照 0.4~0.7 的合理區間評估自己的部位划不划算。
🔗 延伸學習
- Efficient frontier — Wikipedia
- 夏普比率 — 維基百科
- Harry Markowitz — 1990 諾貝爾經濟學獎講座:Foundations of Portfolio Theory
- 夏普比率是什麼？公式、多少算好與台股 ETF 計算器 — FinLab
💬 問 AI
想更深入,可把下面的提示詞丟給 AI:
我想深入理解現代投資組合理論(MPT),請幫我:
1. 用一個三資產(股票、債券、黃金)的具體數字例子,示範如何計算組合的期望報酬與變異數,並說明相關係數矩陣的角色。
2. 解釋為什麼效率前緣是向上凸的曲線,以及加入無風險資產後為什麼會變成一條直線(資本市場線)。
3. 說明夏普比率的限制:它假設報酬呈常態分布、用標準差當風險,這在肥尾與極端事件下會低估什麼風險?有哪些替代指標(如 Sortino ratio)?
4. 以台灣投資人角度,舉例如何用 0050、債券 ETF 等實際標的建構一個接近效率前緣的簡易配置。